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        兩種馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計與比較

        2021-09-13 13:51:36呂王勇李思奇
        關鍵詞:方法

        陳 雯,呂王勇,2,李思奇,代 娟,鄧 柙

        (1.四川師范大學 數(shù)學科學學院, 成都 610068; 2.可視化計算與虛擬現(xiàn)實四川省重點實驗室, 成都 610068)

        馬爾可夫鏈模型是以俄國數(shù)學家A.A.Markov命名的一種動態(tài)隨機模型,通過分析隨機變量現(xiàn)實的運動情況來預見這些變量未來的運動情況[1]。目前,馬爾可夫鏈模型在自然科學、工程技術、社會科學、經(jīng)濟研究等領域有著廣泛的應用[2-5]。馬爾可夫模型通過研究系統(tǒng)對象不同狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來進行預測,因此,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的確定稱為馬爾可夫模型預測的關鍵。對于馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣,張二艷等[6]提出了用應用統(tǒng)計方法進行估計;李成燮[7]和李永立[8]分別利用線性方程組和非線性優(yōu)化法進行估計;文士發(fā)等[9]通過構造優(yōu)化模型并將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型來進行估計;聶篤忠等[10]介紹了一種迭代求解方法來確定狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣;唐小我等[11]在最小二乘指標下導出了馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計公式;Yue Dequan等[12]通過迭代公式得到轉(zhuǎn)移概率矩陣的顯式解析表達式;賀思輝[13]等以加權平均的方式計算經(jīng)驗轉(zhuǎn)移概率矩陣。

        在馬爾可夫鏈預測方法中,重要的是確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。通過驗證馬爾可夫鏈任意等間隔子序列也是馬爾可夫鏈,提出了2種間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計方法:第1種方法是利用間隔為1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和C-K方程計算間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣;第2種方法是通過頻率代替概率來得到間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣。在現(xiàn)有文獻中對轉(zhuǎn)移概率矩陣估計的比較大多都是通過預測精度來實現(xiàn),而忽略了對轉(zhuǎn)移概率矩陣自身的比較。針對這一問題,提出用偏差和均方誤差來比較轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計,并利用計算機進行仿真實驗。

        1 馬爾可夫鏈任意等間隔子序列也是馬爾可夫鏈

        設隨機序列{Xn,n=0,1,2,…}可能取值為E={1,2,…,m},初始分布為q=(q1,q2,…,qm),且序列滿足馬爾可夫性,即對任意的正整數(shù)n,i0,i1,…,in-1,i,j∈E有

        P(Xn+1=j|Xn=i,Xn-1=in-1,…,X1=i1,

        X0=i0)=P(Xn+1=j|Xn=i)=pij

        故認為序列{Xn,n=0,1,2,…}是齊次馬爾可夫鏈,pij是從狀態(tài)i到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率,則其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

        序列的l步轉(zhuǎn)移概率為

        則其l步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

        由C-K方程可知

        P(l)=Pl

        對上述序列{Xn,n=0,1,2,…}進行間隔為k的采樣,得到子序列{X0,Xk,X2k,…,XNk,…},其可能取值仍為E={1,2,…,m}。對任意的正整數(shù)n,間隔為k的子序列的一步轉(zhuǎn)移概率pkij為

        pkij=P{X(n+1)k=j|Xnk=i,X(n-1)k=jn-1,…,

        Xk=j1,X0=j0}=

        P{X(n+1)k=j|Xnk=i}

        (1)

        則子序列滿足馬爾可夫性,其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣Pk為

        (2)

        由上述分析可知,原序列間隔為k的子序列滿足馬爾可夫性,且其一步轉(zhuǎn)移概率就是原序列的k步轉(zhuǎn)移概率,其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是原序列的k步轉(zhuǎn)移概率矩陣。綜上,齊次馬爾可夫鏈的任意等間隔子序列也是齊次馬爾可夫鏈。

        2 轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計

        齊次馬爾可夫鏈通常用于預測,因此確定齊次馬爾可夫鏈的關鍵是要確定其轉(zhuǎn)移概率矩陣。設有一個長度為N的樣本序列{xn,n=1,2,…,N},其為馬氏鏈{Xn,n=0,1,2,…}的一次觀測。介紹2種估計間隔為k的齊次馬爾可夫鏈{Xn,n=0,1,2,…}轉(zhuǎn)移概率矩陣的方法。第1種方法是利用間隔為1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和C-K方程計算間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣;第2種方法是通過頻率代替概率得到間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

