魏建寶，李松梅，徐雨田

（青島科技大學機電工程學院，山東青島266061）

萬向聯(lián)軸器作為大型旋轉(zhuǎn)機械傳動系統(tǒng)的重要組成部分，其力學性能對機械設備的穩(wěn)定、安全運行有重要影響。三叉式萬向聯(lián)軸器具有結構簡單、傳輸能力強和承載能力大等優(yōu)點，廣泛應用于汽車工業(yè)和冶金行業(yè)等［1-3］，其結構如圖1所示。萬向聯(lián)軸器的主要運動形式是轉(zhuǎn)動。在自身結構和外力的影響下，萬向聯(lián)軸器會產(chǎn)生附加運動，從而導致聯(lián)軸器產(chǎn)生一定的振動，這會對機械設備傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)運行造成極大的危害。

圖1 三叉式萬向聯(lián)軸器結構示意Fig.1 Structure diagram of tripod universal coupling

近年來，許多學者對萬向聯(lián)軸器的振動特性進行了大量研究。Farzad 等［4］對萬向聯(lián)軸器的驅(qū)動軸進行了多體動力學分析，建立了萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動方程并分析了振動產(chǎn)生的原因，最后通過實驗進行了對比驗證。Han等［5］通過研究發(fā)現(xiàn)，船舶傳動系統(tǒng)的疲勞失效主要是由萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動造成的，為避免傳動系統(tǒng)疲勞失效，應將萬向聯(lián)軸器的剛度減小至目標值的70%。Jayananthan 等［6］對動力傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動特性進行了建模分析，通過研究發(fā)現(xiàn)防止由臨界速度下的共振引發(fā)的過早失效十分有必要。Sugawara等［7］考慮汽車傳統(tǒng)系統(tǒng)驅(qū)動軸的軸向力，通過實驗分析了驅(qū)動軸空轉(zhuǎn)時的振動特性，發(fā)現(xiàn)驅(qū)動軸空轉(zhuǎn)時的振動特性受到三腳架軸向位置變化幅度和諧波周期的影響。盧曦等［8］從球籠式等速萬向節(jié)的內(nèi)部結構出發(fā)，對其振動的產(chǎn)生原因進行了分析，并推導出球籠式等速萬向節(jié)傳動軸的彎曲、扭轉(zhuǎn)振動方程以及對應的臨界轉(zhuǎn)速。常德功等［9-10］設計了一種汽車用新型等速萬向聯(lián)軸器，通過運動學分析驗證了其準等角速特性，并對所設計的萬向聯(lián)軸器的驅(qū)動軸進行了預應力作用下的諧響應分析，得到了驅(qū)動軸的危險頻率及動態(tài)特性，有效避免了共振現(xiàn)象的出現(xiàn)。徐翔等［11］通過更改參數(shù)的方式得到：三叉式萬向聯(lián)軸器的固有頻率隨其輸入軸與輸出軸之間夾角的增大而逐漸減小，當夾角小于20°時，可忽略夾角的影響，直接進行扭振特性分析。王鴻恩等［12］采用漸近法分析了三維空間多節(jié)萬向傳動軸的結構參數(shù)以及扭振的主、從動件的旋轉(zhuǎn)非等速性等因素對動力放大系數(shù)的影響，提出可通過對傳動件剛度、轉(zhuǎn)動慣量、軸間夾角及十字軸轉(zhuǎn)角相位差等進行優(yōu)化設計的方法來減小動力放大系數(shù)和降低旋轉(zhuǎn)的非等速性。袁躍蘭等［13］建立了某車輛動力傳動系統(tǒng)的多自由度質(zhì)量-彈性-阻尼動力學模型，著重分析了萬向聯(lián)軸器的剛度和阻尼對車輛動力傳動系統(tǒng)的固有頻率、固有振型和強迫振動響應等模態(tài)參數(shù)的影響。李松梅等［14］針對三叉式萬向聯(lián)軸器在實際應用中所產(chǎn)生的振動影響，設計了一種橡膠減振型三叉式萬向聯(lián)軸器，并通過理論分析和實驗研究的方式獲得了提高其使用壽命的措施。綜上所述，目前缺乏對雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)振動特性的研究?？紤]到在實際應用中三叉式萬向聯(lián)軸器常與球籠式萬向聯(lián)軸器串聯(lián)使用，且其扭轉(zhuǎn)振動會對機械傳動系統(tǒng)產(chǎn)生影響，以三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器為研究對象，對其扭轉(zhuǎn)振動特性進行分析，旨在為其設計、制造和應用提供理論依據(jù)。

