占翔南，徐立云+，宓 宏，李愛平

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804；2.浙江衢州聯(lián)州致冷劑有限公司，浙江 衢州 324004)

0 引言

雙深度多層穿梭車系統(tǒng)是近年來出現(xiàn)的一種新型智能立體倉庫，依靠穿梭車完成水平作業(yè)，借助提升機完成垂直作業(yè)，從而實現(xiàn)貨物的出入庫作業(yè)，彌補了多層穿梭車系統(tǒng)中每個巷道只能由獨立的穿梭車進行服務以及存儲能力不足等缺點。然而，該系統(tǒng)也存在倒貨作業(yè)和系統(tǒng)響應時間長等現(xiàn)象，如何提高雙深度多層穿梭系統(tǒng)的作業(yè)效率是亟待解決的問題。

目前，國內外學者對立體倉庫的研究多以多層穿梭車系統(tǒng)為研究對象，主要研究方法包括確定性模型分析法和排隊模型分析法。確定性模型分析法可以根據(jù)作業(yè)順序準確計算單次任務的作業(yè)時間，MALMBORG[1]首次對多層穿梭車系統(tǒng)展開研究，采用連續(xù)Markov鏈的方法來計算系統(tǒng)的水平作業(yè)和垂直作業(yè)時間，以評估系統(tǒng)的響應時間；WANG等[2]針對自動小車存取系統(tǒng)(Autonomous Vehicle Storage/Retrieval System，AVS/RS)建立了作業(yè)時間序列優(yōu)化模型，并將系統(tǒng)的調度問題轉化為裝配線并行作業(yè)問題，通過優(yōu)化任務隊列減少穿梭車和提升機的等待時間來提高系統(tǒng)運行效率；楊瑋等[3]針對雙載式多層穿梭車倉儲系統(tǒng)復合作業(yè)路徑優(yōu)化問題建立了作業(yè)時序數(shù)學模型，并采用混合植物繁殖算法進行求解與分析。排隊模型分析法考慮了排隊對系統(tǒng)性能的影響，可以更加準確地分析系統(tǒng)的性能指標，KUO等[4]將穿梭車服務流程和提升機服務流程分別建模為M/G/V隊列和G/G/L隊列，用于研究系統(tǒng)中的隨機存儲策略和結束點停留策略；ROY等[5]通過建立多層排隊網(wǎng)絡模型，并采用基于嵌入式Markov鏈的方法分析系統(tǒng)響應時間和資源利用率；CAI等[6]建立了多級半開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型，并采用矩陣幾何法分析了AVS/RS系統(tǒng)的利用率和輸出效率，說明虛擬同步策略比物理同步策略更優(yōu)。

然而，上述文獻在建模過程中均采用了順序作業(yè)方式，由于順序作業(yè)方式下穿梭車和提升機之間的等待時間會增加系統(tǒng)響應時間，為進一步減小系統(tǒng)響應時間，HU等[7]首次對并行作業(yè)方式進行研究，并采用確定性模型對分體式自動存儲系統(tǒng)(Split-Platform Autonomous Storage/Retrieval System, SP-AS/RS)的性能進行了分析，結果表明并行作業(yè)方式可以減小垂直平臺和水平平臺之間的等待時間；ZOU等[8]采用并行作業(yè)方式對AVS/RS系統(tǒng)進行分析，針對單個巷道建立了fork-join排隊網(wǎng)絡模型，比較了AVS/RS系統(tǒng)在并行作業(yè)方式和順序作業(yè)方式下的系統(tǒng)性能。以上研究表明，并行作業(yè)方式可以減小系統(tǒng)響應時間，提高作業(yè)效率。對于雙深度多層穿梭車系統(tǒng)，XU等[9]在順序作業(yè)方式下對雙深度多巷道存取系統(tǒng)建立了行程時間模型，分析了貨位占用率對系統(tǒng)輸出的影響，并給出了存在最佳貨位占用率的條件；LERHER[10]在順序作業(yè)方式下，對雙深度多層穿梭車系統(tǒng)在單命令周期和雙命令周期下進行了行程時間建模，但迄今為止，對雙深度多層穿梭車系統(tǒng)并行作業(yè)及建模分析尚未進行研究。

