秦 磊，吳仁智

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院， 上海 201804)

液壓油缸是液壓傳動(dòng)中比較常見(jiàn)的負(fù)載驅(qū)動(dòng)元件，其管路系統(tǒng)由油缸本身和構(gòu)成回路的管路組成。外部負(fù)載決定了油缸管路系統(tǒng)的壓力大小，在動(dòng)態(tài)過(guò)程中，負(fù)載沖擊對(duì)油缸管路系統(tǒng)壓力造成不同形式的振蕩脈動(dòng)，振蕩脈動(dòng)的壓力又使負(fù)載具有不同的運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)[1-2]，影響液壓系統(tǒng)的控制性能，降低其響應(yīng)速度、干擾其控制信號(hào)[3-5]。高頻振蕩脈動(dòng)的壓力還會(huì)造成管路或元器件的振動(dòng)[6-9]，為降低泄露，管路系統(tǒng)密封性能要求就會(huì)更高[10-11]。從流固耦合作用考慮，降低壓力振蕩脈動(dòng)的頻率可以提高管路系統(tǒng)疲勞壽命[12-13]，為抑制共振，還須進(jìn)行管路系統(tǒng)的模態(tài)分析，并避開(kāi)固有頻率，甚至須避開(kāi)多個(gè)模態(tài)振型固有頻率[14-17]。液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與整個(gè)液壓系統(tǒng)的性能息息相關(guān)，影響因素眾多。油液的可壓縮性在動(dòng)態(tài)過(guò)程中不可忽略，再結(jié)合管路容腔和油缸容腔的作用，壓力會(huì)因其呈現(xiàn)出不同形式的動(dòng)態(tài)特性[18-21]；油液黏性作用消耗了能量，動(dòng)態(tài)過(guò)程中其對(duì)振蕩脈動(dòng)壓力起到阻尼的作用；外負(fù)載具有慣性、彈性等機(jī)械特性，與液壓油缸管路系統(tǒng)中的壓力振蕩脈動(dòng)存在耦合作用[22]。在此多重因素的影響下，液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能呈現(xiàn)出復(fù)雜的、難以預(yù)判的情形，需進(jìn)行深入的機(jī)理研究。

電、液均遵循能量守恒定律，都具有閉合回路的通性，本文嘗試將電路、液壓回路建立關(guān)聯(lián)用以研究液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，通過(guò)電、液比擬，將液壓油缸管路系統(tǒng)的各相關(guān)參數(shù)與電路模型建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，再運(yùn)用“基爾霍夫電壓/電流定律”類比研究液壓壓力、流量等參數(shù)的動(dòng)態(tài)特性，為液壓油缸管路系統(tǒng)中壓力振蕩脈動(dòng)的研究提供一種新的方法，此外，在液壓系統(tǒng)的控制性能上，從液壓管路層面提供更優(yōu)的方法。

1 電路與液壓管路的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

電容、電阻和電感等元件是電路中的基本元器件，衡量動(dòng)態(tài)特性的變化量為電壓、電流。液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性影響因素可分為3類：液容、液阻和液感，衡量動(dòng)態(tài)特性的變化量為壓力、流量。液容與液壓油的體積模量、管道的彈性模量相關(guān)；液阻與液壓油的黏性相關(guān)，會(huì)造成壓力損失；液感與液壓油的密度相關(guān)，會(huì)使一定質(zhì)量的油液具備維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力。液容和液感、電容和電感僅發(fā)生能量的轉(zhuǎn)換、沒(méi)有損耗，能量轉(zhuǎn)換是可逆的；液阻、電阻作用發(fā)生了能量損耗，這是不可逆的。電路與液壓管路之間的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 電路、液壓管路參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

電容、液容在動(dòng)態(tài)過(guò)程中是電壓、壓差的微分函數(shù)，電感和液感在動(dòng)態(tài)過(guò)程中分別是電流和流量的微分函數(shù)，參數(shù)間再進(jìn)行轉(zhuǎn)換又需進(jìn)行積分，積分結(jié)果與參數(shù)的初始值有關(guān)，微分或積分函數(shù)的存在使得電路或管路具備一定的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程。

