占翔南，徐立云+，宓 宏，李愛平

(1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804；2.浙江衢州聯(lián)州致冷劑有限公司，浙江 衢州 324004)

0 引言

雙深度多層穿梭車系統(tǒng)是近年來出現(xiàn)的一種新型智能立體倉(cāng)庫(kù)，依靠穿梭車完成水平作業(yè)，借助提升機(jī)完成垂直作業(yè)，從而實(shí)現(xiàn)貨物的出入庫(kù)作業(yè)，彌補(bǔ)了多層穿梭車系統(tǒng)中每個(gè)巷道只能由獨(dú)立的穿梭車進(jìn)行服務(wù)以及存儲(chǔ)能力不足等缺點(diǎn)。然而，該系統(tǒng)也存在倒貨作業(yè)和系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)等現(xiàn)象，如何提高雙深度多層穿梭系統(tǒng)的作業(yè)效率是亟待解決的問題。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)立體倉(cāng)庫(kù)的研究多以多層穿梭車系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要研究方法包括確定性模型分析法和排隊(duì)模型分析法。確定性模型分析法可以根據(jù)作業(yè)順序準(zhǔn)確計(jì)算單次任務(wù)的作業(yè)時(shí)間，MALMBORG[1]首次對(duì)多層穿梭車系統(tǒng)展開研究，采用連續(xù)Markov鏈的方法來計(jì)算系統(tǒng)的水平作業(yè)和垂直作業(yè)時(shí)間，以評(píng)估系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間；WANG等[2]針對(duì)自動(dòng)小車存取系統(tǒng)(Autonomous Vehicle Storage/Retrieval System，AVS/RS)建立了作業(yè)時(shí)間序列優(yōu)化模型，并將系統(tǒng)的調(diào)度問題轉(zhuǎn)化為裝配線并行作業(yè)問題，通過優(yōu)化任務(wù)隊(duì)列減少穿梭車和提升機(jī)的等待時(shí)間來提高系統(tǒng)運(yùn)行效率；楊瑋等[3]針對(duì)雙載式多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)復(fù)合作業(yè)路徑優(yōu)化問題建立了作業(yè)時(shí)序數(shù)學(xué)模型，并采用混合植物繁殖算法進(jìn)行求解與分析。排隊(duì)模型分析法考慮了排隊(duì)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，可以更加準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)，KUO等[4]將穿梭車服務(wù)流程和提升機(jī)服務(wù)流程分別建模為M/G/V隊(duì)列和G/G/L隊(duì)列，用于研究系統(tǒng)中的隨機(jī)存儲(chǔ)策略和結(jié)束點(diǎn)停留策略；ROY等[5]通過建立多層排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，并采用基于嵌入式Markov鏈的方法分析系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和資源利用率；CAI等[6]建立了多級(jí)半開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，并采用矩陣幾何法分析了AVS/RS系統(tǒng)的利用率和輸出效率，說明虛擬同步策略比物理同步策略更優(yōu)。

然而，上述文獻(xiàn)在建模過程中均采用了順序作業(yè)方式，由于順序作業(yè)方式下穿梭車和提升機(jī)之間的等待時(shí)間會(huì)增加系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，為進(jìn)一步減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，HU等[7]首次對(duì)并行作業(yè)方式進(jìn)行研究，并采用確定性模型對(duì)分體式自動(dòng)存儲(chǔ)系統(tǒng)(Split-Platform Autonomous Storage/Retrieval System, SP-AS/RS)的性能進(jìn)行了分析，結(jié)果表明并行作業(yè)方式可以減小垂直平臺(tái)和水平平臺(tái)之間的等待時(shí)間；ZOU等[8]采用并行作業(yè)方式對(duì)AVS/RS系統(tǒng)進(jìn)行分析，針對(duì)單個(gè)巷道建立了fork-join排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，比較了AVS/RS系統(tǒng)在并行作業(yè)方式和順序作業(yè)方式下的系統(tǒng)性能。以上研究表明，并行作業(yè)方式可以減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，提高作業(yè)效率。對(duì)于雙深度多層穿梭車系統(tǒng)，XU等[9]在順序作業(yè)方式下對(duì)雙深度多巷道存取系統(tǒng)建立了行程時(shí)間模型，分析了貨位占用率對(duì)系統(tǒng)輸出的影響，并給出了存在最佳貨位占用率的條件；LERHER[10]在順序作業(yè)方式下，對(duì)雙深度多層穿梭車系統(tǒng)在單命令周期和雙命令周期下進(jìn)行了行程時(shí)間建模，但迄今為止，對(duì)雙深度多層穿梭車系統(tǒng)并行作業(yè)及建模分析尚未進(jìn)行研究。