綜上所述，已有學者從多層穿梭車倉儲系統(tǒng)及其相關問題出發(fā)，對倉儲系統(tǒng)進行建模研究，并應用于工程優(yōu)化問題，如倉儲系統(tǒng)作業(yè)效率優(yōu)化問題、作業(yè)任務調度問題等，但仍存在以下不足：①作業(yè)效率優(yōu)化問題中多以順序作業(yè)方式為研究基礎，缺乏對并行作業(yè)方式的研究和優(yōu)化，從而影響倉儲系統(tǒng)的柔性；②針對單個巷道進行建模分析，并根據(jù)單個巷道的結果對倉儲系統(tǒng)整體進行評估，缺乏對倉儲系統(tǒng)整體的分析，若系統(tǒng)中出現(xiàn)跨巷道取貨作業(yè)，該方法則不能準確評估系統(tǒng)性能指標；③缺乏對倒貨作業(yè)的考慮，影響評估結果；④作業(yè)效率優(yōu)化問題中，直接根據(jù)系統(tǒng)模型建立仿真模型進行驗證，需要的時間較長且缺乏理論基礎。

針對以上問題，本文以雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)為對象，考慮并行作業(yè)方式對作業(yè)效率的影響，先建立分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型，然后考慮倒貨作業(yè)時間和取貨時間服從一般分布的特點，設計基于Coxian分布的近似分解算法進行求解。與根據(jù)單一巷道評估系統(tǒng)整體的方法相比，對倉儲系統(tǒng)整體進行建模分析能夠更準確地評估系統(tǒng)性能指標；另外，與仿真驗證相比，該方法能夠更快地評估系統(tǒng)性能指標且具有理論可行性。

1 問題描述

倉儲系統(tǒng)建模是根據(jù)倉儲系統(tǒng)配置和設備運行特點構建倉儲邏輯系統(tǒng)來描述真實倉儲系統(tǒng)[11]。倉儲系統(tǒng)建模問題的關鍵在于：①如何根據(jù)系統(tǒng)配置和運行特點準確地描述倉儲系統(tǒng)；②如何確定評價指標以保證模型的準確性和可靠性；③如何高效快速地對模型進行求解。同時，倉儲系統(tǒng)建模是研究作業(yè)效率優(yōu)化問題的基礎，能夠進一步為倉儲系統(tǒng)作業(yè)調度和路徑規(guī)劃等問題提供指導。

目前，倉儲系統(tǒng)的評價指標主要包括地面面積利用率、系統(tǒng)吞吐能力、系統(tǒng)響應時間和設備利用率等，而雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)因具備空間利用率高、系統(tǒng)吞吐能力強、設備利用率高等優(yōu)點而受到眾多企業(yè)的青睞。本文研究并行作業(yè)方式對雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)作業(yè)效率的影響，將系統(tǒng)響應時間、穿梭車和提升機利用率、平均等待時間和平均等待隊長作為性能評價指標。系統(tǒng)響應時間指單個取貨任務的完成時間，能夠評估系統(tǒng)在不同配置和取貨任務到達率下的吞吐量；穿梭車和提升機利用率用于評估系統(tǒng)設備的使用率，并可以據(jù)此找出系統(tǒng)瓶頸；平均等待時間和平均等待隊長用來評估取貨任務在系統(tǒng)外部的等待情況，可以據(jù)此確定系統(tǒng)的取貨任務到達率。

雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)主要由雙深度高密度存儲貨架、提升機、穿梭車、軌道和控制系統(tǒng)構成。其中，每層配置一臺穿梭車，用于貨物的水平運輸；系統(tǒng)配置若干個電梯且位于貨架的同一側，用于貨物的垂直運輸；當穿梭車處于空載狀態(tài)時可以在巷道和貨架內任意移動，當穿梭車處于滿裝狀態(tài)時只能在巷道內移動；在倉庫中央設置了貨物進出的緩存區(qū)，用于暫時存放貨物；穿梭車將貨物放置在緩存區(qū)，提升機將貨物從緩存區(qū)取走，提升機和穿梭車每次只能運輸一件貨物。雙深度多層穿梭車系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

