梁舒尹

[摘? ?要]統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的重要組成部分，常與生活中的問(wèn)題密切相關(guān)，因此學(xué)生要具備基本的數(shù)據(jù)分析能力。教學(xué)設(shè)計(jì)以制定水費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)例為背景，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生探究性地學(xué)習(xí)頻率分布直方圖，學(xué)會(huì)利用樣本分布估計(jì)總體分布，理解其作為重要統(tǒng)計(jì)圖表的合理性與必要性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，實(shí)現(xiàn)思維育人、學(xué)科育人。

[關(guān)鍵詞]問(wèn)題導(dǎo)學(xué);頻率分布直方圖;探究型課堂;數(shù)學(xué)建模

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ?G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ?A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ?1674-6058（2021）24-0043-03

數(shù)學(xué)探究課，就是在教師引導(dǎo)下學(xué)生參與包括探索、發(fā)現(xiàn)在內(nèi)的獲得知識(shí)全過(guò)程的課型。探究課中如何體現(xiàn)學(xué)科教學(xué)的育人功能，需要教師的精心設(shè)計(jì)。本文以《用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布》教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)劰P者的思考。

本課內(nèi)容是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)基本抽樣方法之后，掌握如何整理、分析數(shù)據(jù)，從而利用樣本分布估計(jì)總體分布。即將學(xué)習(xí)的用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征以本課內(nèi)容為基礎(chǔ)，故本課具有承上啟下的關(guān)鍵作用。本節(jié)課筆者以生活實(shí)例為背景，引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——水資源缺乏，到提出問(wèn)題——如何制定合理的用水標(biāo)準(zhǔn)，倡導(dǎo)節(jié)約用水，再到解決問(wèn)題——利用頻率分布直方圖，合理地制定標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。筆者著重從培養(yǎng)興趣、指導(dǎo)方法、鼓勵(lì)質(zhì)疑、鼓勵(lì)創(chuàng)新四個(gè)方面，挖掘?qū)W科育人的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，強(qiáng)化思維育人，落實(shí)立德樹(shù)人目標(biāo)。以下是五個(gè)具體的教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、新課引入

【引例】某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)[a]，用水量不超過(guò)[a]的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出[a]的部分按議價(jià)收費(fèi)。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標(biāo)準(zhǔn)[a]定為多少比較合理呢？

【問(wèn)題1】你認(rèn)為，為了較合理地定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要做哪些工作？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)播放熱點(diǎn)事件——印度水危機(jī)的相關(guān)視頻引入課堂，引導(dǎo)學(xué)生感受水資源的珍貴，增加其作為地球人的責(zé)任感，讓學(xué)生關(guān)注視頻中出現(xiàn)的各種統(tǒng)計(jì)圖表。統(tǒng)計(jì)圖表的直觀性是單純的大量具體數(shù)據(jù)不具備的，故其在大數(shù)據(jù)時(shí)代傳遞信息中心扮演著重要角色。統(tǒng)計(jì)問(wèn)題常常與生活息息相關(guān)，所以學(xué)生對(duì)頻率分布表及頻率分布圖的學(xué)習(xí)是必要的。接著，筆者自然地拋出課本的引例，并提出問(wèn)題1。這樣的設(shè)計(jì)能迅速抓住學(xué)生的注意力，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，讓其感受到學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要性、實(shí)用性及趣味性。

二、概念形成

【問(wèn)題2】如何根據(jù)表1的樣本數(shù)據(jù)了解居民用水分布情況？

【設(shè)計(jì)意圖】組織學(xué)生對(duì)問(wèn)題2進(jìn)行討論，以小組討論的形式，讓學(xué)生發(fā)散思維，主動(dòng)分享自己的觀點(diǎn)，激發(fā)其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。培養(yǎng)學(xué)生看問(wèn)題時(shí)注重本質(zhì)、去粗存精、去偽存真、觸類(lèi)旁通，提高抽象概括的能力。同時(shí)，讓學(xué)生了解推理的基本程序，按規(guī)則辦事。注重學(xué)科育人就是注重理性精神的培育，引領(lǐng)學(xué)生追求真理、實(shí)事求是、不斷創(chuàng)新，這是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。學(xué)生從已有的知識(shí)儲(chǔ)備，容易想到頻數(shù)分布直方圖。