綜上所述，已有學(xué)者從多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)及其相關(guān)問題出發(fā)，對(duì)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)行建模研究，并應(yīng)用于工程優(yōu)化問題，如倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)作業(yè)效率優(yōu)化問題、作業(yè)任務(wù)調(diào)度問題等，但仍存在以下不足：①作業(yè)效率優(yōu)化問題中多以順序作業(yè)方式為研究基礎(chǔ)，缺乏對(duì)并行作業(yè)方式的研究和優(yōu)化，從而影響倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的柔性；②針對(duì)單個(gè)巷道進(jìn)行建模分析，并根據(jù)單個(gè)巷道的結(jié)果對(duì)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)整體進(jìn)行評(píng)估，缺乏對(duì)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)整體的分析，若系統(tǒng)中出現(xiàn)跨巷道取貨作業(yè)，該方法則不能準(zhǔn)確評(píng)估系統(tǒng)性能指標(biāo)；③缺乏對(duì)倒貨作業(yè)的考慮，影響評(píng)估結(jié)果；④作業(yè)效率優(yōu)化問題中，直接根據(jù)系統(tǒng)模型建立仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證，需要的時(shí)間較長(zhǎng)且缺乏理論基礎(chǔ)。

針對(duì)以上問題，本文以雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)為對(duì)象，考慮并行作業(yè)方式對(duì)作業(yè)效率的影響，先建立分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，然后考慮倒貨作業(yè)時(shí)間和取貨時(shí)間服從一般分布的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)基于Coxian分布的近似分解算法進(jìn)行求解。與根據(jù)單一巷道評(píng)估系統(tǒng)整體的方法相比，對(duì)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)整體進(jìn)行建模分析能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估系統(tǒng)性能指標(biāo)；另外，與仿真驗(yàn)證相比，該方法能夠更快地評(píng)估系統(tǒng)性能指標(biāo)且具有理論可行性。

1 問題描述

倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)建模是根據(jù)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)配置和設(shè)備運(yùn)行特點(diǎn)構(gòu)建倉(cāng)儲(chǔ)邏輯系統(tǒng)來描述真實(shí)倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)[11]。倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)建模問題的關(guān)鍵在于：①如何根據(jù)系統(tǒng)配置和運(yùn)行特點(diǎn)準(zhǔn)確地描述倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)；②如何確定評(píng)價(jià)指標(biāo)以保證模型的準(zhǔn)確性和可靠性；③如何高效快速地對(duì)模型進(jìn)行求解。同時(shí)，倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)建模是研究作業(yè)效率優(yōu)化問題的基礎(chǔ)，能夠進(jìn)一步為倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)作業(yè)調(diào)度和路徑規(guī)劃等問題提供指導(dǎo)。

目前，倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)主要包括地面面積利用率、系統(tǒng)吞吐能力、系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和設(shè)備利用率等，而雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)因具備空間利用率高、系統(tǒng)吞吐能力強(qiáng)、設(shè)備利用率高等優(yōu)點(diǎn)而受到眾多企業(yè)的青睞。本文研究并行作業(yè)方式對(duì)雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)作業(yè)效率的影響，將系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間、穿梭車和提升機(jī)利用率、平均等待時(shí)間和平均等待隊(duì)長(zhǎng)作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間指單個(gè)取貨任務(wù)的完成時(shí)間，能夠評(píng)估系統(tǒng)在不同配置和取貨任務(wù)到達(dá)率下的吞吐量；穿梭車和提升機(jī)利用率用于評(píng)估系統(tǒng)設(shè)備的使用率，并可以據(jù)此找出系統(tǒng)瓶頸；平均等待時(shí)間和平均等待隊(duì)長(zhǎng)用來評(píng)估取貨任務(wù)在系統(tǒng)外部的等待情況，可以據(jù)此確定系統(tǒng)的取貨任務(wù)到達(dá)率。

雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)主要由雙深度高密度存儲(chǔ)貨架、提升機(jī)、穿梭車、軌道和控制系統(tǒng)構(gòu)成。其中，每層配置一臺(tái)穿梭車，用于貨物的水平運(yùn)輸；系統(tǒng)配置若干個(gè)電梯且位于貨架的同一側(cè)，用于貨物的垂直運(yùn)輸；當(dāng)穿梭車處于空載狀態(tài)時(shí)可以在巷道和貨架內(nèi)任意移動(dòng)，當(dāng)穿梭車處于滿裝狀態(tài)時(shí)只能在巷道內(nèi)移動(dòng)；在倉(cāng)庫(kù)中央設(shè)置了貨物進(jìn)出的緩存區(qū)，用于暫時(shí)存放貨物；穿梭車將貨物放置在緩存區(qū)，提升機(jī)將貨物從緩存區(qū)取走，提升機(jī)和穿梭車每次只能運(yùn)輸一件貨物。雙深度多層穿梭車系統(tǒng)的示意圖如圖1所示。

雙深度多層穿梭車系統(tǒng)的并行作業(yè)方式指穿梭車與提升機(jī)可以同時(shí)朝目標(biāo)層的緩存區(qū)移動(dòng)，然后進(jìn)行貨物交接，最后由穿梭車完成存貨任務(wù)或由提升機(jī)完成取貨任務(wù)。

在并行作業(yè)方式下，存貨任務(wù)操作流程如下：

(1)提升機(jī)先從停留點(diǎn)移動(dòng)至系統(tǒng)的I/O位置，然后將貨物運(yùn)送到目標(biāo)層。當(dāng)提升機(jī)到達(dá)目標(biāo)層后，將貨物放至緩存區(qū)。在提升機(jī)運(yùn)行的過程中，穿梭車也從其停留點(diǎn)移動(dòng)至緩存區(qū)。

(2)如果提升機(jī)和穿梭車都已到達(dá)緩存區(qū)，則穿梭車裝載貨物；如果一方未到達(dá)緩存區(qū)，則先到者需要等待另一方。穿梭車裝載貨物后，將其運(yùn)送至指定貨位，存貨任務(wù)結(jié)束。

取貨任務(wù)的操作流程如下：

(1)穿梭車從停留點(diǎn)移動(dòng)至取貨貨位，然后運(yùn)送貨物至緩存區(qū)。在穿梭車運(yùn)行過程中，提升機(jī)將從其停留點(diǎn)移動(dòng)至目標(biāo)層。

(2)如果穿梭車和提升機(jī)均已到達(dá)緩存區(qū)，則提升機(jī)裝載貨物；如果一方未到達(dá)緩存區(qū)，則先到者需要等待另一方。提升機(jī)裝載貨物后，將其運(yùn)送至系統(tǒng)I/O位置。

在以上描述中，將存取任務(wù)的操作(1)中穿梭車的作業(yè)稱為水平作業(yè)，提升機(jī)的作業(yè)稱為垂直作業(yè)，將操作(2)稱為剩余作業(yè)。在并行作業(yè)方式下，穿梭車執(zhí)行水平作業(yè)的同時(shí)提升機(jī)執(zhí)行垂直作業(yè)。最后由穿梭車執(zhí)行存貨任務(wù)的剩余作業(yè)，由提升機(jī)執(zhí)行取貨任務(wù)的剩余作業(yè)。本文假設(shè)穿梭車的可用狀態(tài)由緩存區(qū)的狀態(tài)決定，當(dāng)緩存區(qū)被占用時(shí)，穿梭車不可執(zhí)行取貨任務(wù)。取貨任務(wù)流程如圖2所示。