1 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動模型的建立

三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的物理模型如圖2所示（其中三叉式萬向聯(lián)軸器為橡膠減振型三叉式萬向聯(lián)軸器）。圖中：R為三叉桿的旋轉(zhuǎn)半徑；β為輸入軸與中間軸的夾角；l為中間軸的長度；θ1、θ2及θ3和θ4分別為輸入軸、中間軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)角度。忽略新型三叉式萬向聯(lián)軸器和球籠式萬向聯(lián)軸器自身的轉(zhuǎn)動慣量，且不考慮連接處附加轉(zhuǎn)動慣量和速度的變化，采用集中參數(shù)法建立三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動簡化模型，如圖3所示。其中：中間軸為細長軸（扭轉(zhuǎn)剛度為kL，扭轉(zhuǎn)阻尼為cL），其扭轉(zhuǎn)變形量較大，分析計算時將中間軸分解為轉(zhuǎn)動慣量相等的2個圓盤，對應的轉(zhuǎn)動慣量分別為J2和J3；輸入軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1，輸出軸的轉(zhuǎn)動慣量為J4。

圖2 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的物理模型Fig.2 Physical model of tripod-ball cage double univer‐sal coupling

圖3 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動簡化模型Fig.3 Simplified torsional vibration model of tripodball cage double universal coupling

基于圖3所示的扭轉(zhuǎn)振動簡化模型，采用第一類拉格朗日方程［15］建立三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的動力學方程：

式中：M為廣義質(zhì)量矩陣，M=diag(J1J2J3J4)；q為廣義坐標，q=[θ1θ2θ3θ4]T；Cq為雅克比矩陣；λ為拉格朗日乘子；Qe為阻尼矩陣；Qf為外力矩陣。

由圖2 可知，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸、中間軸與輸出軸的扭轉(zhuǎn)角度的關系為：

則三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器各軸扭轉(zhuǎn)角度的約束矩陣C為：

求解式（3）關于廣義坐標q的偏導數(shù)，可得Cq：

根據(jù)圖3所示的扭轉(zhuǎn)振動簡化模型，可得阻尼矩陣Qe為：

求解式（2）關于時間的二階導數(shù)，可得Cqq''=Qc，則有：

將Cqq''=Qc代入式（1），可得：

當外力為0 N 時，阻尼為0 N/（m/s）時，式（7）為三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的自由扭轉(zhuǎn)振動方程。令β=0°，則θ1=θ2，θ3=θ4，由此可得角加速度也相等。此時該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的自由扭轉(zhuǎn)振動方程可以簡化為：

2 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率求解

基于式（8），由公式法［16］求解得到三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率fn：

三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器各軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1=J4=4×10-3kg?m2，J2=J3=9×10-3kg?m2；雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的剪切模量G=8×1010Pa；中間軸的直徑d=0.04 m，長度l=0.40 m；三叉桿的旋轉(zhuǎn)半徑R=0.03 m。則可得中間軸的扭轉(zhuǎn)剛度kL為：

將各數(shù)值代入式（9），可得三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率為2 769.4 rad/s，即440.99 Hz。

若三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角β≠0°，保持輸入軸與輸出軸的軸線平行，則基于式（7）得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動方程，為：