【問(wèn)題3】如何根據(jù)數(shù)據(jù)，畫(huà)頻數(shù)分布直方圖？畫(huà)頻數(shù)分布直方圖的步驟。

1.計(jì)算最大值和最小值的差。

2.決定組距和組數(shù)。

3.列頻數(shù)分布表。

4.畫(huà)頻數(shù)分布直方圖。

追問(wèn)：如何分組？應(yīng)該考慮哪些因素？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)問(wèn)題3復(fù)習(xí)頻數(shù)分布直方圖，為后面類(lèi)比學(xué)習(xí)頻率分布直方圖奠定基礎(chǔ)。特別針對(duì)第2步分組進(jìn)行追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生注意在分組時(shí)考慮數(shù)據(jù)的范圍和個(gè)數(shù)，組數(shù)太多或太少都不能較好地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，組距的選擇力求“取整”，組數(shù)=[極差組距]。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分為5到12組，如表2所示。在分組的過(guò)程中體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異，突破第一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。

【問(wèn)題4】根據(jù)圖1，你能估計(jì)50%居民的用水量不超過(guò)多少嗎？

【問(wèn)題5】用小矩形的高度表示頻率不夠直觀，用什么“幾何量”表示頻率更直觀？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)問(wèn)題4的思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要估計(jì)50%居民的用水量不超過(guò)多少需要轉(zhuǎn)化為人數(shù)的多少再去尋找對(duì)應(yīng)的用水量，因此頻數(shù)分布直方圖雖然可以估計(jì)總體分布，但不夠直觀，違背統(tǒng)計(jì)圖本身的意義所在。因此，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何改進(jìn)會(huì)讓該圖更直觀？學(xué)生自然會(huì)想到要用縱軸直接表示頻率。結(jié)合改進(jìn)后的統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)用小矩形的高度表示頻率，相比頻數(shù)分布直方圖確實(shí)直觀些，但是從圖中我們?nèi)圆荒苤庇^看出各組頻率累積后的大小情況，因此會(huì)進(jìn)一步思考問(wèn)題5。學(xué)生聯(lián)想之前所學(xué)的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)在餅圖中，面積表示占比大小，而面積的累積顯然比高度的累積更直觀，從而凸顯頻率分布直方圖的優(yōu)越性。筆者不停地激發(fā)學(xué)生思考，使其不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，感受到數(shù)學(xué)是一門(mén)精益求精的學(xué)科，也能培養(yǎng)其追求卓越的品質(zhì)。

【問(wèn)題6】如果小矩形面積表示頻率，縱坐標(biāo)應(yīng)表示什么？

【設(shè)計(jì)意圖】有了之前累積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要使每組矩形的面積表示頻率，用縱軸表示[頻率組距]。至此，學(xué)生對(duì)于頻率分布直方圖有了初步的認(rèn)識(shí)?？v軸從表示頻數(shù)到頻率，再到[頻率組距]，根據(jù)圖1、圖2、圖3三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖的對(duì)比，學(xué)生基本可以理解在頻率分布直方圖中縱軸表示[頻率組距]的合理性，這突破了教學(xué)中的第二個(gè)難點(diǎn)。在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、邏輯推理核心素養(yǎng)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

三、概念深化

【問(wèn)題7】整個(gè)頻率分布直方圖中小矩形的面積和是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】明確頻率分布直方圖中矩形的面積和為1，落實(shí)知識(shí)點(diǎn)。

【問(wèn)題8】根據(jù)頻率分布直方圖，你能獲取哪些信息？

【設(shè)計(jì)意圖】組織學(xué)生對(duì)問(wèn)題8進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生“讀”圖，聯(lián)系實(shí)際，結(jié)合頻率分布直方圖，運(yùn)用數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言直觀展示居民用水量分布情況。圖形的角度呈“山峰”狀，且是“單峰”的，還具有一定的對(duì)稱(chēng)性，說(shuō)明大部分居民的月均用水量集中在一個(gè)中間值附近，只有少數(shù)居民月均用水量很多或很少。學(xué)生可進(jìn)一步體會(huì)頻率分布直方圖通過(guò)樣本分布估計(jì)總體分布也存在局限性，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)不能在圖中體現(xiàn)。這落實(shí)了本課的教學(xué)重點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力。