2 液壓油缸管路系統(tǒng)的電路化模擬

2.1 液壓油缸管路系統(tǒng)電路化建模

將液壓油缸元件及其驅(qū)動(dòng)的負(fù)載作為液壓管路系統(tǒng)的一部分，建立圖1所示的液壓油缸管路系統(tǒng)，油缸桿及負(fù)載的總質(zhì)量為m，負(fù)載彈性系數(shù)為k，負(fù)載阻尼系數(shù)為c，油缸大腔壓力為p(t)，油缸大腔活塞有效截面積為A，油缸大腔進(jìn)油體積流量為Q(t)，不計(jì)重力影響。

圖1 液壓油缸管路系統(tǒng)示意圖

建立液壓油缸的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：x為油缸桿或負(fù)載的運(yùn)動(dòng)位移，正方向如圖箭頭所示。

(2)

(3)

建立電路與式(3)的等效回路，得到圖2。

圖2 液壓油缸管路系統(tǒng)的等效回路與電路對(duì)應(yīng)關(guān)系示意圖

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行拉普拉斯變換，得

RhcChc[s·Pc(s)-pc(0)]+Pc(s)

(5)

轉(zhuǎn)換后，可得

(6)

2.2 液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

為更直觀表現(xiàn)液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，采用數(shù)值仿真的方法進(jìn)行研究，設(shè)定的初始參數(shù)值如表2所示。

表2 液壓油缸管路系統(tǒng)仿真初始參數(shù)

(7)

式中：各參數(shù)含義同式(6)，其他相關(guān)元件參數(shù)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方程為：

液感端壓力響應(yīng)

(8)

液阻端壓力響應(yīng)

(9)

流量響應(yīng)

(10)

對(duì)應(yīng)式(7)～(10)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示。

從圖3可看出：液壓油缸管路系統(tǒng)中液容壓力pc(t)、液感壓力pL(t)、液阻壓力pR(t)、流量Q(t)均呈周期衰減振蕩，t→∞時(shí)穩(wěn)態(tài)值均收斂，pc(t)|t→∞=13.5 MPa，pL(t)|t→∞=0 MPa，pR(t)|t→∞=0 MPa，Q(t)|t→∞=0 m3/s，[pc(t)+pL(t)]|t→∞=13.5 MPa。結(jié)合圖3(e)，動(dòng)態(tài)過(guò)程中，液容和液感單獨(dú)作用時(shí)振蕩幅值較大，壓力振蕩脈動(dòng)中起主要作用，而pc(t)+pL(t)綜合作用的振蕩幅值卻較小。因此，液壓油缸管路系統(tǒng)中的壓力振蕩使得液感與液容之間發(fā)生較大的能量互換，剩余未參與互換的較少能量在液阻中被損耗掉。由式(2)或(3)、式(10)可知，由于函數(shù)間的耦合作用，流量也存在振蕩。

圖3 液壓油缸管路系統(tǒng)各參數(shù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值仿真曲線

2.3 壓力振蕩脈動(dòng)的控制方法

圖4 油缸管路動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線：液感為定值、液容為變量

圖5 油缸管路動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線：液容為定值、液感為變量

從圖4可以看出：液感為定值，隨著液容的增加，各參數(shù)的振蕩脈動(dòng)頻率都減小，但幅值有差別，圖4(a)、(b)液容和液感獨(dú)立作用的幅值外包絡(luò)線恒定，最大幅值不變，各參數(shù)下的超調(diào)量相近，而且，液容和液感的響應(yīng)始終保持相位相差180°。圖4(c)液容和液感綜合作用的幅值有較大變化，液容越大、綜合作用的最大幅值越大，圖4(d)液阻響應(yīng)與圖4(c)綜合響應(yīng)基于穩(wěn)態(tài)值為平衡中心時(shí)等值反相(相位差180°，基于穩(wěn)態(tài)值為零點(diǎn)時(shí)最大幅值相同)。因此，液壓油缸管路系統(tǒng)中，液容和液感的存在使得油液中的壓力存在振蕩脈動(dòng)，其幅值受液容和液感的綜合影響，綜合影響的壓力值等值反相作用于液阻上。