式（11）為非線性振動方程，利用公式法求解較為復雜且誤差較大，因此采用Runge-Kutta 算法對式（11）進行數(shù)值求解。設三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸的初始角速度為1 rad/s，分析時間為1 s，步長為10-6s；取輸入軸與中間軸的夾角β=0°，10°，20°和30°。利用MATLAB 軟件對三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動特性進行仿真分析。

圖4所示為輸入軸與中間軸的夾角不同時三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的頻域響應。由圖4 可知，當輸入軸與中間軸的夾角β=0°時，該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率為440.99 Hz，與理論計算結果一致，驗證了仿真分析的正確性。此外，從圖4中還可以看出，隨著輸入軸與中間軸的夾角的增大，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率略有降低。

圖4 輸入軸與中間軸的夾角不同時三叉式?球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的頻域響應Fig.4 Frequency domain response of tripod-ball cage double universal coupling with different included angles be‐tween input shaft and intermediate shaft

3 三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動響應分析

在考慮外力且忽略阻尼的情況下，在三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的輸入軸上加載轉(zhuǎn)矩T，輸出軸上施加負載F，則有：

將Qf代入式（7），得到三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動方程，為：

設施加在三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸上的轉(zhuǎn)矩T=sin 8πtN?mm，不考慮該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的效率損失，利用Runge-Kutta算法對式（13）進行數(shù)值求解，得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差隨時間的變化情況。

3.1 不同夾角下的扭轉(zhuǎn)振動響應分析

在實際應用中，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角會發(fā)生改變。為研究該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸的轉(zhuǎn)角和角速度與輸入軸與中間軸的夾角的關系，設輸入軸和輸出軸的初始角速度均為1 rad/s，保持輸入軸與輸出軸的軸線平行，取輸入軸與中間軸的夾角β=0°，10°，20°和30°，負載F=sin 8πtN?mm，分析時間為1 s。通過仿真分析得到不同夾角下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差隨時間的變化情況，如圖5所示。

圖5 不同夾角下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差Fig.5 Rotation angle difference and angular velocity difference between input shaft and output shaft of tripod-ball cage double uni‐versal coupling under different included angles

由圖5 可知，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，當輸入軸與中間軸的夾角β=0°時，隨著時間的增加，其輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差逐漸增大，呈波浪形，角速度差平穩(wěn)增大。當輸入軸與中間軸的夾角β=10°時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差的整體變化趨勢與β=0°時相似，但波動幅度增大。當輸入軸與中間軸的夾角β=20°時，隨著時間的增加，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差整體趨于穩(wěn)定，轉(zhuǎn)角差的最大值約為0.8×10-3rad，角速度差的最大值約為1.3 rad/s。當輸入軸與中間軸的夾角β=30°時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差的變化趨勢與β=20°時相似，其中轉(zhuǎn)角差的最大值約為3×10-3rad，角速度差的最大值約為4.1 rad/s，隨著時間的增加，角速度差略有減小。

由圖5還可以看出，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，隨著輸入軸與中間軸的夾角β的不斷增大，同一時刻下輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差增大。從整體上看，在t=0 s附近，隨著輸入軸與中間軸的夾角β的增大，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差的初始值增大；當輸入軸與中間軸的夾角β較小時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差整體呈波浪形變化，變化趨勢不穩(wěn)定；當輸入軸與中間軸的夾角β增大到20°后，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差的整體變化趨勢由波浪形趨于平滑，即變化逐漸趨于穩(wěn)定；隨著輸入軸與中間軸的夾角β的增大，輸入軸與輸出軸之間的角速度差增大，且在t=0 s附近的角速度差隨夾角β的增大而快速增大，逐漸接近t=1 s時的角速度差。

綜上，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與中間軸的夾角的改變導致其輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差發(fā)生改變，從而造成聯(lián)軸器產(chǎn)生不穩(wěn)定的扭轉(zhuǎn)振動。