當(dāng)系統(tǒng)完成存取作業(yè)任務(wù)分配后，如何使穿梭車和提升機(jī)配合高效完成作業(yè)任務(wù)，是雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)作業(yè)效率優(yōu)化的目的。因此，需要對(duì)穿梭車和提升機(jī)并行作業(yè)方式進(jìn)行建模和求解，而建立合理的穿梭車和提升機(jī)并行作業(yè)模型是作業(yè)效率優(yōu)化的關(guān)鍵。

2 系統(tǒng)建模

為建立合理正確的穿梭車和提升機(jī)并行作業(yè)模型，需要對(duì)模型的主要假設(shè)條件和參數(shù)符號(hào)進(jìn)行說明?？紤]單元負(fù)載式雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)，以托盤為存取單元，貨物從同一出口進(jìn)出，I/O位置位于貨架的正下方，每個(gè)貨位只能單獨(dú)存放一種貨物，貨位的尺寸相同。同時(shí)，為了研究方便且不失一般性，進(jìn)行如下假設(shè)：

(1)穿梭車和提升機(jī)服從先到先服務(wù)(First Come First Service, FCFS)原則。

(2)本文只考慮取貨任務(wù)，該假設(shè)基于如下兩點(diǎn)：①取貨任務(wù)是倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)中關(guān)鍵的操作，它決定了倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的服務(wù)水平；②存貨任務(wù)和取貨任務(wù)的操作步驟相同，如果本文模型可以較好地模擬取貨任務(wù)，則也適用于存貨任務(wù)。

(3)采用隨機(jī)存儲(chǔ)策略，在該策略下，每個(gè)空貨位對(duì)貨物存儲(chǔ)具有相同的概率。

(4)提升機(jī)和穿梭車均服從結(jié)束點(diǎn)(Point of Service Completion, POSC)停留策略，即它們會(huì)停在任務(wù)結(jié)束的地方。本文以取貨作業(yè)為例，提升機(jī)總停留在系統(tǒng)的I/O點(diǎn)，穿梭車總停留在緩存區(qū)旁。

本文涉及的符號(hào)參數(shù)如表1所示。

表1 主要符號(hào)參數(shù)

續(xù)表1

2.1 分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型

定義位于第t層的取貨任務(wù)為第t(t=1,2,…,T)類顧客，根據(jù)假設(shè)(3)可知，取貨貨物位于第t層的概率P(t)=1/T，第t層的顧客到達(dá)率λrt=λr/T。將存儲(chǔ)貨位編號(hào)為Mac(a=1,2,…,A，c=1,2,…,C)，例如貨位編號(hào)M25表示該貨位位于第2巷道第5列，Mac的概率分布為P(Mac)=1/(A·C)。根據(jù)本文假設(shè)的POSC停留策略，穿梭車空閑時(shí)一直停在緩存區(qū)，為獲得Mac處的貨物，穿梭車的行走距離

(1)

式中：x1為穿梭車行走距離；a為巷道編號(hào)；c為貨架列編號(hào)。

如前所述，雙深度存儲(chǔ)貨架存在倒貨作業(yè)現(xiàn)象，如圖3所示，當(dāng)穿梭車需要取走位于第2列的目標(biāo)貨物，而第1列貨位被占用時(shí)，需要先將第1列貨物取出并放置在倒貨貨位，再將目標(biāo)貨物取出，在此過程中，穿梭車移動(dòng)的距離稱為倒貨距離。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，若系統(tǒng)中的貨位占用率為α，則出現(xiàn)倒貨作業(yè)的概率為(2α-1)，穿梭車倒貨距離

(2)

根據(jù)上述分析可知，水平作業(yè)的服務(wù)時(shí)間

Ts(Mac)=x1/Vs+(2α-1)·x2/Vs+εs。

(3)

