苗 靜 (華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 200129)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版》(下稱《新課標(biāo)》)要求教師應(yīng)“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”[1]．?dāng)?shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，主要體現(xiàn)在知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和教學(xué)結(jié)構(gòu)三個(gè)方面：各數(shù)學(xué)知識之間有意義的聯(lián)系形成了知識結(jié)構(gòu)；學(xué)生頭腦里的知識結(jié)構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在學(xué)習(xí)過程中觀念的內(nèi)容與組織，是有意義學(xué)習(xí)的結(jié)果和條件；而對知識形成清晰、牢固的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是教學(xué)的主要任務(wù)，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)是指教師從數(shù)學(xué)“知識結(jié)構(gòu)”的特點(diǎn)和學(xué)生“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”的形成與發(fā)展規(guī)律出發(fā)，幫助學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，讓知識鏈延長與知識面拓展，把握解題結(jié)構(gòu)之“本質(zhì)”，從而從整體上把握數(shù)學(xué)知識、方法和觀念，進(jìn)而有效地克服肢解數(shù)學(xué)知識和方法的現(xiàn)象．

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它是初中平面幾何基礎(chǔ)上的進(jìn)一步研究，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、科學(xué)計(jì)算、符號表達(dá)等能力的重要途經(jīng)，也是研究三維世界的必要工具．相比代數(shù)而言，立體幾何具有獨(dú)立的公理化體系，《新課標(biāo)》對立體幾何的學(xué)習(xí)也提出了更高的要求，在教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善的基礎(chǔ)上，在發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)下，立體幾何的教學(xué)也需要重新的思考．

1 高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的價(jià)值分析

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)有三重意義：一是高觀點(diǎn)下認(rèn)識數(shù)學(xué)的本體性知識；二是數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化；三是學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化掌握．結(jié)構(gòu)化教學(xué)是行之有效的學(xué)習(xí)方法．

1.1 結(jié)構(gòu)化教學(xué)使知識的理解由孤立變?yōu)槁?lián)系

任何知識都具有內(nèi)在結(jié)構(gòu).從內(nèi)在構(gòu)成上看，數(shù)學(xué)知識是一個(gè)互相聯(lián)系、互相貫通的結(jié)構(gòu)體，每一個(gè)知識點(diǎn)都有它的來龍去脈，知識點(diǎn)之間也有錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系.如果只關(guān)注知識的符號表征而忽略邏輯形式和意義，那么對于知識的記憶只是單純的死記硬背，知識的理解只是表面化的，知識的學(xué)習(xí)也是凌亂無序的．而且機(jī)械記憶已不能適應(yīng)瞬息萬變的數(shù)字化時(shí)代，面對日新月異快速發(fā)展的知識,學(xué)生必須學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，由此課堂教學(xué)就不能僅是知識的灌輸和傳授，在核心素養(yǎng)的導(dǎo)向下，課堂教學(xué)不但要“見樹木，更要見森林”，以綱帶目、以簡馭繁．

1.2 結(jié)構(gòu)化教學(xué)使過程的探究由無序變?yōu)橛行?/h3>

在《新課標(biāo)》導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教材需充分體現(xiàn)三個(gè)關(guān)注：關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的通性通法、數(shù)學(xué)思想．[1]92教師應(yīng)該從整體的角度思考，做到理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，從研究數(shù)學(xué)知識的組成要素、根據(jù)說明事物的邏輯順序、借鑒知識形成的自然規(guī)律、分析知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系、遵循認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成規(guī)律等方面提煉研究數(shù)學(xué)對象的基本套路[2]，使不同數(shù)學(xué)知識的教學(xué)有章可循，進(jìn)而讓學(xué)生感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、研究新事物、解決問題的基本規(guī)律．這對他們的終身發(fā)展是有益的，這也正是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的最終目的．

1.3 結(jié)構(gòu)化教學(xué)使方法的習(xí)得由表面變?yōu)楸举|(zhì)

數(shù)學(xué)課堂的一大重要責(zé)任就是從概念、定理、例題中歸納、總結(jié)和提煉出基本的數(shù)學(xué)方法，構(gòu)建方法的結(jié)構(gòu)．但是在日常教學(xué)中,教師們更多關(guān)注方法本身,而不是方法的結(jié)構(gòu)，可能教師對于某道題目可以說出用什么方法，但是不能站在更高的角度對這一方法加以本質(zhì)化的概括，對方法的認(rèn)識只停留在表面，有時(shí)還把方法與技巧混為一談，殊不知數(shù)學(xué)重視的是解題的通法，而不是奇異的、特殊的技巧．既然數(shù)學(xué)方法是基于教學(xué)過程的、具有模式化和可操作性的數(shù)學(xué)行為，那么對于數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)也有規(guī)律可循．若能挖掘方法背后的本質(zhì)規(guī)律，把方法類比遷移、拓展應(yīng)用到新問題的解決過程中，升華為數(shù)學(xué)思想的感悟，才是對數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)．

