權 寧，徐志鵬

(1.徐州工業(yè)職業(yè)技術學院 機電工程學院，江蘇 徐州 221000；2.江蘇建筑職業(yè)技術學院 交通工程學院，江蘇 徐州 221000)

引言

氣動位置控制在自動化、工業(yè)機器人、裝備制造等領域有著廣泛的應用,通常以壓縮空氣作為動力源，與液壓控制系統(tǒng)相比，其具有結構簡單、安裝方便、清潔無污染等便利[1-3]。隨著制造水平的提升和計算機技術的發(fā)展，控制元器件的體積進一步減少、精度進一步提高，氣動控制技術正朝著模塊化、集成化、微型化以及智能化方向發(fā)展[4-6]。在實際工作過程中，氣缸輸出速度易受到負載的波動而變化、摩擦力造成黏滑振蕩、氣體流過閥口的復雜性等原因，導致氣動系統(tǒng)是一個非線性控制系統(tǒng)，控制精度有待進一步提高[7-8]。通過對系統(tǒng)進行數(shù)學建模和仿真實驗的方式研究氣動位置控制系統(tǒng)的輸入和輸出特性，對提高系統(tǒng)模型的精度、定位的準確性具有一定意義。

1 組成與原理

1.1 系統(tǒng)組成

氣動位置控制系統(tǒng)組成包括氣缸、位移傳感器、三位五通比例閥、數(shù)據(jù)采集卡、以及PC等[9-11]，其中氣缸型號為NCI-32-150-P-A；電位式位移傳感器的型號MLO-POT-450-TLF；三位五通比例閥的型號MPYE-5-1/8HF-010-B。

1.2 工作原理

氣動位置控制系統(tǒng)工作原理如圖1所示，通過控制比例閥的開合度來控制A，B兩腔的氣流量，從而控制活塞或負載的位置，通過電位式位移傳感器反饋的信息達到閉環(huán)控制。壓縮空氣經(jīng)三位五通比例閥流經(jīng)A或B腔，使A，B兩腔出現(xiàn)壓力差，在壓力差作用下帶動活塞運動。電位式位移傳感器采集的信號經(jīng)A/D轉化后傳送給PC，PC運算后經(jīng)D/A轉換后輸出至比例閥。

圖1 工作原理圖

當系統(tǒng)輸入?yún)⒖茧妷簳r，通過電位式位移傳感器檢測活塞的實時位置，并將結果轉化成電壓信號反饋給控制器，實現(xiàn)氣動位置控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制。氣動位置控制系統(tǒng)結構框圖如圖2所示，其中yd是系統(tǒng)參考信號；y是活塞實際位置信號；e是系統(tǒng)跟蹤誤差；u是PC控制信號。

圖2 系統(tǒng)結構框圖

2 系統(tǒng)模型

為便于對系統(tǒng)進行數(shù)學建模，假設系統(tǒng)介質為理想氣體、無泄漏；系統(tǒng)無慣性與彈性負載，有黏性負載[12-15]。在氣動位置控制系統(tǒng)中，壓縮空氣通過三位五通比例閥的流量與閥口結構、閥口開合程度以及上下游壓強比有關。

氣缸A，B兩腔的壓力變化方程：

(1)

式中,k—— 定壓比熱和定容比熱之比

R —— 氣體常數(shù)

Ts—— 環(huán)境溫度

pa—— 氣缸A腔壓力

pb—— 氣缸B腔壓力

qma—— 氣缸A腔氣體質量流量

qmb—— 氣缸B腔氣體質量流量

A—— 氣缸有效橫截面積

L0—— 活塞初始位置

y—— 活塞位移

假設閥口的進口壓力為ps保持穩(wěn)定，出口壓力為p，那么經(jīng)過閥口的質量流量方程如下所示：

(2)

式中，λ—— 修正指數(shù)，一般取λ=0.25

Cf—— 臨界壓力比

ps—— 比例閥的進口壓力

p—— 比例閥的出口壓力

A(u) —— 比例閥開口面積

對于氣動位置控制系統(tǒng)中氣缸的A，B兩腔，因為氣體通過三位五通比例閥的質量流量qm是控制量u和閥口上下游壓強pa與pb的函數(shù)，其中控制信號為二次函數(shù)A(u)=k1u2+k2u，所以氣缸A，B兩腔的質量流量qm有如下公式：

根據(jù)牛頓第二定律，可得氣動位置控制系統(tǒng)的動力學方程：

(4)

式中，m—— 活塞與負載的總質量

Ff—— 摩擦力

由式(4)可知，摩擦力Ff是與速度有關的非線性函數(shù)：

(5)

式中,ba—— A腔黏性摩擦系數(shù)

bb—— B腔黏性摩擦系數(shù)

Fa—— A腔庫倫摩擦力

Fb—— B腔庫倫摩擦力

由式(1)～式(5)得系統(tǒng)模型：

(6)

實際工作過程中，氣動位置控制系統(tǒng)受到外界溫度、濕度等環(huán)境干擾，氣體各項參數(shù)是一個動態(tài)變化的，其是一個非線性系統(tǒng)。為便于對位置控制系統(tǒng)分析與研究，忽略運動過程中的摩擦力，對fa(u,pa)與fb(u,pb)局部線性化處理，可得：

(7)

式中，x1—— 活塞位移

x2—— 活塞速度

x3—— 活塞加速度

b—— 系統(tǒng)未知增益

a1,a2,a3—— 系統(tǒng)未知參數(shù)