3.2 不同外激勵下的扭轉(zhuǎn)振動響應分析

為研究三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸的轉(zhuǎn)角和角速度與外激勵的關系，分別取施加在輸入軸上的轉(zhuǎn)矩T=30sin 8πt，60sin 8πt和90sin 8πtN?mm，輸出軸外激勵為相應的負值，取輸入軸與中間軸的夾角β=10°，輸入軸和輸出軸的初始角速度均為1 rad/s，其他條件不變，得到輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差隨時間的變化情況，如圖6所示。

圖6 不同外激勵下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差Fig.6 Rotation angle difference and angular velocity difference between input shaft and output shaft of tripod-ball cage double uni‐versal coupling under different external incentives

由圖6（a）、（b）可以看出，對于三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器，當外激勵T=30sin 8πtN?mm時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差整體呈周期性變化，變化周期約為0.25 s，正、反向轉(zhuǎn)角差的最大值隨時間的增加而增大，正向轉(zhuǎn)角差的最大值約為8×10-4rad，反向轉(zhuǎn)角差的最大值約為-8×10-4rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差在0 rad/s上下波動，且隨著時間的增加，角速度差呈小波浪形增大，正向角速度差的最大值約為0.60 rad/s，反向角速度差的最大值為-0.55 rad/s。由圖6（c）、（d）可以看出，當外激勵T=60sin 8πtN?mm時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差的變化趨勢以及變化周期與T=30sin 8πtN?mm時相似，正向轉(zhuǎn)角差的最大值約為1.8×10-3rad，反向轉(zhuǎn)角差的最大值約為-1.8×10-3rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差的變化趨勢也與T=30sin 8πtN?mm時相似，但波動程度有所增大。由圖6（e）、（f）可以看出，當外激勵T=90sin 8πtN?mm 時，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差的變化趨勢以及變化周期同樣與T=30sin 8πtN?mm時相似，正向轉(zhuǎn)角差的最大值約為2.0×10-3rad，反向轉(zhuǎn)角差的最大值約為-2.0×10-3rad；輸入軸與輸出軸之間的角速度差的變化趨勢同樣與T=30sin 8πtN?mm時相似，且正、反向角速度差的最大值與T=30sin 8πtN?mm時相近，但角速度差的波動程度略有增大。

綜上，外激勵的存在和改變導致三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差發(fā)生改變，從而造成聯(lián)軸器產(chǎn)生不穩(wěn)定的扭轉(zhuǎn)振動。

為了更清楚地觀察三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差隨時間的變化情況，給出0.2 s內(nèi)轉(zhuǎn)角差的變化情況，如圖7所示。

由圖5 至圖7 可以看出，隨著外激勵的不斷增大，三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差的變化趨勢幾乎不變，但其幅值的整體波動程度越來越大。在單個變化周期內(nèi)，輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差的波動程度幾乎不變；正向轉(zhuǎn)角差的最大值由6.0×10-4rad增大到1.75×10-3rad，反向轉(zhuǎn)角差的最大值由-7.5×10-4rad減小到-1.9×10-3rad。

圖7 0.2 s 內(nèi)不同外激勵下三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差Fig.7 Rotation angle difference between input shaft and out‐put shaft of tripod-ball cage double universal coupling under different external incentives within 0.2 s

4 結論

1）利用Runge-Kutta 算法對三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的振動方程進行了求解，并通過MATLAB軟件進行了數(shù)值仿真分析，得到該雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的固有頻率均為440.99 Hz，即理論計算結果與數(shù)值仿真分析結果一致，驗證了仿真分析的正確性。

2）在整個三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器中，其輸入軸與中間軸的夾角的改變會影響其輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)速差和角速度差，進而導致聯(lián)軸器產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，夾角越大，聯(lián)軸器產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動越劇烈。外激勵的存在和改變也會使聯(lián)軸器輸入軸與輸出軸之間的轉(zhuǎn)角差和角速度差產(chǎn)生不穩(wěn)定的變化，隨著外激勵的增大，聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)振動愈加劇烈。研究結果為三叉式-球籠式雙聯(lián)萬向聯(lián)軸器的設計、制造和應用提供了理論依據(jù)和技術支持。