從圖5可以看出：液容為定值，隨著液感的增加，各參數(shù)的振蕩脈動(dòng)頻率均減小，圖5(a)、(b)幅值的外包絡(luò)線均向外擴(kuò)大，即最大幅值隨液感增加而增加，而且，液容和液感的響應(yīng)同樣是始終保持相位相差180°。圖5(c)中，在初始時(shí)刻，較大的液感可以降低超調(diào)量，但振蕩的衰減卻隨液感的增加而越緩慢(調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng))。圖5(d)液阻響應(yīng)與圖5(c)綜合響應(yīng)基于穩(wěn)態(tài)值為平衡中心時(shí)也具有等值反相的規(guī)律(相位差180°)。

再結(jié)合對(duì)比圖4(c)和圖5(c)，圖4(c)中隨著液容的減小、綜合響應(yīng)的振蕩脈動(dòng)幅值減小，圖5(c)中隨著液感的增加、綜合響應(yīng)的振蕩脈動(dòng)幅值卻增大，據(jù)此，可推定，可能存在相匹配的液容和液感組合，使得綜合響應(yīng)的振蕩幅值為零、壓力的振蕩脈動(dòng)完全被抑制，此時(shí)，需要液感響應(yīng)和液容響應(yīng)具有相同的頻率、相同的幅值、相差180°的相位角，為驗(yàn)證這一推定結(jié)論并對(duì)其求解，從方程的理論推導(dǎo)進(jìn)行分析。

(11)

將式(11)統(tǒng)一成正弦項(xiàng)的函數(shù)，得到

(12)

由式(11)和(12)可見(jiàn)，不同方程間的變換僅存在微分、積分，且冪次數(shù)最高為1，對(duì)于正弦或余弦項(xiàng)，無(wú)論進(jìn)行多少次的微分或積分，都不會(huì)改變圓頻率ω的大小、有變化的僅為初始相位角(如式(12)中的0°、90°、180°等)，這樣，在公式推理中就可不需考慮正弦/余弦量中的圓頻率角度ωt而僅考慮初相位角度，在同一激勵(lì)下，液容、液感、液阻和流量等參數(shù)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有與激勵(lì)相同的圓頻率ω，存在區(qū)別的是幅值和相位，故在各參數(shù)的頻率保持相等的情況下，公式理論推理過(guò)程中可先不考慮ω參數(shù)項(xiàng)，在最終的計(jì)算結(jié)果中再直接代入含ω的不變項(xiàng)即可。本文統(tǒng)一采用正弦量進(jìn)行計(jì)算(同式(11)轉(zhuǎn)換為式(12)，余弦量可變換為正弦量)，這種處理正弦量的方法，便可采用相量用以表達(dá)正弦量，采用相量的方式對(duì)式(12)中的各個(gè)正弦量進(jìn)行表達(dá)，得到

(13)

式(13)對(duì)應(yīng)的相量圖如圖6所示，其中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向的角度為正。

圖6 液容、液感、液阻和流量的相量圖

(14)

PC=LhcChcω2PC

(15)

PC明顯非零，進(jìn)一步變換，得到

(16)

XhL=XhC

(17)

因此，要消除液感和液容的綜合影響，所需的必要條件為滿足方程(17)即可。

(18)

返回到式(17)可知，要使得液容和液感的綜合影響得以相互抵消消除，需要滿足液感抗XhL與液容抗XhC相等的條件。現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)使XhL=XhC實(shí)現(xiàn)的方法及具備的條件。

(19)

基于表3的數(shù)據(jù)，可得液感Lhc=2.66×107H；液容Chc=1.50×10-9F；液阻Rhc={2.66×107，1.33×108，2.66×108，5.32×108}；油缸大腔壓力p(t)=13.5 MPa以階躍形式加載；系統(tǒng)具有零初始條件，基于式(6)～(10)得到液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖7所示。

表3 液壓油缸管路系統(tǒng)仿真初始參數(shù)