雙深度多層穿梭車系統(tǒng)的并行作業(yè)方式指穿梭車與提升機可以同時朝目標層的緩存區(qū)移動，然后進行貨物交接，最后由穿梭車完成存貨任務或由提升機完成取貨任務。

在并行作業(yè)方式下，存貨任務操作流程如下：

(1)提升機先從停留點移動至系統(tǒng)的I/O位置，然后將貨物運送到目標層。當提升機到達目標層后，將貨物放至緩存區(qū)。在提升機運行的過程中，穿梭車也從其停留點移動至緩存區(qū)。

(2)如果提升機和穿梭車都已到達緩存區(qū)，則穿梭車裝載貨物；如果一方未到達緩存區(qū)，則先到者需要等待另一方。穿梭車裝載貨物后，將其運送至指定貨位，存貨任務結束。

取貨任務的操作流程如下：

(1)穿梭車從停留點移動至取貨貨位，然后運送貨物至緩存區(qū)。在穿梭車運行過程中，提升機將從其停留點移動至目標層。

(2)如果穿梭車和提升機均已到達緩存區(qū)，則提升機裝載貨物；如果一方未到達緩存區(qū)，則先到者需要等待另一方。提升機裝載貨物后，將其運送至系統(tǒng)I/O位置。

在以上描述中，將存取任務的操作(1)中穿梭車的作業(yè)稱為水平作業(yè)，提升機的作業(yè)稱為垂直作業(yè)，將操作(2)稱為剩余作業(yè)。在并行作業(yè)方式下，穿梭車執(zhí)行水平作業(yè)的同時提升機執(zhí)行垂直作業(yè)。最后由穿梭車執(zhí)行存貨任務的剩余作業(yè)，由提升機執(zhí)行取貨任務的剩余作業(yè)。本文假設穿梭車的可用狀態(tài)由緩存區(qū)的狀態(tài)決定，當緩存區(qū)被占用時，穿梭車不可執(zhí)行取貨任務。取貨任務流程如圖2所示。

當系統(tǒng)完成存取作業(yè)任務分配后，如何使穿梭車和提升機配合高效完成作業(yè)任務，是雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)作業(yè)效率優(yōu)化的目的。因此，需要對穿梭車和提升機并行作業(yè)方式進行建模和求解，而建立合理的穿梭車和提升機并行作業(yè)模型是作業(yè)效率優(yōu)化的關鍵。

2 系統(tǒng)建模

為建立合理正確的穿梭車和提升機并行作業(yè)模型，需要對模型的主要假設條件和參數(shù)符號進行說明。考慮單元負載式雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)，以托盤為存取單元，貨物從同一出口進出，I/O位置位于貨架的正下方，每個貨位只能單獨存放一種貨物，貨位的尺寸相同。同時，為了研究方便且不失一般性，進行如下假設：

(1)穿梭車和提升機服從先到先服務(First Come First Service, FCFS)原則。

(2)本文只考慮取貨任務，該假設基于如下兩點：①取貨任務是倉儲系統(tǒng)中關鍵的操作，它決定了倉儲系統(tǒng)的服務水平；②存貨任務和取貨任務的操作步驟相同，如果本文模型可以較好地模擬取貨任務，則也適用于存貨任務。

(3)采用隨機存儲策略，在該策略下，每個空貨位對貨物存儲具有相同的概率。

(4)提升機和穿梭車均服從結束點(Point of Service Completion, POSC)停留策略，即它們會停在任務結束的地方。本文以取貨作業(yè)為例，提升機總停留在系統(tǒng)的I/O點，穿梭車總停留在緩存區(qū)旁。

本文涉及的符號參數(shù)如表1所示。

表1 主要符號參數(shù)

