孫二林，張為斌,2

（1.北京宸瑞科技股份有限公司，北京 100080；2.北京宸信征信有限公司，北京 100080）

“國家”是地理學的重要概念，根據(jù)聯(lián)合國官網(wǎng)，目前全世界的國家個數(shù)是193 個[1]。除了“國家”以外，還有一些“地區(qū)”或“經(jīng)濟體”，如中國香港特別行政區(qū)、百慕大。關于地區(qū)的個數(shù)，不同的組織有不同的說法，如世界銀行數(shù)據(jù)庫中的地區(qū)個數(shù)是24 個[2]。國家和地區(qū)總數(shù)是200 多個。

國家和地區(qū)有三個基本變量：個數(shù)、人口、經(jīng)濟總量。國家和地區(qū)個數(shù)相對穩(wěn)定，但有時也會發(fā)生變化，如1991 年蘇聯(lián)解體為15 個獨立國家。一般認為，人口和GDP 在一定程度上符合冪律分布。奧爾巴赫（Auerbach）最早指出，城市規(guī)模分布可以用冪律分布近似表示；后來經(jīng)過齊普夫(Zipf) 的進一步發(fā)展和完善，形成了城市規(guī)模分布的齊普夫定律[3]。從國內(nèi)外現(xiàn)有文獻來看，學者們采用齊普夫定律等方法，對中國城市規(guī)模分布進行了大量的實證研究，得出的主要結論爭議比較大[4]。關于國家GDP 的分布，Corrado Di Guilmi 等人發(fā)現(xiàn)，在1960-1997 年期間，中等收入國家的人均GDP 符合冪律分布，其他國家不符合[5]。Narushige SHIODE 和Michael BATTY 發(fā)現(xiàn)，各國的人口、GDP、網(wǎng)站、超鏈接都不遵循冪律分布，只不過人口和GDP 的分布比Web 數(shù)據(jù)更接近冪律分布[6]。至于國家個數(shù)分布的研究則非常少。本文的目的就是探討國家及地區(qū)個數(shù)、人口、GDP 的分布規(guī)律。

1.模型的基礎

正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。例如，一個人口群體的智商；一組人的某科目考試成績；實驗中的隨機誤差，等等，均呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布[7]。布拉德福定律、齊普夫定律、洛特卡定律是文獻計量學中最基本的三大定律，可以認為它們是一種分布規(guī)律的不同表現(xiàn)形式[8]。這種分布規(guī)律就是冪律分布。在經(jīng)濟學中，需求規(guī)律是在其他條件相同時，一種物品價格上升，該物品需求量減少的規(guī)律。需求規(guī)律可以用需求曲線表示，需求曲線是一種物品價格與需求量之間關系的圖形。根據(jù)習慣，價格在縱軸，需求量在橫軸，需求曲線是從左上方向右下方傾斜的曲線[9]。需求定律中的需求曲線也符合冪律分布。指數(shù)增長和Logistic 增長是最基本最常見的增長方式，它們能很好地刻畫自然界和人類社會中很多物質量的變化規(guī)律。比如：生物種群的繁衍；人口的增加；樹木的生長；國民收入的增長；傳染病的傳播；新產(chǎn)品、新技術的市場擴散等[10]。國家GDP的增長是指數(shù)增長，這方面的研究很多；各國GDP 的分布是否也是指數(shù)分布，這方面的研究較少。本文將嘗試提出一種以指數(shù)分布為主、輔之以正態(tài)分布和冪律分布的分布模型。

當代法國政治社會學家莫里斯·迪韋爾熱(Maurice Duverge)基于對政治的社會學認識,他首先把所有已存在過或存在著的國家分為兩類:一是“未發(fā)展的國家”,二是“發(fā)展的國家”。莫里斯把現(xiàn)代社會的國家稱之為發(fā)展的國家，并具體分為發(fā)達國家、半發(fā)達國家(認為稱這類國家為發(fā)展中國家)、不發(fā)達國家三種國家類型。此外，有人按國家實力及國際地位把世界各國劃分為超級大國、大國、中等國家和弱小國家[11]。世界銀行于1978 年在世界發(fā)展報告中首次發(fā)布了國家收入分類標準以及人均國民總收入（GNI）指標的國家排序數(shù)據(jù)，將全球所有國家和地區(qū)按人均GNI 高低，劃分為高收入國家組、中上等收入國家組、中下等收入國家組和低收入國家組[12]。以上分類中除了世界銀行屬于定量標準以外，其他均為定性標準。要研究國家及地區(qū)的個數(shù)、人口、GDP 分布，應該把定性標準定量化。