1.4 結(jié)構(gòu)化教學(xué)使思維的建構(gòu)由割裂變?yōu)橄到y(tǒng)

對于定理、公式，教師往往重解題，輕過程，殊不知“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，沒有數(shù)學(xué)思想的知識和方法只是一種教條．?dāng)?shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾為數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)明了三個(gè)遞進(jìn)的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是知何由以知其所以然．“何由以知其所以然”指的就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)．要發(fā)展學(xué)生的思維能力，就是要從數(shù)學(xué)的角度解決“怎么想到的”“如何發(fā)現(xiàn)的”等本源性問題，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中講“理”，其中關(guān)鍵是要有“一般觀念”的引領(lǐng)，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)具有“必然性”，把數(shù)學(xué)的思維方式顯現(xiàn)出來，這才是科學(xué)研究的基本之道，才是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的重要途經(jīng)．[3]教學(xué)中，在一般觀念的引領(lǐng)下，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，才能感悟數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性．

總的來說，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)幫助教師整體把握教學(xué)思路、深刻理解教學(xué)內(nèi)容、充分認(rèn)識學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，對發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)有著奠基性作用．

2 對“立體幾何”單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)重構(gòu)的必要性

2.1 教學(xué)現(xiàn)狀

學(xué)生雖然在初中接觸過平面幾何，但在立體幾何的學(xué)習(xí)過程中還是會(huì)面臨一定的障礙，一部分原因是未能在教學(xué)過程中形成結(jié)構(gòu)化的思考.幾何不同于代數(shù)，主要是對圖形的研究，具體用什么方法研究、如何研究才是學(xué)生應(yīng)該真正掌握的，也是發(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的要求．教師在教的過程中往往按照教材，關(guān)注表面結(jié)論，缺乏深度的理解，不注重教學(xué)結(jié)構(gòu)的提煉，因而無法讓學(xué)生形成系統(tǒng)、聯(lián)系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．以下是立體幾何單元中容易被忽視的幾個(gè)方面：

(1)知識上：在立體幾何中，對概念、定理等知識的認(rèn)識主要具有“抽象性”與“邏輯性”，抽象性表現(xiàn)為現(xiàn)實(shí)圖形與抽象圖形的聯(lián)系、圖形語言與數(shù)學(xué)語言的聯(lián)系、直觀可視與空間想象的聯(lián)系．邏輯性表現(xiàn)為與上下位知識的聯(lián)系，概念的本質(zhì)內(nèi)涵，知識內(nèi)部的邏輯關(guān)系(概念的分類、形成命題的各要素)等．

(2)過程上：對立體幾何單元做進(jìn)一步的劃分，有公理的學(xué)習(xí)、有位置關(guān)系的學(xué)習(xí)、有空間幾何體的學(xué)習(xí)，這些內(nèi)容可以形成立體幾何的小單元，在小單元中可以提煉一條研究的“基本路徑”，注重研究的套路而非知識本身，在學(xué)生的頭腦中形成模式，有利于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累．

(3)方法上：在度量問題上立體幾何與平面幾何有明顯的差異，無法“測量”成為立體幾何的一大難點(diǎn)，而“定量刻畫”又是數(shù)學(xué)精準(zhǔn)性的體現(xiàn)，所以在立體幾何章節(jié)中，從定性的定理論證體系到定量度量體系有一套系統(tǒng)的研究方法，在教學(xué)中從哪些角度提煉出方法的結(jié)構(gòu)特征，升華方法的思想內(nèi)涵，是需要進(jìn)行深度思考的．

(4)思維上：立體幾何對思維能力有著與代數(shù)不一樣的要求，這就更需要在教學(xué)中發(fā)掘研究幾何的學(xué)科觀，如何放置圖形更符合平時(shí)的視覺感受，從哪些方面觀察進(jìn)行抽象，怎么會(huì)想到要研究這些定理，如何將需要度量的對象顯現(xiàn)出來……也就是要思考本源性的問題．思維是筋骨，方法是血脈，有了系統(tǒng)的思維方式，才能更好地引發(fā)教學(xué)的結(jié)構(gòu)化．

2.2 素養(yǎng)目標(biāo)