續(xù)表1

2.1 分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型

定義位于第t層的取貨任務為第t(t=1,2,…,T)類顧客，根據(jù)假設(3)可知，取貨貨物位于第t層的概率P(t)=1/T，第t層的顧客到達率λrt=λr/T。將存儲貨位編號為Mac(a=1,2,…,A，c=1,2,…,C)，例如貨位編號M25表示該貨位位于第2巷道第5列，Mac的概率分布為P(Mac)=1/(A·C)。根據(jù)本文假設的POSC停留策略，穿梭車空閑時一直停在緩存區(qū)，為獲得Mac處的貨物，穿梭車的行走距離

(1)

式中：x1為穿梭車行走距離；a為巷道編號；c為貨架列編號。

如前所述，雙深度存儲貨架存在倒貨作業(yè)現(xiàn)象，如圖3所示，當穿梭車需要取走位于第2列的目標貨物，而第1列貨位被占用時，需要先將第1列貨物取出并放置在倒貨貨位，再將目標貨物取出，在此過程中，穿梭車移動的距離稱為倒貨距離。根據(jù)文獻[10]可知，若系統(tǒng)中的貨位占用率為α，則出現(xiàn)倒貨作業(yè)的概率為(2α-1)，穿梭車倒貨距離

(2)

根據(jù)上述分析可知，水平作業(yè)的服務時間

Ts(Mac)=x1/Vs+(2α-1)·x2/Vs+εs。

(3)

因為提升機在空閑狀態(tài)時位于系統(tǒng)I/O位置，提升機完成垂直作業(yè)需要行走的垂直距離為(t-1)H，所以垂直作業(yè)的服務時間

Tl1(t)=(t-1)H/Vl。

(4)

提升機服從POSC停留策略，剩余作業(yè)的服務時間

Tl2(t)=Tl1(t)+2εl。

(5)

基于模型假設，并行作業(yè)方式下雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)的運行過程可以等效為一個分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型，如圖4所示。

在該分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型中，取貨任務服從泊松分布，取貨任務的到達率為λr。根據(jù)目標貨物的所在層將取貨任務分為T類，對應的到達率分別為λr1,λr2,…,λrT，μs1,μs2,…,μsT分別表示各層穿梭車的水平作業(yè)服務速率，μl1,μl2分別表示提升機在原始位置和聚合點的垂直作業(yè)服務速率。在分離點處，取貨任務同時對提升機和穿梭車發(fā)出指令，然后將一個取貨任務分為水平作業(yè)和垂直作業(yè)。水平作業(yè)由第t層穿梭車完成，完成后穿梭車在水平隊列等待；垂直作業(yè)由提升機完成，完成后提升機在垂直隊列等待。當水平作業(yè)和垂直作業(yè)都完成后，它們離開各自的隊列，在聚合點處重新聚合成一個取貨任務，然后移動到μl2服務點，提升機在該點進行剩余作業(yè)，即裝載貨物并運送至系統(tǒng)I/O位置。因為完成剩余作業(yè)不需要等待提升機，所以可以將μl2模擬為擁有無限服務能力。

穿梭車和提升機的作業(yè)時間均服從一般分布[12]，因此該排隊網(wǎng)絡模型屬于非模塊形式(non-product form)排隊網(wǎng)絡，無法直接求解。本文設計了基于Coxian分布的近似分解算法來求解該排隊網(wǎng)絡模型，算法分兩步：

(1)計算分離—聚合點的服務速率 構建一個包含分離—聚合點的閉環(huán)排隊網(wǎng)絡模型，將該模型中的服務點用Coxian分布近似替代，計算分離—聚合點的吞吐率，從而得到該點的服務速率。

(2)計算分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型的系統(tǒng)運行性能指標 構建一個開環(huán)排隊網(wǎng)絡，將分離—聚合點用單個服務點替代，運用最大熵值法(Maximum Entropy Method, MEM)對開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型求解，最終得到分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型的系統(tǒng)響應時間、穿梭車利用率和平均等待隊長等性能指標。