        1) 方法1:基于C-K方程計算轉(zhuǎn)移概率矩陣

        用f1ij表示樣本序列x1,x2,…,xN中間隔為1的從狀態(tài)i到狀態(tài)j的頻數(shù),i,j∈E,從而得到間隔為1的一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣

        由式(2)和C-K方程可知

        2) 方法2:基于轉(zhuǎn)移頻率計算轉(zhuǎn)移概率矩陣

        對子序列{x0,xk,x2k,…,x?N/k」k},用fkij表示子序列中從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到達狀態(tài)j的頻數(shù),i,j∈E,從而得到間隔為k的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣

        則間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣的估計為

        3 轉(zhuǎn)移概率矩陣估計優(yōu)劣的比較

        采用偏差(Bias)和均方誤差(MSE)作為評價指標[14]比較以上2種方法的優(yōu)劣。由于2種方法的比較指標計算方法相同,下面以方法1為例。

        偏差(Bias)為

        均方誤差(MSE)為

        估計的偏差和均方誤差都是一個矩陣,利用矩陣的最大值、最小值和極差來比較上述兩個指標。在方法1中,偏差的比較指標為偏差最大值(Α.B.Maxk)、偏差最小值(Α.B.Mink)、偏差極差(Α.B.Rangek),其中k表示間隔,且

        同理,均方誤差的比較指標為均方誤差最大值(Α.M.Maxk)、均方誤差最小值(Α.M.Mink)、均方誤差極差(Α.M.Rangek)。

        4 轉(zhuǎn)移概率矩陣估計的仿真

        設齊次馬爾可夫鏈{Xn}的初始分布為

        其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

        則齊次馬爾可夫鏈間隔為k的真實轉(zhuǎn)移概率矩陣可以通過其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和C-K方程得到

        均方誤差為

        1) 偏差的比較。偏差的比較指標有最大值(B.Maxk)、最小值(B.Mink)、極差(B.Rangek),k表示間隔,則有

        通過表1可知:方法1的偏差的最大值和極差相對更??;方法2的偏差的最小值相對更小。因此,以偏差為評判標準時,方法1優(yōu)于方法2。

        表1 轉(zhuǎn)移概率矩陣偏差

        2) 均方誤差的比較。均方誤差的比較指標有最大值(M.Maxk)、最小值(M.Mink)、極差(M.Rangek),k表示間隔,通過表2可知:方法1的均方誤差的最大值、最小值、極差都相對更小。

        表2 轉(zhuǎn)移概率矩陣均方誤差

        根據(jù)圖1可知:隨著間隔k的增大,方法1的均方誤差最大值先下降再趨于平穩(wěn),方法2的均方誤差最大值先上升后下降再小幅度的上下起伏;方法1的均方誤差最大值的折線圖遠遠低于方法2,說明當k≥2時,方法1的均方誤差最大值遠遠小于方法2的均方誤差最大值。根據(jù)圖2可知:隨著間隔k的增大方法1的均方誤差最小值先上升再趨于平穩(wěn),方法2的均方誤差最小值先上升再小幅度的上下起伏;方法1的均方誤差最小值的折線圖遠遠低于方法2,說明當k≥2時,方法1的均方誤差最小值遠遠小于方法2的均方誤差最小值。

        圖1 MSE最大值折線圖 圖2 MSE最小值折線圖

        根據(jù)圖3可知:隨著間隔k的增大,方法1的均方誤差極值先下降再趨于平穩(wěn),方法2的均方誤差極值上升后下降再小幅度的上下起伏;方法1的均方誤差極值的折線圖遠低于方法2,說明當k≥2時,方法1的均方誤差極值遠小于方法2的均方誤差極值。因此,以均方誤差為評判標準時,方法1優(yōu)于方法2。

        圖3 MSE極值折線圖

        綜上,將偏差和均方誤差這2個評價指標結(jié)合起來,估計間隔為k(k=2,3,4,5,6,7,8)的轉(zhuǎn)移概率矩陣時方法1優(yōu)于方法2。且多次任意改變初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進行仿真,所得結(jié)果都驗證了上述結(jié)論的正確性。故在估計齊次馬爾可夫鏈的間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣時應當選擇第1種方法,即利用間隔為1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和C-K方程計算間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

        5 結(jié)論

        對齊次有限馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率矩陣進行估計,首先證明了馬爾可夫鏈任意等間隔的子序列仍是馬爾可夫鏈,提出了2種估計齊次有限馬爾可夫過程的間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣的方法,通過仿真利用偏差和均方誤差對2種估計方法進行比較。結(jié)果表明第1種估計方法,即利用間隔為1的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣和C-K方程計算間隔為k的轉(zhuǎn)移概率矩陣相對較好。

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