《新課標(biāo)》指出，立體幾何單元的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能．通過對圖形的觀察和操作，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題．[1]27

從上述文字中可以發(fā)現(xiàn)，立體幾何教學(xué)應(yīng)遵循整體性、發(fā)展性和聯(lián)系性．

(1)整體性：立體幾何教學(xué)要形成一個(gè)整體觀念．比如明確立體幾何所要研究的對象、基本幾何對象位置關(guān)系的研究方式、利用長方體的載體作用，從具體到抽象認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征等．在教學(xué)中需要思考分類的標(biāo)準(zhǔn)、測量的方法、操作的合理性，保證知識體系的連貫性、思想方法的一致性．

(2)聯(lián)系性：立體幾何教學(xué)要注重圖形的聯(lián)系．比如長方體作為初高中共有的基本幾何體有著承上啟下的作用，比如幾何對象與實(shí)物模型的聯(lián)系、三維幾何體與二維平面圖形的聯(lián)系，比如定理中條件圖形與結(jié)論圖形的關(guān)系等．這是如何研究圖形的重要的思維方式，有些更是原理背后的本質(zhì)探究．

(3)發(fā)展性：立體幾何教學(xué)應(yīng)是循序漸進(jìn)的．從觀察到描述，到準(zhǔn)確表達(dá)、直觀解釋，到嚴(yán)格證明，在知識習(xí)得的過程中，體現(xiàn)了認(rèn)知的層次性和階段性．教學(xué)中應(yīng)該通過類比、歸納、演繹等方法促進(jìn)學(xué)生對問題的邏輯思考．

在立體幾何單元教學(xué)中需要重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)．這也是立體幾何結(jié)構(gòu)化教學(xué)的目的所在，因此在教學(xué)中需要精心設(shè)計(jì)情境，創(chuàng)設(shè)教學(xué)實(shí)踐，積累探究的經(jīng)驗(yàn)，追尋幾何學(xué)本質(zhì)．

3 “立體幾何”單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)路線

3.1 基于教學(xué)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)化

圖1 對概念的結(jié)構(gòu)化分析

數(shù)學(xué)概念是知識內(nèi)容最基本的構(gòu)成要素，數(shù)學(xué)中的推理、證明本質(zhì)上也是由一連串的概念所構(gòu)成的．立體幾何中涉及很多概念，主要可以分為兩類：關(guān)于位置的概念，如異面直線、線面垂直等；還有就是關(guān)于形狀的概念，如多面體、旋轉(zhuǎn)體等．知識結(jié)構(gòu)化主要梳理概念的來龍去脈，研究概念的抽象過程，分析概念的內(nèi)涵外延，發(fā)掘概念的應(yīng)用價(jià)值，這一過程可以由圖1[4]呈現(xiàn)．以下就以“棱柱”這一概念的教學(xué)加以說明．

(1)概念的抽象.給出各類幾何體，根據(jù)它們的圖形特征，做進(jìn)一步的分類，獲得概念的內(nèi)涵(最內(nèi)層)：在幾何體中按組成幾何體的基本元素進(jìn)行分類——多面體和旋轉(zhuǎn)體；在多面體中按基本元素的位置關(guān)系進(jìn)行分類——棱柱和棱錐；對于棱柱，提煉共性特征，形成概念——有兩個(gè)面互相平行，且這兩個(gè)面是全等的平面多邊形，不在這兩個(gè)面上的棱都互相平行．

(2)概念的判斷.分析構(gòu)成三維幾何體的基本幾何圖形及它們之間的形狀關(guān)系和位置關(guān)系(從里到外第二層)：組成要素——底面和側(cè)面(二維)、棱(一維)；屬性特征——平面多邊形(形狀)、平行(位置關(guān)系)．

(3)概念的理解.用文字語言和圖形語言描述幾何體，形成聯(lián)系統(tǒng)一，通過概念的辨析，用反例加深對概念的認(rèn)識(第三層)：表征——描述性定義(文字)、樣例表征(實(shí)物)、圖形表征(直觀圖)；例子——定義能否改為：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形？(反例)

(4)概念的功能.根據(jù)基本幾何圖形的形狀關(guān)系和位置關(guān)系做進(jìn)一步分類，理解概念的外延，將直線、平面位置關(guān)系的結(jié)論在幾何體中加以應(yīng)用(第四層)：對棱柱按底面多邊形形狀分類——三棱柱、四棱柱等；對棱柱按側(cè)棱與底面關(guān)系分類——直棱柱和斜棱柱；對直棱柱按底面是否是正多邊形分類——正棱柱和其他直棱柱；作圖——在具體情境下畫出幾何直觀圖；判斷、推理、度量——在立體幾何公理體系下或向量體系下做出判斷、推理和度量．