地理環(huán)境對人類有明顯的限制作用。例如，科學技術迅速發(fā)展，促進了現(xiàn)代人類起源的研究，科學家們在化石、分子生物學、遺傳學等方面不斷取得新成果，總地來看，近幾年獲得的各項現(xiàn)代人類起源研究成果都明顯傾向于“非洲起源說”[13]。為什么最早的人類起源于非洲，這難以用地理環(huán)境以外的原因解釋。能量最低原理是自然界一切物質運動所必須遵循的自然法則，大到每一個化學反應，小到原子核外的電子運動，無不按照這一規(guī)律進行。齊普夫定律的理論基礎是“最省力法則”[14]。這一法則也是能量最低原理的一種表現(xiàn)形式。人類受到地理環(huán)境和物理規(guī)律的限制，說到底是受到能量最低原理的限制。它使得人類像電子一樣，按照能量從低到高的順序填充地球表面乃至宇宙空間。能量最低原理也是本文的主要思想基礎。

2.模型的假設

2.1 人口GDP 圖

齊普夫定律可以描述單詞在文獻中以及城市在國家中的分布，文獻可以看成是一維空間，國家內(nèi)部的人口可以自由流動。但國家并非處于一維空間中，國家間的人口也不能自由流動。國家分布于地球表面，這是一個由經(jīng)度、緯度、海拔高度組成的三維空間，但可以近似地看成是二維空間，因為海拔高度與地球半徑的比值大約為1:1000，可以忽略不計。

人類從非洲出發(fā)，沿著經(jīng)度變化（自西向東）和緯度變化（自南向北）兩個基本方向遷徙，當然也可能沿著自西南向東北的方向遷徙，這個方向也可以分解為經(jīng)度變化和緯度變化兩個基本方向。在遷徙的路上，人類會組成人口越來越多的群體；另一方面，人類的人均GDP 又會越來越高。也就是說，“人口”和“人均GDP”也是人類進化的兩個維度。人口越來越多的方向大致就是經(jīng)度變化的方向，人均GDP 越來越高的方向大致就是緯度變化的方向。例如，印度、中國這樣人口較多、較為貧窮的國家位于非洲的東方，而西歐、北歐這些人口較少、較為富裕的國家位于非洲的北方。既可以認為國家位于經(jīng)度和緯度組成的二維地理空間中，也可以認為國家位于人口和人均GDP 組成的二維經(jīng)濟空間中。一個國家的人口和人均GDP 的乘積恰巧就是這個國家的GDP，因此在二維經(jīng)濟空間中分析國家的GDP 是最簡單直接的方法。

經(jīng)濟學中的需求定律描述的人類的產(chǎn)品數(shù)量和價格之間的規(guī)律，從更底層角度來講，人類本身也是地球的一種“產(chǎn)品”，同樣也遵循地球的需求定律。我們可以繪制一張“人口GDP圖”，其橫坐標表示人口，縱坐標表示人均GDP，任何一個人群——包括家族、企業(yè)、國家、地區(qū)等——都可以用這張圖上的一個點表示，點的橫坐標與縱坐標的乘積就是這個人群的GDP。如圖1 所示。

圖1 人口GDP 圖的示意圖

在這張圖上，按照冪律分布規(guī)律，人口和人均GDP 成反向變動關系，同一條雙曲線（可以簡化為從左上角到右下角的斜線）上的點表示GDP 相同的人群，雙曲線的位置越高，線上的人群的GDP 也越高。例如，人群A 和B 位于同一條雙曲線上，它們的GDP 相同；C 位于較低的雙曲線上，它的GDP也較低；D 位于較高的雙曲線上，它的GDP 也較高。

經(jīng)濟學中有兩條重要的曲線：需求曲線和供應曲線，它們合起來構成了供需關系。一般來說，需求曲線從左上角向右下角延伸，而供應曲線從左下角向右上角延伸。在圖1 中，人群A 和人群B 處于同一條需求曲線上，而人群C 和人群D 處于同一條供應曲線上。人群A 和人群B 的GDP 大致相同，人群C 和人群D 也有一個大致相同的變量，這就是人口。小而富的人群和大而窮的人群的GDP 總量差不多，小而窮的人群和大而富的人群的人口總量差不多。

