付正光

(合肥市廬陽高級中學(xué)，安徽 合肥 230041)

圓錐曲線的綜合問題是高中解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容.橢圓是圓錐曲線中一種重要的形式,利用橢圓的幾何特點(diǎn)能產(chǎn)生有趣的物理現(xiàn)象,其中橢圓的光學(xué)特性為中學(xué)物理所熟知．除光學(xué)性質(zhì)外,筆者發(fā)現(xiàn)橢圓還有特殊的“力學(xué)”特點(diǎn)．

1 “掛畫”問題引發(fā)的思考

例1.如圖1所示,一幅畫通過一根輕繩懸掛在圓滑的鐵釘P上,掛上后發(fā)現(xiàn)畫是傾斜的,已知∠APB=90°,∠PAB=30°,畫的重力為G,不計(jì)繩與釘之間的摩擦,則繩PB中的張力大小為

圖1

參考答案：(A).

評析1： 看到圖1,筆者本能地想到了圖2,第一感覺畫框應(yīng)該如圖2 水平,怎么會傾斜呢?但仔細(xì)觀察圖1,若畫框的重心在懸掛點(diǎn)P的正下方的確可以平衡．出于好奇,筆者找來一塊質(zhì)地均勻的薄矩形木板、小滑輪及柔軟的細(xì)線等,將細(xì)線對稱地系在木板的兩邊,再輕輕地將細(xì)線的中點(diǎn)懸掛在小滑輪上．此時,發(fā)現(xiàn)木板可以像圖2一樣水平靜止不動,但稍作擾動便變成圖1或圖3傾斜的狀態(tài);再輕輕地還原成圖2,稍作擾動又變成圖1或圖3,且不能自發(fā)地回到圖2．筆者越發(fā)好奇,難道圖2是由于滑輪摩擦的原因而水平?還是與細(xì)線的長度有關(guān)?于是,逐漸增加細(xì)線的長度,發(fā)現(xiàn)由圖2變成圖1(因圖3與圖1對稱,后文不再提圖3)傾斜得越來越不明顯,細(xì)線達(dá)到一定的長度后,無論怎么擾動,細(xì)線的懸掛點(diǎn)始終不變,木板始終處于水平靜止?fàn)顟B(tài)不再傾斜．

圖2

圖3

例2.(2009年江蘇高考題)用一根長1 m的輕質(zhì)細(xì)繩將一幅質(zhì)量為1 kg的畫框?qū)ΨQ懸掛在墻壁上．已知繩能承受的最大張力為10 N．為使繩不斷裂,圖4中畫框上兩個掛釘?shù)拈g距最大為(g取10 m/s2)

圖4

參考答案： (A).

評析2： 題2中圖4畫框?yàn)槭裁词撬降哪?是不是在細(xì)線較短時,圖1中畫的重心始終低于圖2;在細(xì)線較長時,反而圖2中畫的重心低于圖1呢?

在重力場以及其它勢場中,物體的平衡種類有:穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡．處于勢場中的物體和場一起具有勢能,而物體始終具有向勢能較低位置運(yùn)動的趨勢．穩(wěn)定平衡是物體處于勢能相對最低位置時的平衡;不穩(wěn)定平衡是指物體處于勢能相對較高位置時的平衡,任何微小的擾動,總能引起它的勢能減小,且不能回到原來那個勢能較高的位置．

可以抽象出這樣的數(shù)學(xué)模型:在細(xì)線長度一定時懸掛點(diǎn)P和兩掛釘構(gòu)成橢圓,兩個掛釘是橢圓的焦點(diǎn),P點(diǎn)就是橢圓上的一個動點(diǎn)．畫的重心M到點(diǎn)P的距離則可以等效為定點(diǎn)到橢圓的距離．

2 建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行理論分析

2.1 點(diǎn)到橢圓距離的最大值

圖5

點(diǎn)P(acosθ,bsinθ)(0<θ<180°)是橢圓在第一、二象限的任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離為d,由坐標(biāo)關(guān)系可得

d2=(acosθ)2+(bsinθ+m)2=

-(a2-b2)sin2θ+2bmsinθ+a2+m2=

-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2.