【問(wèn)題9】如果市政府希望[85%]左右的居民月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)上述頻數(shù)分布直方圖，你對(duì)制定居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)（即[a]的取值），有什么建議？

追問(wèn)：你認(rèn)為這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)一定能保證85%以上的居民用水不超標(biāo)嗎？如果不一定，那么哪些環(huán)節(jié)會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的差別？

【設(shè)計(jì)意圖】回歸引例中的問(wèn)題，提出問(wèn)題9，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“面積”進(jìn)行累積，自主發(fā)現(xiàn)有88%的居民用水量不超過(guò)3t，那[a]的取值能否定位為3t？3t滿足政府的要求。結(jié)合實(shí)際，將標(biāo)準(zhǔn)定位為3t是個(gè)整數(shù)，便于水費(fèi)的繳納。因此，將標(biāo)準(zhǔn)定位為3t是合理的，可以考慮。為了培養(yǎng)學(xué)生形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)估的意識(shí)，提出追問(wèn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生正確理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，頻率分布表和頻率分布直方圖存在隨機(jī)性，因此得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論只是對(duì)總體的估計(jì)值。

四、應(yīng)用探索

【問(wèn)題10】類(lèi)比畫(huà)頻數(shù)分布直方圖的步驟，畫(huà)頻率分布直方圖的步驟有哪些？

1.計(jì)算最大值和最小值的差（即極差）。

2.決定組距和組數(shù)。

3.列頻率分布表。

4.畫(huà)頻率分布直方圖（縱軸表示[頻率組距] ）。

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比頻數(shù)分布直方圖，歸納總結(jié)頻率分布直方圖的作圖步驟，為后續(xù)組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)操打下基礎(chǔ)。

【實(shí)驗(yàn)】如果以0.2和1 為組距重新作圖，頻率分布直方圖有什么變化？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)驗(yàn)，一方面，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作畫(huà)頻率分布直方表和頻率分布直方圖，掌握此技能。另一方面，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)分組不一樣時(shí)，同樣的數(shù)據(jù)得到的頻率分布直方圖結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化。因此，依照樣本數(shù)據(jù)去推斷總體情況會(huì)存在偏差，下統(tǒng)計(jì)結(jié)論是需要進(jìn)行評(píng)估的。

五、總結(jié)提高

對(duì)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的小結(jié)。

1.思想：總體抽樣得到樣本數(shù)據(jù)，依據(jù)樣本估計(jì)總體。

2.知識(shí)與技能：繪制頻率分布直方圖、頻率分布表，會(huì)利用樣本分布估計(jì)總體分布。

3.課后思考1：如果改變樣本數(shù)據(jù)，不改變?cè)薪M距，頻率分布直方圖有什么變化？

課后思考2：如果增加樣本數(shù)據(jù)，不改變?cè)薪M距，頻率分布直方圖有什么變化？

通過(guò)課后思考題，引導(dǎo)學(xué)生探究頻率分布直方圖的規(guī)律性和隨機(jī)性，進(jìn)一步深入理解頻率分布直方圖。統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)較為瑣碎繁雜，但應(yīng)用廣泛，與我們的生活息息相關(guān)。相對(duì)于枯燥的概念及公式的講授，如何在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生感受到統(tǒng)計(jì)知識(shí)的趣味性與應(yīng)用性？正如古人所云，“授人以魚(yú)，不如授之以漁”。以問(wèn)題為依托，環(huán)環(huán)相扣的探究型課堂教學(xué)模式，教師注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘知識(shí)的內(nèi)涵與外延，尊重學(xué)生的主體地位，加大學(xué)生思維的廣度與深度，能夠在日常教學(xué)中較好地實(shí)現(xiàn)思維育人、學(xué)科育人！

（責(zé)任編輯? ?黃諾依）