3 系統(tǒng)辨識

3.1 參數(shù)辨識

氣動位置控制系統(tǒng)測試通常包含白色噪聲和有色噪聲。在系統(tǒng)參數(shù)辨識過程中利用增廣最小二乘法以實現(xiàn)擴充參數(shù)的向量和數(shù)據(jù)向量的維數(shù)，利用D(z-1)將噪聲集提到待觀測序列中，實現(xiàn)有色噪聲到白色噪聲的轉換，從而實現(xiàn)對有色噪聲參數(shù)的無偏估計。

增廣最小二乘法中的噪聲模型：

A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+D(z-1)v(k)

(8)

式中，u(k) —— 系統(tǒng)輸入變量

z(k) —— 系統(tǒng)輸出變量

當v(k)未知時，則采用增廣最小二乘的遞推算法：

(9)

3.2 階次辨識

在氣動位置控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的階次是一個重要參數(shù)，但是在實際試驗過程中一般無法提前獲知。因此，需要在參數(shù)辨識之前要確定氣動控制系統(tǒng)中的階次，一般結構辨識方法主要有：F檢驗方法、FPE準則法、AIC準則法。

F檢驗法一般用于檢驗兩個模型的差異性；FPE準則法一般利用模型進一步預報誤差的方差來判定模型的階數(shù)是否適用，誤差的方差越小，則模型擬合度越好；AIC準則法既考慮了擬合模型對原始數(shù)據(jù)的接近程度，也考慮了模型中所含待定參數(shù)的個數(shù)，該準則不僅可以權衡所估計模型的復雜度，也可以衡量模型擬合數(shù)據(jù)的優(yōu)良性。

通過上述3種結構辨識方法優(yōu)劣比較，在氣動位置控制系統(tǒng)辨識中，最優(yōu)采用AIC準則，建立了白噪聲和有色噪聲2種模型。

(1)白噪聲模型：

(10)

根據(jù)極大似然估計可得：

(11)

參數(shù)θn和噪聲v(k)方差的極大似然估計值：

(12)

L—— 數(shù)據(jù)長度

(2) 有色噪聲模型：

(13)

根據(jù)AIC準則原理知準則函數(shù)：

(14)

聯(lián)立上式(10)～式(14)，找到使得AIC(n，m)最小的n，m，即為氣動位置控制系統(tǒng)模型階次的估計值。

4 模型檢驗

為驗證得到的系統(tǒng)辨識估計模型的可靠性，可通過驗證該模型與系統(tǒng)過程輸出殘差序列{ε(k)}的白噪聲。如果殘差序列{ε(k)}可以視作零均值的白噪聲序列，則認為模型是可靠的。

根據(jù)氣動位置控制系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù){u(k)，z(k)}在系統(tǒng)模型中：

z(k)=G(z-1)u(k)+N(z-1)v(k)

(15)

式(17)中G(z-1)和N(z-1)是相應的傳遞函數(shù)估計量，則系統(tǒng)輸出殘差：

(16)

此時，模型的檢驗問題轉換為“{ε(k)}是否白噪聲序列”，檢驗方法如下：如果{ε(k)}是白噪聲序列，則取樣本ε(l)(l=1,2,3…)，l為系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)長度，假設ρε(l)為ε(k)的相關系數(shù)，則：

ρε(l)=Rε(l)/Rε(0)

(17)

式中，Rε(0)與Rε(l)是ε(k)的自相關系數(shù)。

若在系統(tǒng)數(shù)據(jù)長度有限，則ρε(l)的估計值表示成：

(18)

因此，系統(tǒng)模型檢驗問題轉化為檢驗統(tǒng)計量t是否為m的中心χ2正態(tài)分布。

(20)

(21)

如果滿足式(20)、式(21)要求，則認為{ε(k)}是零均值的白噪聲序列，相應的辨識模型是可靠的。

5 實驗驗證

5.1 零點校準

本實驗所用三位五通比例閥的型號是MPYE-5-1/8HF-010-B，其理論零點是5 V。由于系統(tǒng)長期使用或閑置影響比例閥控制精度，所以在實驗前需要對比例閥零點校準。在零點調試過程中，給該系統(tǒng)一個周期為0.8 s，幅值為500 A的正弦信號作為零點的輸入信號。當輸出信號與輸入信號變化趨勢基本一致時，即為該系統(tǒng)的零點。如圖3所示，實線是活塞的位置信號，虛線為系統(tǒng)零點經(jīng)過調整設定為2058 μV。

圖3 比例閥零點調試

5.2 數(shù)據(jù)采集

氣動位置控制系統(tǒng)實驗采樣時間設定為10 ms，辨識過程設定數(shù)據(jù)長度為1000，實驗設定逆M序列為7級。當幅值為1000 A時，數(shù)據(jù)采集曲線如圖4a所示；幅值為1200 A時，其曲線如圖4b所示。

圖4 數(shù)據(jù)采集曲線

5.3 結果分析

表1 幅值為1000 A時白噪聲模型階次

表2 幅值為1000 A時有色噪聲模型階次

表3 幅值為1000 A時模型參數(shù)辨識

圖5 殘差圖

表4 幅值為1000 A時自相關系數(shù)

表5 幅值1200 A時白噪聲模型階次

表6 幅值1200 A時有色噪聲模型階次

表7 幅值1200 A時模型參數(shù)辨識

表8 幅值1200 A時自相關系數(shù)

圖6 殘差圖

通過圖7可看知幅值分別為1000 A和1200 A時兩種系統(tǒng)的傳遞函數(shù)基本上等價，說明在相同階次的逆M序列且幅值在一定范圍內，不同系統(tǒng)對模型參數(shù)的辨識影響較小。

圖7 系統(tǒng)對比圖

6 結論