圖7 不同阻尼比液壓油缸管路系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線

由圖7(a)～(d)可知，負(fù)載阻尼比的變化改變了外負(fù)載共振固有頻率的同時(shí)，也改變了油缸管路系統(tǒng)中液容、液感、流量、液阻等參數(shù)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻率，前述推論得到證實(shí)。在阻尼比0<ζ<1的欠阻尼情形中，油缸管路系統(tǒng)各參數(shù)具有衰減振蕩的特性；ζ≥1為臨界阻尼(ζ=1)和過(guò)阻尼(ζ>1)情形，液容的壓力響應(yīng)無(wú)振蕩性、超調(diào)量為零，液感、液阻和流量等參數(shù)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)仍呈現(xiàn)振蕩性、且超調(diào)量與ζ近似反比。在整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中，負(fù)載作用產(chǎn)生的階躍壓力使管路系統(tǒng)流量初始時(shí)負(fù)向流動(dòng)，液容從負(fù)向流量中吸收并儲(chǔ)存壓力能量，液感使管路中壓力出現(xiàn)脈動(dòng)振蕩、并與液容能量互換。

結(jié)合圖7(e)，液容和液感綜合作用的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中，初始時(shí)壓力從平衡點(diǎn)(13.5 MPa)瞬時(shí)驟降、隨后在波谷瞬時(shí)上升，最終穩(wěn)定于平衡點(diǎn)(13.5 MPa)，阻尼比越大、波谷的位置越低，波谷并未越過(guò)零值，因此波谷降低了管路中的壓力。在ζ≥1時(shí)，液容和液感的綜合響應(yīng)不再有周期振蕩特性，最大壓力值不超過(guò)平衡點(diǎn)壓力(13.5 MPa)，這種情形即存在液容和液感相互抵消消除的綜合作用，壓力振蕩脈動(dòng)得到抑制。從控制性能上考慮，為消除壓力振蕩脈動(dòng)，需使ζ≥1、超調(diào)量始終保持為零，但ζ越大，調(diào)節(jié)時(shí)間、上升時(shí)間就會(huì)增大，不利于控制的快速性、精確性，因此ζ≈1即可滿足綜合要求，這時(shí)外負(fù)載系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)、沒(méi)有周期振蕩，也使液壓油缸管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)沒(méi)有振蕩脈動(dòng)，同時(shí)又使整個(gè)液壓油缸系統(tǒng)具備調(diào)節(jié)時(shí)間和上升時(shí)間較適宜的控制性能。

需要說(shuō)明的是，流量的流動(dòng)是有方向的，液感產(chǎn)生的壓力響應(yīng)可為正、可為負(fù)，對(duì)應(yīng)于油液壓力能和動(dòng)能的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在圖7(a)中出現(xiàn)的較大的負(fù)壓反映的是液感的壓力回收，將動(dòng)能轉(zhuǎn)換為壓力能，而正壓表示壓力能轉(zhuǎn)換為油液動(dòng)能，液感的正、負(fù)壓不是實(shí)際管路中的壓力測(cè)量值；考慮流量方向后，液阻的壓力響應(yīng)也可為正、可為負(fù)，如圖7(d)所示，為正時(shí)說(shuō)明流量與原參考設(shè)定的方向一致、為負(fù)時(shí)說(shuō)明流量與原參考設(shè)定的方向相反，類似于電路中的參考電壓、參考電流方向的設(shè)定。

3 結(jié)論

1) 液壓油缸管路系統(tǒng)中的壓力振蕩脈動(dòng)由液容、液感引起，液容和液感之間發(fā)生液壓能量的相互轉(zhuǎn)換，兩者間的能量轉(zhuǎn)換是可逆的。

2) 液容抗XhC=液感抗XhL時(shí)，液容和液感之間產(chǎn)生的壓力振蕩脈動(dòng)可以相互抵消，此時(shí)液容和液感綜合作用的壓力脈動(dòng)幅值最小。壓力振蕩脈動(dòng)的頻率與油缸驅(qū)動(dòng)的外負(fù)載無(wú)阻尼固有頻率相等，即發(fā)生共振時(shí)，可以獲得XhC=XhL。

3) 為得到最優(yōu)控制性能，使外負(fù)載阻尼比ζ≈1處于臨界阻尼狀態(tài)時(shí)，與之相匹配的液壓油缸管路系統(tǒng)的壓力動(dòng)態(tài)響應(yīng)頻率接近零、不具有振蕩脈動(dòng)特性、油缸管路系統(tǒng)與外負(fù)載的共振被抑制，控制性能上的調(diào)節(jié)時(shí)間和上升時(shí)間綜合性能較優(yōu)、超調(diào)量接近零。