從以上的分析可見，對于棱柱這一概念，可以從多個(gè)維度對它展開研究，這是教學(xué)中的明線．比如棱柱概念的教學(xué)過程以“情境抽象—特征總結(jié)—構(gòu)成分析—變式理解—性質(zhì)關(guān)聯(lián)—概念應(yīng)用”的路徑展開，在教學(xué)中，除了關(guān)注單個(gè)知識點(diǎn)形成、相互關(guān)系及應(yīng)用，更需要強(qiáng)調(diào)知識體系的形成．立體幾何中同類概念具有相同的研究路徑，這是教學(xué)的暗線，探討的是本質(zhì)性的問題，比如如何概括幾何體特征？(用低維定義高維)，從哪些方面進(jìn)行構(gòu)成分析？(低維的幾何形狀、位置)，為何如此分類、分類的依據(jù)有哪些？(形狀關(guān)系和位置關(guān)系)……掌握了對幾何體概念的研究套路，今后涉及棱錐、圓柱、圓錐或陌生的幾何體時(shí)就可以一以貫之、觸類旁通了．以上是關(guān)于形狀的概念的結(jié)構(gòu)化處理，對于位置的概念教學(xué)也可以采用這樣的過程和方法．值得一提的是，上述主要闡釋的是單個(gè)知識點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，在有了一定的知識儲備的基礎(chǔ)上，也需要將單個(gè)知識點(diǎn)納入整體，比如錐體、柱體的區(qū)別，多面體、旋轉(zhuǎn)體的區(qū)別，多面體點(diǎn)、線、面的定量研究(歐拉公式)；歐氏幾何與非歐幾何的區(qū)別等．

3.2 基于教學(xué)組織的過程結(jié)構(gòu)化

過程結(jié)構(gòu)化包括了兩種涵義：一個(gè)是教材呈現(xiàn)的邏輯順序結(jié)構(gòu)，還有一個(gè)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程的結(jié)構(gòu)．教材結(jié)構(gòu)往往是靜態(tài)的，主要是線條式地展開，而學(xué)習(xí)過程的結(jié)構(gòu)是動(dòng)態(tài)的，包含了學(xué)生思考、探究的過程，這是落實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”的重要途徑．

在立體幾何中，基本幾何圖形的位置關(guān)系是立體幾何學(xué)的基礎(chǔ)，在整個(gè)立體幾何教學(xué)中起奠基作用．教材先是對三者的位置關(guān)系做了分類，然后從空間兩直線位置關(guān)系、線面位置關(guān)系和面面位置關(guān)系做了定性到定量的探究，其實(shí)三種關(guān)系的研究在路徑上有系統(tǒng)性、層次性和一致性．

(1)從主要的研究內(nèi)容來看，都是以“分類—特殊關(guān)系定性研究(平行、垂直)—定量研究(角、距離)”的過程來研究的，這一過程與學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣、認(rèn)知方式是吻合的，而且過程中的三個(gè)方面都具有相似的研究思路，比如對于位置關(guān)系的分類，都是以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為依據(jù)的；在定性研究平行、垂直的位置關(guān)系中，都是以“低維”刻畫“高維”的方式定義和判定的；在定量研究中，同樣用到了“以平面角代替空間角”的“降維”的思想．

(2)在上述大框架下，每個(gè)研究方面都有更細(xì)致的研究路徑.對于定性研究，可以按照“基本幾何對象”劃分，不論是線線、線面，還是面面關(guān)系，都是以“情境—定義—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”為主線的，因此，完全可以將“線面平行和線面垂直”的教學(xué)作為樣例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行具有整體性意義的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，進(jìn)而自主探究“面面平行和面面垂直”．

(3)除了大框架和小框架的橫向結(jié)構(gòu)，在教學(xué)中也應(yīng)注重縱向結(jié)構(gòu)，在按“基本幾何對象”定性研究的基礎(chǔ)上還可以按“平行”與“垂直”兩種不同的位置關(guān)系進(jìn)一步構(gòu)建聯(lián)系，形成如圖2所示的定理研究體系．

圖2 定性描述直線與平面“平行”“垂直”的定理之間的聯(lián)系

3.3 基于教學(xué)目標(biāo)的方法結(jié)構(gòu)化

(1)方法結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)相比于知識結(jié)構(gòu)和過程結(jié)構(gòu)而言更具內(nèi)隱性，一個(gè)習(xí)題、一個(gè)證明、一個(gè)圖形，散落在教材中的看似無關(guān)的問題，可能有著相同的方法，教師在教學(xué)中就需要對這些方法加以提煉，形成結(jié)構(gòu)．