2.2 分離—聚合點的閉環(huán)排隊網(wǎng)絡

構建如圖5所示的閉環(huán)排隊網(wǎng)絡模型，假設該模型中有Z個取貨任務，每個取貨任務在第t層執(zhí)行的概率為1/T。令Ls為水平作業(yè)中排隊等待的顧客數(shù)，Ll為垂直作業(yè)中排隊等待的顧客數(shù)，則該閉環(huán)排隊網(wǎng)絡的狀態(tài)變量

sk=(Ls,Ll),k=Ll(m+1)+Ls，

其狀態(tài)空間為Ll+Ls

水平作業(yè)和垂直作業(yè)聚合包括兩種情況：①當Ls>1時，完成一個垂直作業(yè)，即提升機到達目標層，該過程的服務速率為μl1；②當Ll>1時，完成一個水平作業(yè)，穿梭車到達緩存區(qū)，該過程的服務速率為μs?；谝陨蟽煞N情況，分離—聚合點模型閉環(huán)排隊網(wǎng)絡的吞吐率

(6)

式中π(sk)表示sk的狀態(tài)概率。

(7)

(8)

(9)

在該排隊網(wǎng)絡模型中，用μst表示第t層穿梭車的水平作業(yè)服務速率，根據(jù)假設(3)可知

根據(jù)式(6)計算λf(Z)需要計算閉環(huán)排隊網(wǎng)絡的狀態(tài)概率π(sk)。首先，將μv服務點和μl1服務點分別用(α,T)和(β,S)的Coxian分布替換，其中α=[1 0 … 0]1×p，β=[1 0 … 0]1×q，p,q分別表示μv和μl1的Coxian分布階數(shù)。狀態(tài)轉移矩陣T和S與吸收矩陣T0和S0的詳細推導過程參見文獻[11]。將閉環(huán)排隊網(wǎng)絡的狀態(tài)變量轉化為(sk,i,j)，i,j(i=0,1,…,p,j=0,1,…,q)分別為穿梭車和提升機在服務過程中所處的狀態(tài)。

定義穩(wěn)態(tài)概率分布π(t)=[π0,π1,π2,…]，Ql=0的所有狀態(tài)概率向量π0=[π(s0),π(s1),…,π(sm)]，Ql=1的所有狀態(tài)概率向量π1=[π(sm+1),π(sm+2),…,π(s2m)]，狀態(tài)變量sk的轉移矩陣表示為

(10)

式中：B0表示π0狀態(tài)轉移至π0狀態(tài)的轉移矩陣，

(11)

IT為p×p的單位矩陣，IS為q×q的單位矩陣，⊕表示克羅內克和，?表示克羅內克積，

C0表示π0狀態(tài)轉移至π1狀態(tài)的轉移矩陣，

C0=

(12)

A0表示π1狀態(tài)轉移至π0狀態(tài)的轉移矩陣，

A0=

(13)

B表示π1狀態(tài)轉移至π1狀態(tài)的轉移矩陣，

B=

(14)

C表示π1狀態(tài)轉移至π2狀態(tài)的轉移矩陣，

C=

(15)

A表示π2狀態(tài)轉移至π1狀態(tài)的轉移矩陣，

A=

(16)

在穩(wěn)定狀態(tài)下，該排隊網(wǎng)絡滿足

π(t)Q=0，

(17)

由歸一化條件可知

π(t)e=1。

(18)

式中e為單位向量。

根據(jù)文獻[6]，狀態(tài)概率向量πi滿足

πi+1=πiR,i≥1。

(19)

式中R為速率矩陣。聯(lián)立式(17)～式(19)得到狀態(tài)轉移概率π(sk)，將π(sk)代入式(6)，得到分離—聚合點的吞吐率λf(Z)。

2.3 基于分離—聚合點的開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型

通過式(6)求得分離—聚合點的吞吐率，將其用單個服務點代替，并定義μFES=λf(Z)，得到如圖6所示的開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型。

