常燕

[摘 要]二次函數(shù)與直角三角形問題的突破存在一定難度，需要學(xué)生把握知識(shí)考點(diǎn)，靈活選用解法來構(gòu)建解題思路.總體而言，可從幾何、代數(shù)兩大方向進(jìn)行問題探究，充分利用直角三角形的勾股定理、斜率之積為-1的幾何意義來解題.

[關(guān)鍵詞]二次函數(shù);直角三角形;勾股定理;斜率

【真題探究】

2020年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)的壓軸題以二次函數(shù)與直角三角形為背景，其解析方法具有一定的代表性，下面筆者對(duì)其進(jìn)行深入剖析.

考題：（2020年徐州市中考數(shù)學(xué)卷第28題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)[y=-ax2+2ax+3aa>0]的圖像交[x]軸于點(diǎn)[A]、[B]，交[y]軸于點(diǎn)[C]，它的對(duì)稱軸交[x]軸于點(diǎn)[E].過點(diǎn)[C]作[CD∥x]軸交拋物線于點(diǎn)[D]，連接[DE]并延長交[y]軸于點(diǎn)[F]，交拋物線于點(diǎn)[G].直線[AF]交[CD]于點(diǎn)[H]，交拋物線于點(diǎn)[K]，連接[HE]、[GK].

（1）點(diǎn)[E]的坐標(biāo)為 ;

（2）當(dāng)[△HEF]是直角三角形時(shí)，求[a]的值;

（3）[HE]與[GK]有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

解析：考題為二次函數(shù)壓軸題，第（2）問探究[△HEF]為直角三角形時(shí)a的取值，下面主要探究該問的解法，不對(duì)第（3）問深究.該問涉及點(diǎn)E，有必要先求解（1）問中點(diǎn)E的坐標(biāo).

（1）點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，由拋物線的解析式可知其對(duì)稱軸為[x=-2a2×（-a）=1]，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）.

（2）該問設(shè)定了眾多的相交條件，根據(jù)交點(diǎn)求法即可求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將其表示為與a相關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo).探究[△HEF]為直角三角形時(shí)a的取值可采用代數(shù)法，由點(diǎn)坐標(biāo)求線段長，分類討論不同情形下由勾股定理構(gòu)建的方程.

評(píng)析：上述在突破二次函數(shù)與直角三角形問題時(shí)采用了代數(shù)法，即利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解三角形的邊長，分三種情形討論直角三角形，由勾股定理構(gòu)建與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的方程，從而完成求解.該種方法的思維過程較為簡(jiǎn)單，但計(jì)算過程相對(duì)較為復(fù)雜，解析突破時(shí)需嚴(yán)格論證，精準(zhǔn)求解.

【解法拓展】

對(duì)于二次函數(shù)與直角三角形問題，還可從幾何視角構(gòu)建解題思路，若坐標(biāo)系中兩直線相垂直，則直線的斜率之積為-1，具體原理如下.

解析：上述為直角三角形探究題，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，題干沒有設(shè)定直角頂點(diǎn)，則需要分別討論點(diǎn)A、B和P為直角頂點(diǎn)的三種情形.可采用幾何法，從斜率角度分別探討.由于動(dòng)點(diǎn)P位于二次函數(shù)圖像上，可通過“兩線一圓”來繪制圖像，則具體步驟如下.

評(píng)析：上述在解析二次函數(shù)與直角三角形問題時(shí)采用了幾何解析法，以相互垂直直線的斜率之積為-1來構(gòu)建方程，然后分類求解點(diǎn)坐標(biāo).問題解析的難點(diǎn)主要在模型構(gòu)建上，函數(shù)背景中特定條件下可構(gòu)建不同的直角模型，會(huì)造成多解情形，此時(shí)就需要論證直角模型.合理利用幾何圓的特性，利用隱圓建模是數(shù)學(xué)的常用方法，解題時(shí)可靈活運(yùn)用.

【解后反思】

1.挖掘問題考查點(diǎn)，生成程序性解法

二次函數(shù)與直角三角形中考?jí)狠S題的設(shè)問形式較為多變，但考題所涉及的內(nèi)容是固定的，知識(shí)考點(diǎn)有規(guī)律可循.往往考題涉及的知識(shí)點(diǎn)包括拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、直線解析式、勾股定理、三角形相似的性質(zhì)、兩線垂直條件等.可綜合運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想來破解問題.教學(xué)中教師可引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘考點(diǎn)，總結(jié)類型問題的解題思路，如二次函數(shù)與直角三角形問題可按照“設(shè)點(diǎn)找點(diǎn)→分類建?！鷺?gòu)建方程→解點(diǎn)求值”的流程突破，教師可結(jié)合具體問題，幫助學(xué)生生成程序性解法.

2.挖掘解法原理，深入拓展探究

上述對(duì)二次函數(shù)與直角三角形問題開展解法探究，生成了代數(shù)法與幾何法兩種解題方法，每一種方法背后都隱含著對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)原理，因此深入挖掘解法原理是教學(xué)的關(guān)鍵.教師可立足基本問題引導(dǎo)學(xué)生理解幾何法中利用斜率乘積構(gòu)建思路的幾何意義，以及代數(shù)法中由勾股定理構(gòu)建方程的本質(zhì)內(nèi)涵，從而使學(xué)生從根本上掌握解題方法.另外，教師有必要對(duì)類型問題的解法進(jìn)行拓展探究.以上述問題為例，除了利用勾股定理和斜率之積來構(gòu)建思路，還可利用幾何相似，通過直角三角形相似來挖掘垂直關(guān)系，求解推導(dǎo).

3.關(guān)注思維發(fā)展，設(shè)問引導(dǎo)探究

考題探究是提升學(xué)生解題能力的重要方式，而在探究過程中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，以發(fā)展學(xué)生思維為目的.如上述考題教學(xué)中有必要立足考題結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生思考問題考查點(diǎn)，結(jié)合圖像進(jìn)行條件推理，思考解析方向.教師在探究環(huán)節(jié)要合理設(shè)問，準(zhǔn)確把控探究方向，啟發(fā)學(xué)生思考，同時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生適度聯(lián)想，對(duì)比解題方法，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生思維的連續(xù)性.

（責(zé)任編輯 陳 昕）