因0<θ<180°,結(jié)合二次函數(shù)y=-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2的圖像可知

圖6 圖與橢圓相切于最高點(diǎn)

結(jié)合上述理論分析不難理解,由于畫框的重心和兩掛釘相對畫框是固定的,細(xì)線較短時,圖1(圖7)傾斜畫框的重心比圖2(圖8)水平畫框的重心低,畫框的重力勢能小,圖1(圖7)屬于穩(wěn)定平衡,圖2(圖8)屬于不穩(wěn)定平衡;在細(xì)線達(dá)到一定長度時,圖2(圖6)中畫的重心反而比圖1低,圖2(圖6)屬于穩(wěn)定平衡,圖1反而不能平衡．

圖7 圓與橢圓有2個切點(diǎn)

圖8 圓與橢圓有1個或2個切點(diǎn)

當(dāng)畫框平衡時以上規(guī)律既對題1“掛畫”問題的有了理論解釋,又幫助學(xué)生對抽象的圓錐曲線相切問題找到了真身．讓學(xué)生真正體會到數(shù)形結(jié)合是物理規(guī)律的詮釋,物理現(xiàn)象又是數(shù)形結(jié)合的升華．現(xiàn)再仔細(xì)琢磨題2,題給條件中沒有畫框的重心位置,便不能確定畫框最終處于何種平衡狀態(tài)．試想,若沒有“對稱”兩字,可能就是一個備受爭議的高考題了!可見物理命題真的不能隨意,或者臆想一個物理情境,否則可能會發(fā)生意想不到的結(jié)果．

這一現(xiàn)象又引發(fā)筆者對對稱性的思考:既然“掛畫”問題具有定點(diǎn)到橢圓之間距離的這種關(guān)系,那么“晾衣桿”模型是否也具有類似的規(guī)律呢?筆者又自覺地想到了下面的題3,但這屬于直線到橢圓距離的問題,且看以下數(shù)形結(jié)合分析．

2.2 直線到橢圓距離的最小值(相切)

例3.(2017年天津高考題)如圖9所示,輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn),懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)．如果只人為改變一個條件,當(dāng)衣架靜止時,下列說法正確的是

圖9

(A) 繩的右端上移到b′,繩子拉力不變.

(B) 將桿N向右移一些,繩子拉力變大.

(C) 繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小.

(D) 若換掛質(zhì)量更大的衣服,則衣架懸掛點(diǎn)右移.

參考答案： (A)、(B).

圖10

平衡時,衣架懸掛點(diǎn)一定在橢圓的幾何最低點(diǎn)P″,P″T″與橢圓相切且水平．為方便表述,現(xiàn)將此橢圓繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)φ角,如圖10所示,F1″變?yōu)镕1′、F2″變?yōu)镕2′,P″變?yōu)镻、Q″變?yōu)镼,橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為方程為為繩長,相當(dāng)于兩桿的距離變?yōu)樵骄€P″T″的斜率則變?yōu)閗=-tanφ．由于衣架懸掛點(diǎn)P在第三象限,因此將k=-tanφ

3 結(jié)語

圓錐曲線中橢圓的光學(xué)性質(zhì)有很多規(guī)律和結(jié)論,有時純解析幾何角度的推演很繁雜甚至難理解,但由橢圓的“力學(xué)”性質(zhì)及物理規(guī)律去分析,很多問題便迎刃而解．本文分析了橢圓的兩類問題:定點(diǎn)到定焦點(diǎn)、不同長軸的橢圓的距離關(guān)系;非共焦但同長軸的橢圓的切線關(guān)系．受力平衡的兩類問題將橢圓的兩類問題化抽象為具象,在重力場中得到印證,數(shù)理結(jié)合的魅力可見一斑．