因?yàn)樘嵘龣C(jī)在空閑狀態(tài)時(shí)位于系統(tǒng)I/O位置，提升機(jī)完成垂直作業(yè)需要行走的垂直距離為(t-1)H，所以垂直作業(yè)的服務(wù)時(shí)間

Tl1(t)=(t-1)H/Vl。

(4)

提升機(jī)服從POSC停留策略，剩余作業(yè)的服務(wù)時(shí)間

Tl2(t)=Tl1(t)+2εl。

(5)

基于模型假設(shè)，并行作業(yè)方式下雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的運(yùn)行過程可以等效為一個(gè)分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，如圖4所示。

在該分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型中，取貨任務(wù)服從泊松分布，取貨任務(wù)的到達(dá)率為λr。根據(jù)目標(biāo)貨物的所在層將取貨任務(wù)分為T類，對(duì)應(yīng)的到達(dá)率分別為λr1,λr2,…,λrT，μs1,μs2,…,μsT分別表示各層穿梭車的水平作業(yè)服務(wù)速率，μl1,μl2分別表示提升機(jī)在原始位置和聚合點(diǎn)的垂直作業(yè)服務(wù)速率。在分離點(diǎn)處，取貨任務(wù)同時(shí)對(duì)提升機(jī)和穿梭車發(fā)出指令，然后將一個(gè)取貨任務(wù)分為水平作業(yè)和垂直作業(yè)。水平作業(yè)由第t層穿梭車完成，完成后穿梭車在水平隊(duì)列等待；垂直作業(yè)由提升機(jī)完成，完成后提升機(jī)在垂直隊(duì)列等待。當(dāng)水平作業(yè)和垂直作業(yè)都完成后，它們離開各自的隊(duì)列，在聚合點(diǎn)處重新聚合成一個(gè)取貨任務(wù)，然后移動(dòng)到μl2服務(wù)點(diǎn)，提升機(jī)在該點(diǎn)進(jìn)行剩余作業(yè)，即裝載貨物并運(yùn)送至系統(tǒng)I/O位置。因?yàn)橥瓿墒Ｓ嘧鳂I(yè)不需要等待提升機(jī)，所以可以將μl2模擬為擁有無限服務(wù)能力。

穿梭車和提升機(jī)的作業(yè)時(shí)間均服從一般分布[12]，因此該排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型屬于非模塊形式(non-product form)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)，無法直接求解。本文設(shè)計(jì)了基于Coxian分布的近似分解算法來求解該排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，算法分兩步：

(1)計(jì)算分離—聚合點(diǎn)的服務(wù)速率 構(gòu)建一個(gè)包含分離—聚合點(diǎn)的閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，將該模型中的服務(wù)點(diǎn)用Coxian分布近似替代，計(jì)算分離—聚合點(diǎn)的吞吐率，從而得到該點(diǎn)的服務(wù)速率。

(2)計(jì)算分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的系統(tǒng)運(yùn)行性能指標(biāo) 構(gòu)建一個(gè)開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)，將分離—聚合點(diǎn)用單個(gè)服務(wù)點(diǎn)替代，運(yùn)用最大熵值法(Maximum Entropy Method, MEM)對(duì)開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型求解，最終得到分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間、穿梭車?yán)寐屎推骄却?duì)長(zhǎng)等性能指標(biāo)。

2.2 分離—聚合點(diǎn)的閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)

構(gòu)建如圖5所示的閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，假設(shè)該模型中有Z個(gè)取貨任務(wù)，每個(gè)取貨任務(wù)在第t層執(zhí)行的概率為1/T。令Ls為水平作業(yè)中排隊(duì)等待的顧客數(shù)，Ll為垂直作業(yè)中排隊(duì)等待的顧客數(shù)，則該閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量

sk=(Ls,Ll),k=Ll(m+1)+Ls，

其狀態(tài)空間為L(zhǎng)l+Ls

水平作業(yè)和垂直作業(yè)聚合包括兩種情況：①當(dāng)Ls>1時(shí)，完成一個(gè)垂直作業(yè)，即提升機(jī)到達(dá)目標(biāo)層，該過程的服務(wù)速率為μl1；②當(dāng)Ll>1時(shí)，完成一個(gè)水平作業(yè)，穿梭車到達(dá)緩存區(qū)，該過程的服務(wù)速率為μs。基于以上兩種情況，分離—聚合點(diǎn)模型閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的吞吐率