2.2 九宮格

人口GDP 圖既可以分為四格，也可以分為九格、十六格等等，其中最好的劃分方法是劃成九宮格。這是因為人類的腦力、體力等各種能力都服從正態(tài)分布，可以大致分為低水平的人、中等水平的人、高水平的人。一般來說，一個國家的人口多少基于組織能力，人均GDP 則基于科技研發(fā)能力。可以假定這兩個能力服從正態(tài)分布，因此人口GDP 圖的縱向和橫向都可以分為低、中、高三檔，由此構成九宮格，把所有國家和地區(qū)分為九種類型，如圖2 所示。

圖2 人口GDP 圖中的九宮格

為方便起見，我們把九宮格編上號，從左下角到右上角依次是方格1 至方格9。如前所述，同一條從左上延伸到右下的斜線上的點的GDP 相同，斜線越高GDP 也越高，因此又可以把九宮格分為5 個GDP 等級，從左下角到右上角逐漸從1 級升高至5 級，它們的GDP 依次升高。與GDP 等級類似，還可以把九宮格分為5 個人口等級，從左上角到右下角逐漸從1 級升高至5 級，它們的人口依次升高。

2.3 假設的提出

至此，我們提出國家和地區(qū)的個數(shù)、人口、GDP 的分布的假設如下：

在以人口為橫坐標、以人均GDP 為縱坐標的人口GDP 圖中，所有國家和地區(qū)可以劃分為九宮格，九宮格內(nèi)的國家和地區(qū)個數(shù)、人口、GDP 符合指數(shù)分布，可以用三個指數(shù)函數(shù)表示。

指數(shù)函數(shù)一：國家和地區(qū)個數(shù)介于[27-M,29-M]之間，大致等于28-M，其中M 是從1 至9 的整數(shù)，是從左下角到右上角的方格序號；

指數(shù)函數(shù)二：假設方格1 的GDP 為1，那么其余各方格的GDP 介于[2N-2,2N-1]之間，其中N 是從2 至5 的整數(shù)，是從左下角到右上角的GDP 等級?；蛘?，假設方格9 的GDP 為1，那么其余各方格的GDP 介于[2N-5,2N-4]之間，其中N 是從1至4 的整數(shù)，是從左下角到右上角的GDP 等級；

指數(shù)函數(shù)三：假設方格3 的人口為1，那么其余各方格的人口介于[2L-2,2L]之間，大致等于2L-1，其中L 是從2 至5的整數(shù)，是從左上角到右下角的人口等級。

3.模型的實證

3.1 數(shù)據(jù)及九宮格劃分方法

我們用世界銀行數(shù)據(jù)庫中2000、2005、2010、2015、2018這五個年度的各國人口和人均GDP 數(shù)據(jù)進行驗證[15][16]。該數(shù)據(jù)中共有217 個國家及地區(qū)，其中有20 多個中小國家和地區(qū)沒有某年的人均GDP 數(shù)據(jù)，采用聯(lián)合國數(shù)據(jù)[17]或世界銀行數(shù)據(jù)庫最接近該年的數(shù)據(jù)代替。還有3 個地區(qū)完全沒有人均GDP數(shù)據(jù)，它們?nèi)丝诤嫌嫾s為10 萬人，即使忽略也影響不大。經(jīng)過處理后有214 個國家和地區(qū)的數(shù)據(jù)。

五年數(shù)據(jù)的劃分閾值及部分方格的具體國家如表1 所示。每一年都有兩個人口閾值和兩個人均GDP 閾值，它們把214個國家和地區(qū)劃分為九宮格。請注意方格9 由美國獨占，方格8 在2000 年、2005 年是空缺的，在2010 年以后巴西、中國依次進入方格8，2018 年中國獨占方格8。

表1 五年數(shù)據(jù)的劃分閾值及部分方格的具體國家

3.2 五年數(shù)據(jù)的驗證情況

表2 是五年數(shù)據(jù)的驗證情況。表格中有125 個背景為灰色的數(shù)值，這些數(shù)值可以驗證實際數(shù)值是否符合指數(shù)函數(shù)。其中有15 個加粗的數(shù)值，它們是不符合假設的數(shù)值。2000 年、2005 年方格8 的各項數(shù)值為0，這是因為該方格是空缺的。

表2 五年數(shù)據(jù)的驗證情況

表3 是五年總的驗證情況，各年的準確率（相符數(shù)據(jù)個數(shù)與總數(shù)據(jù)個數(shù)的比值）在80%至96%之間波動，平均值是88%。