比如在立體幾何中，常常把已知量和未知量集中轉(zhuǎn)移到某個(gè)平面內(nèi)(即基本面)予以研究，或者把已知量和未知量比較集中的平面作為基本面，把其他量看成是這個(gè)基本面的相關(guān)量，這樣以基本面為研究平臺來解決空間圖形問題的方法稱為“基本面法”．[5]這一方法貫穿在立體幾何教學(xué)的始終．有些是利用“基本面”作圖，比如平行公理的圖示說明；有些利用“基本面”進(jìn)行證明，比如直線與平面垂直判定定理、三垂線定理的證明；有些“基本面”本身就是一種幾何模型，比如異面直線的判定定理、棱錐中截面等；有些“基本面”的構(gòu)造是反映解題操作程序的，比如三類空間角的作法、異面直線的距離等；還有一些“基本面”是需要在具體的解題中構(gòu)造的．

(2)一般來說，數(shù)學(xué)方法的結(jié)構(gòu)可以考慮以下七個(gè)層面：過程意向—過程概括—內(nèi)在性質(zhì)—過程提煉—內(nèi)蘊(yùn)結(jié)構(gòu)—本質(zhì)特征—辯證關(guān)系．

以“基本面法”刻畫線面所成角為例(表1)．

表1 線面所成角研究中的“基本面法”

3.4 基于學(xué)科觀念的思維結(jié)構(gòu)化

思維結(jié)構(gòu)是比知識、過程、方法結(jié)構(gòu)更為凝練的結(jié)構(gòu)，是追根溯源的“一般觀念”，即“如何思考”“如何發(fā)現(xiàn)”“什么是幾何性質(zhì)”“什么是性質(zhì)定理”的一種“有邏輯的思考”．[6]比如對于幾何體的認(rèn)識，需要思考“如何觀察、歸納”“如何概括棱柱的內(nèi)涵”，對于點(diǎn)、線、面，“如何研究這些空間基本幾何圖形的性質(zhì)”，對于平行、垂直等位置關(guān)系，它們的性質(zhì)是“如何想到的”等本源性問題．

比如對于“性質(zhì)定理”，什么是性質(zhì)？有哪些一般觀念引領(lǐng)性質(zhì)研究？以線面平行的性質(zhì)定理為例．

設(shè)直線l∥平面α，固定直線l和平面α，直線m是平面α內(nèi)的任一直線，思考直線l與直線m的關(guān)系．讓直線m動(dòng)起來，易得直線l與直線m平行或異面．

若直線l與直線m平行，則直線l與直線m可以確定平面β，這樣，α∩β=m，而l∥m，即得到線面平行的性質(zhì)定理．

若直線l與直線m異面，則可過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ=n，則l∥n，則直線n與直線m的夾角即為異面直線l與m所成的角．

再來看“面面平行的性質(zhì)定理”，可以設(shè)平面α∥平面β，固定這兩個(gè)平面，讓平面α和平面β內(nèi)的直線動(dòng)起來，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)平面中的直線只有異面和平行兩種位置關(guān)系．

若兩直線平行，則兩條直線可以確定平面γ，這樣就自然想到，用第三個(gè)平面去截兩個(gè)平行平面，截得的交線始終平行，這就是面面平行的性質(zhì)定理．

若兩直線異面，則兩異面直線的距離就是平面α和平面β的距離．

所以，對于“性質(zhì)定理”，其中的“一般觀念”就是：固定這兩個(gè)幾何元素，讓“其他幾何元素動(dòng)起來”，觀察“變化中的不變性”．以上是“性質(zhì)定理”的一般觀念，除此之外，還有幾何體“定義方式”的一般觀念、基本幾何圖形“性質(zhì)”的一般觀念．在教學(xué)中若能思考這類“何由以知其所以然”的問題，才能達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的．

綜上所述，立體幾何作為獨(dú)特的幾何學(xué)，有著深刻的學(xué)科內(nèi)涵，在教學(xué)中教師除了仔細(xì)研讀課標(biāo)和教材，更需要從結(jié)構(gòu)化的角度對立體幾何內(nèi)容作剖析，從多角度、多層面觀察、分析、理解問題，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)、探尋過程結(jié)構(gòu)、提煉方法結(jié)構(gòu)、升華思維結(jié)構(gòu)，用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待教學(xué)．