(6)

式中π(sk)表示sk的狀態(tài)概率。

(7)

(8)

(9)

在該排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型中，用μst表示第t層穿梭車的水平作業(yè)服務(wù)速率，根據(jù)假設(shè)(3)可知

根據(jù)式(6)計(jì)算λf(Z)需要計(jì)算閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)概率π(sk)。首先，將μv服務(wù)點(diǎn)和μl1服務(wù)點(diǎn)分別用(α,T)和(β,S)的Coxian分布替換，其中α=[1 0 … 0]1×p，β=[1 0 … 0]1×q，p,q分別表示μv和μl1的Coxian分布階數(shù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣T和S與吸收矩陣T0和S0的詳細(xì)推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)[11]。將閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量轉(zhuǎn)化為(sk,i,j)，i,j(i=0,1,…,p,j=0,1,…,q)分別為穿梭車和提升機(jī)在服務(wù)過程中所處的狀態(tài)。

定義穩(wěn)態(tài)概率分布π(t)=[π0,π1,π2,…]，Ql=0的所有狀態(tài)概率向量π0=[π(s0),π(s1),…,π(sm)]，Ql=1的所有狀態(tài)概率向量π1=[π(sm+1),π(sm+2),…,π(s2m)]，狀態(tài)變量sk的轉(zhuǎn)移矩陣表示為

(10)

式中：B0表示π0狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π0狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

(11)

IT為p×p的單位矩陣，IS為q×q的單位矩陣，⊕表示克羅內(nèi)克和，?表示克羅內(nèi)克積，

C0表示π0狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π1狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

C0=

(12)

A0表示π1狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π0狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

A0=

(13)

B表示π1狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π1狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

B=

(14)

C表示π1狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π2狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

C=

(15)

A表示π2狀態(tài)轉(zhuǎn)移至π1狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，

A=

(16)

在穩(wěn)定狀態(tài)下，該排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)滿足

π(t)Q=0，

(17)

由歸一化條件可知

π(t)e=1。

(18)

式中e為單位向量。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，狀態(tài)概率向量πi滿足

πi+1=πiR,i≥1。

(19)

式中R為速率矩陣。聯(lián)立式(17)～式(19)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率π(sk)，將π(sk)代入式(6)，得到分離—聚合點(diǎn)的吞吐率λf(Z)。

2.3 基于分離—聚合點(diǎn)的開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型

通過式(6)求得分離—聚合點(diǎn)的吞吐率，將其用單個(gè)服務(wù)點(diǎn)代替，并定義μFES=λf(Z)，得到如圖6所示的開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型。

圖中服務(wù)點(diǎn)1的服務(wù)速率μFES=λf(Z)。由于μFES與任務(wù)數(shù)Z相關(guān)，且服務(wù)點(diǎn)2的服務(wù)速率服從一般分布，根據(jù)模型判別條件可得該開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型是一個(gè)非模塊形式(non-product-form)，可采用最大熵值法對(duì)該開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解[13]。首先狀態(tài)概率

π(k1,k2)=π(k1)×π(k2)。

(20)

式中：k1,k2分別表示服務(wù)點(diǎn)1和服務(wù)點(diǎn)2顧客的數(shù)量；π(k1),π(k2)表示服務(wù)點(diǎn)1和服務(wù)點(diǎn)2的邊際狀態(tài)概率。

服務(wù)點(diǎn)1的邊際狀態(tài)概率為：

(21)

(22)

服務(wù)點(diǎn)2的邊際狀態(tài)概率為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

在求得服務(wù)點(diǎn)1和服務(wù)點(diǎn)2的邊際狀態(tài)概率后，由式(20)計(jì)算開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)概率。由此可得，服務(wù)點(diǎn)1的平均服務(wù)速率

(28)