圖中服務點1的服務速率μFES=λf(Z)。由于μFES與任務數(shù)Z相關，且服務點2的服務速率服從一般分布，根據(jù)模型判別條件可得該開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型是一個非模塊形式(non-product-form)，可采用最大熵值法對該開環(huán)排隊網(wǎng)絡進行求解[13]。首先狀態(tài)概率

π(k1,k2)=π(k1)×π(k2)。

(20)

式中：k1,k2分別表示服務點1和服務點2顧客的數(shù)量；π(k1),π(k2)表示服務點1和服務點2的邊際狀態(tài)概率。

服務點1的邊際狀態(tài)概率為：

(21)

(22)

服務點2的邊際狀態(tài)概率為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

在求得服務點1和服務點2的邊際狀態(tài)概率后，由式(20)計算開環(huán)排隊網(wǎng)絡的狀態(tài)概率。由此可得，服務點1的平均服務速率

(28)

服務點1和服務點2的平均顧客數(shù)分別為

(29)

(30)

因此系統(tǒng)響應時間

(31)

取貨任務在外部隊列的平均等待時間

(32)

外部等待隊列長度

Le=λrWr；

(33)

穿梭車利用率和提升機利用率分別為

(34)

ρl=1-π1(0)×π2(0)。

(35)

系統(tǒng)響應時間Tr、外部隊列的平均等待隊長Le、提升機利用率ρl、穿梭車利用率ρs和外部隊列的平均等待時間Wr為表征作業(yè)效率的性能指標，用于評價雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)的作業(yè)效率。

3 案例分析

3.1 案例驗證

為驗證分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型的有效性，選取鄭州千味央廚的雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)一個月的發(fā)貨數(shù)據(jù)進行分析。統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該倉儲系統(tǒng)貨品種類為160種，2017年10月的發(fā)貨總量為96 000托，日均發(fā)貨量為3 200托，日均訂單數(shù)量為173個，日均工作時間為15 h，其余數(shù)據(jù)如表2所示。鄭州千味央廚倉儲系統(tǒng)在2017年10月份發(fā)貨數(shù)據(jù)如表3所示，發(fā)貨周期為30 d，發(fā)貨單據(jù)號為5 190個，發(fā)貨總量為2 054 596件。

表2 千味央廚單月發(fā)貨數(shù)據(jù)信息

表3 千味央廚10月份發(fā)貨數(shù)據(jù)

本文采用4種不同配置的雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)進一步驗證分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型的合理性。如表4所示，編號分別為1#，2#，3#，4#，其中前兩種代表小型倉儲系統(tǒng)，后兩種代表大型倉儲系統(tǒng)，每層配置1臺穿梭車，巷道數(shù)均為6條，提升機均為2臺，其余倉儲系統(tǒng)的主要輸入?yún)?shù)設置如表5所示。對每種不同的系統(tǒng)配置，采用6種不同的輸入，即取貨任務到達率λr(單位：托/h)分別為150，200，250，300，350，400。

表4 4種不同的倉儲系統(tǒng)配置方案

表5 倉儲系統(tǒng)主要輸入?yún)?shù)設置

通過表2和表3的原始數(shù)據(jù)計算可得，該倉儲系統(tǒng)原來的取貨任務到達率約為214托/h，采用本文方法后該倉儲系統(tǒng)的最大取貨任務到達率約為350托/h，提升系統(tǒng)作業(yè)效率約63.5%，證明了該方法的有效性。

為了消除初始偏差，仿真模型從第100以后取值，每個仿真方案重復運行100次，每次仿真時間為1 000 h，以達到在95%的置信水平，仿真結果的分布半長小于其均值的2%，其結果如表6所示。對Tr，Le，ρl，ρs，Wr5個系統(tǒng)評價指標進行分析比較，仿真結果、理論結果和誤差分別用S1，S2，η表示，如表7所示，其中

(36)