表3 五年總的驗證情況

3.3 不符數(shù)據(jù)的原因分析

在15 個不符合的數(shù)據(jù)中，方格8 占了8 個，方格7 占了5個，不符合的數(shù)據(jù)主要集中在這兩個方格。方格8 在2000 年、2005 年是空缺的，2010 年巴西進入方格8，但它的GDP、人口都達不到方格8 的指數(shù)函數(shù)值。直到2015 年，巴西、中國組成的方格8 才達到指數(shù)函數(shù)值。在2018 年，中國一國就可以使方格8 達到指數(shù)函數(shù)值。也就是說，2000 年、2005 年、2010 年的方格8 空缺或者數(shù)值偏低，是因為當時中國的GDP明顯偏低。這段時間也是中國GDP 高速發(fā)展的時期，似乎是在填補方格8 的空缺，實際上2018 年中國一國就完全填補了這一空缺。方格7 的函數(shù)值與實際值差距較大，也是因為其中的國家——主要是印度——的GDP 明顯偏低。目前印度的GDP 發(fā)展較快，可以預見在不遠的將來方格7 的指數(shù)函數(shù)值與實際值就會相符。

從時間的角度來說，2010 年的準確率最低，這是因為2008 年爆發(fā)了全球經(jīng)濟危機，世界經(jīng)濟格局處于劇變之中，因此準確率較低。

由此可見，國家及地區(qū)的個數(shù)、人口、GDP 基本符合指數(shù)分布，但國家及地區(qū)處于動態(tài)變化之中，有的上升、有的下降、有的解體、有的合并，有時還會出現(xiàn)全球經(jīng)濟危機，因此會出現(xiàn)局部、短期不符合指數(shù)分布的情況。

4.模型的推論和意義

4.1 四個推論

根據(jù)以上三個公式可以推出世界上的國家和地區(qū)總數(shù)、人口總數(shù)和GDP 總值，它們可以用四個推論來描述。

推論一：根據(jù)指數(shù)函數(shù)一，用28-M 模擬九個方格中的國家和地區(qū)個數(shù)，累加起來得到255.5，這就是指數(shù)函數(shù)預測的國家和地區(qū)總數(shù)。實際上國家和地區(qū)總數(shù)為兩百多個。

推論二：根據(jù)指數(shù)函數(shù)一可知，國家和地區(qū)的個數(shù)在1 倍、2 倍、4 倍之間來回波動。實際上，中國在從秦朝至今兩千多年的歷史中分分合合，絕大多數(shù)時間都是1 至4 個國家和地區(qū)。彼得-圖爾欽利用歷史動力學建立的模型也得出類似的結論：在一個模擬空間中相對穩(wěn)定的帝國個數(shù)在1 個、2 個、4 個之間來回波動[18]。

推論三：根據(jù)指數(shù)函數(shù)二，假設方格9 的GDP 為1，把各方格的GDP 的范圍[2N-5,2N-4]累加起來，得到GDP 總值的范圍是[3.0625,5.125]，即方格9 的GDP 是GDP 總值的20%至33%。實際上在1960 年至2018 年的59 年中，方格9（即美國）GDP 占世界的比值介于21%至39%之間，平均值為29.4%[2]。

推論四：根據(jù)指數(shù)函數(shù)三，假設方格3 的人口為1，用2L-1 模擬各個方格的人口，累加起來得到49，也就是說，人口總數(shù)是方格3 的49 倍。實際上五年的總人口與方格3 人口的比值在49 左右來回波動，平均值是53.3。

可見，四個推論的數(shù)值接近于實際數(shù)值。

4.2 意義

本文的分布模型說明：地球上的200 多個國家和地區(qū)構成一個整體，國家及地區(qū)的個數(shù)、人口、GDP 是最重要、最基本的三個變量。這三個變量看似復雜，但它們都受地理和物理規(guī)律的限制，可以用簡單的指數(shù)函數(shù)描述。在分析過程中應把正態(tài)分布、冪律分布、指數(shù)分布結合起來。本模型對于地理、歷史、人口、經(jīng)濟、政治等學科的交叉學科的研究有啟發(fā)作用，可以對一些老問題提出新解釋，或者對未來作出預測。

例如，蘇聯(lián)解體的原因很多，從本模型的角度來說，蘇聯(lián)從1 個國家解體為15 個，這使得國家和地區(qū)總數(shù)更接近于255.5。又如，中國、印度之所以發(fā)展速度很快，從本模型的角度來說，是因為方格8 和方格7 空缺或者GDP 偏低。隨著這兩個方格的數(shù)值逐步達到指數(shù)函數(shù)值，GDP 增速也會放緩。