服務(wù)點(diǎn)1和服務(wù)點(diǎn)2的平均顧客數(shù)分別為

(29)

(30)

因此系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間

(31)

取貨任務(wù)在外部隊(duì)列的平均等待時(shí)間

(32)

外部等待隊(duì)列長(zhǎng)度

Le=λrWr；

(33)

穿梭車?yán)寐屎吞嵘龣C(jī)利用率分別為

(34)

ρl=1-π1(0)×π2(0)。

(35)

系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間Tr、外部隊(duì)列的平均等待隊(duì)長(zhǎng)Le、提升機(jī)利用率ρl、穿梭車?yán)寐师裺和外部隊(duì)列的平均等待時(shí)間Wr為表征作業(yè)效率的性能指標(biāo)，用于評(píng)價(jià)雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的作業(yè)效率。

3 案例分析

3.1 案例驗(yàn)證

為驗(yàn)證分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的有效性，選取鄭州千味央廚的雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)一個(gè)月的發(fā)貨數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，該倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)貨品種類為160種，2017年10月的發(fā)貨總量為96 000托，日均發(fā)貨量為3 200托，日均訂單數(shù)量為173個(gè)，日均工作時(shí)間為15 h，其余數(shù)據(jù)如表2所示。鄭州千味央廚倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)在2017年10月份發(fā)貨數(shù)據(jù)如表3所示，發(fā)貨周期為30 d，發(fā)貨單據(jù)號(hào)為5 190個(gè)，發(fā)貨總量為2 054 596件。

表2 千味央廚單月發(fā)貨數(shù)據(jù)信息

表3 千味央廚10月份發(fā)貨數(shù)據(jù)

本文采用4種不同配置的雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)一步驗(yàn)證分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的合理性。如表4所示，編號(hào)分別為1#，2#，3#，4#，其中前兩種代表小型倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)，后兩種代表大型倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)，每層配置1臺(tái)穿梭車，巷道數(shù)均為6條，提升機(jī)均為2臺(tái)，其余倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的主要輸入?yún)?shù)設(shè)置如表5所示。對(duì)每種不同的系統(tǒng)配置，采用6種不同的輸入，即取貨任務(wù)到達(dá)率λr(單位：托/h)分別為150，200，250，300，350，400。

表4 4種不同的倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)配置方案

表5 倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)主要輸入?yún)?shù)設(shè)置

通過表2和表3的原始數(shù)據(jù)計(jì)算可得，該倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)原來的取貨任務(wù)到達(dá)率約為214托/h，采用本文方法后該倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)的最大取貨任務(wù)到達(dá)率約為350托/h，提升系統(tǒng)作業(yè)效率約63.5%，證明了該方法的有效性。

為了消除初始偏差，仿真模型從第100以后取值，每個(gè)仿真方案重復(fù)運(yùn)行100次，每次仿真時(shí)間為1 000 h，以達(dá)到在95%的置信水平，仿真結(jié)果的分布半長(zhǎng)小于其均值的2%，其結(jié)果如表6所示。對(duì)Tr，Le，ρl，ρs，Wr5個(gè)系統(tǒng)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行分析比較，仿真結(jié)果、理論結(jié)果和誤差分別用S1，S2，η表示，如表7所示，其中

(36)

表7 仿真結(jié)果與理論結(jié)果

續(xù)表7

表6 仿真結(jié)果的分布半長(zhǎng)

由表7得到如下結(jié)論：

(1)在不同系統(tǒng)配置和不同取貨任務(wù)到達(dá)率下，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的誤差為0.72%～4.47%，平均等待隊(duì)長(zhǎng)的誤差為4.38%～11.7%，提升機(jī)利用率的誤差為1.32%～5.56%，穿梭車?yán)寐实恼`差為3.15%～10.01%，平均等待時(shí)間的誤差為1.87%～9.65%。結(jié)果表明，分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型可以準(zhǔn)確、有效地計(jì)算雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)并行作業(yè)下的性能指標(biāo)。