表7 仿真結果與理論結果

續(xù)表7

表6 仿真結果的分布半長

由表7得到如下結論：

(1)在不同系統(tǒng)配置和不同取貨任務到達率下，系統(tǒng)響應時間的誤差為0.72%～4.47%，平均等待隊長的誤差為4.38%～11.7%，提升機利用率的誤差為1.32%～5.56%，穿梭車利用率的誤差為3.15%～10.01%，平均等待時間的誤差為1.87%～9.65%。結果表明，分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型可以準確、有效地計算雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)并行作業(yè)下的性能指標。

(2)在取貨任務到達率相同的條件下，隨著系統(tǒng)層數(shù)的增加，平均等待時間、平均等待隊長、系統(tǒng)響應時間、提升機利用率和穿梭車利用率均增加，這是由于系統(tǒng)層數(shù)增加，相應的水平作業(yè)和垂直作業(yè)時間變長，平均等待時間、平均等待隊長和系統(tǒng)的響應時間隨之變長。

(3)在同種系統(tǒng)配置下，隨著取貨任務到達率的增加，平均等待時間、平均等待隊長、系統(tǒng)響應時間、提升機利用率和穿梭車利用率均增加。

3.2 作業(yè)方式對比

為進一步驗證雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)并行作業(yè)方式的合理性，選取鄭州千味央廚的3#雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)進行分析。取貨任務到達率λr從150托/h以步長為20增加至350托/h，系統(tǒng)響應時間的對比結果如圖7所示。

根據(jù)圖7結果可知，在不同的取貨任務到達率下，雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)并行作業(yè)均優(yōu)于順序作業(yè)方式；隨著取貨任務到達率的增加，系統(tǒng)響應時間逐漸增大，并列作業(yè)方式的優(yōu)勢逐漸明顯。當取貨任務到達率λr=150托/h時，并行作業(yè)方式相對順序作業(yè)方式的系統(tǒng)響應時間提升了9.48%；當取貨任務到達率λr=350托/h時，并行作業(yè)方式相對順序作業(yè)方式的系統(tǒng)響應時間提升了21.95%，從而證明該系統(tǒng)下采用并行作業(yè)方式能夠更好地減小系統(tǒng)響應時間，提升系統(tǒng)作業(yè)效率。

并行作業(yè)方式下的系統(tǒng)運行總時間是提升機和穿梭車運行時間的最大值，順序作業(yè)方式下的系統(tǒng)運行總時間是提升機和穿梭車運行時間的總和。采用并行作業(yè)方式雖然增加了提升機的作業(yè)負擔，以及作業(yè)任務對提升機的等待時間，但是提升機能力充足，所減少的總運行時間大于所增加的等待時間，因此并行作業(yè)方式可以減小系統(tǒng)響應時間，提升系統(tǒng)作業(yè)效率。

上述研究結果表明，分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型能夠快速、有效地分析系統(tǒng)運行性能指標；并行作業(yè)方式能夠減小系統(tǒng)響應時間，提高系統(tǒng)柔性。另外，倉儲系統(tǒng)可根據(jù)性能指標調整穿梭車和提升機的數(shù)量，從而節(jié)約系統(tǒng)運行成本，該方法可以為并行作業(yè)方式下的作業(yè)任務調度和路徑優(yōu)化提供理論依據(jù)。

4 結束語

本文針對雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)并行作業(yè)流程提出分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型，并通過分離—聚合點的閉環(huán)排隊網(wǎng)絡模型和基于分離—聚合點的開環(huán)排隊網(wǎng)絡模型分別對分離—聚合點的服務速率和系統(tǒng)運行指標進行求解。最后，對4種不同配置的倉儲系統(tǒng)進行分析，結果表明，分離—聚合排隊網(wǎng)絡模型可以準確、有效地反映雙深度多層穿梭車倉儲系統(tǒng)并行作業(yè)下的各項性能指標，與傳統(tǒng)順序作業(yè)方式相比并行作業(yè)可以減小系統(tǒng)響應時間9.48%～21.95%，從而較大幅度地提高系統(tǒng)作業(yè)效率。為進一步提高倉儲系統(tǒng)吞吐能力，未來將對貨物分類存儲策略和基于周轉率存儲策略進行研究。