(2)在取貨任務(wù)到達(dá)率相同的條件下，隨著系統(tǒng)層數(shù)的增加，平均等待時(shí)間、平均等待隊(duì)長(zhǎng)、系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間、提升機(jī)利用率和穿梭車?yán)寐示黾?，這是由于系統(tǒng)層數(shù)增加，相應(yīng)的水平作業(yè)和垂直作業(yè)時(shí)間變長(zhǎng)，平均等待時(shí)間、平均等待隊(duì)長(zhǎng)和系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間隨之變長(zhǎng)。

(3)在同種系統(tǒng)配置下，隨著取貨任務(wù)到達(dá)率的增加，平均等待時(shí)間、平均等待隊(duì)長(zhǎng)、系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間、提升機(jī)利用率和穿梭車?yán)寐示黾印?/p>

3.2 作業(yè)方式對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)并行作業(yè)方式的合理性，選取鄭州千味央廚的3#雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)行分析。取貨任務(wù)到達(dá)率λr從150托/h以步長(zhǎng)為20增加至350托/h，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間的對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

根據(jù)圖7結(jié)果可知，在不同的取貨任務(wù)到達(dá)率下，雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)并行作業(yè)均優(yōu)于順序作業(yè)方式；隨著取貨任務(wù)到達(dá)率的增加，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間逐漸增大，并列作業(yè)方式的優(yōu)勢(shì)逐漸明顯。當(dāng)取貨任務(wù)到達(dá)率λr=150托/h時(shí)，并行作業(yè)方式相對(duì)順序作業(yè)方式的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間提升了9.48%；當(dāng)取貨任務(wù)到達(dá)率λr=350托/h時(shí)，并行作業(yè)方式相對(duì)順序作業(yè)方式的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間提升了21.95%，從而證明該系統(tǒng)下采用并行作業(yè)方式能夠更好地減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，提升系統(tǒng)作業(yè)效率。

并行作業(yè)方式下的系統(tǒng)運(yùn)行總時(shí)間是提升機(jī)和穿梭車運(yùn)行時(shí)間的最大值，順序作業(yè)方式下的系統(tǒng)運(yùn)行總時(shí)間是提升機(jī)和穿梭車運(yùn)行時(shí)間的總和。采用并行作業(yè)方式雖然增加了提升機(jī)的作業(yè)負(fù)擔(dān)，以及作業(yè)任務(wù)對(duì)提升機(jī)的等待時(shí)間，但是提升機(jī)能力充足，所減少的總運(yùn)行時(shí)間大于所增加的等待時(shí)間，因此并行作業(yè)方式可以減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，提升系統(tǒng)作業(yè)效率。

上述研究結(jié)果表明，分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型能夠快速、有效地分析系統(tǒng)運(yùn)行性能指標(biāo)；并行作業(yè)方式能夠減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，提高系統(tǒng)柔性。另外，倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)可根據(jù)性能指標(biāo)調(diào)整穿梭車和提升機(jī)的數(shù)量，從而節(jié)約系統(tǒng)運(yùn)行成本，該方法可以為并行作業(yè)方式下的作業(yè)任務(wù)調(diào)度和路徑優(yōu)化提供理論依據(jù)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)并行作業(yè)流程提出分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，并通過分離—聚合點(diǎn)的閉環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型和基于分離—聚合點(diǎn)的開環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型分別對(duì)分離—聚合點(diǎn)的服務(wù)速率和系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)進(jìn)行求解。最后，對(duì)4種不同配置的倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)進(jìn)行分析，結(jié)果表明，分離—聚合排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型可以準(zhǔn)確、有效地反映雙深度多層穿梭車倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)并行作業(yè)下的各項(xiàng)性能指標(biāo)，與傳統(tǒng)順序作業(yè)方式相比并行作業(yè)可以減小系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間9.48%～21.95%，從而較大幅度地提高系統(tǒng)作業(yè)效率。為進(jìn)一步提高倉(cāng)儲(chǔ)系統(tǒng)吞吐能力，未來將對(duì)貨物分類存儲(chǔ)策略和基于周轉(zhuǎn)率存儲(chǔ)策略進(jìn)行研究。