馮美強(qiáng)，謝延敏，王東濤，郭元恒

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 成都 610031)

有限元仿真技術(shù)在沖壓成形工藝開發(fā)上的應(yīng)用能有效地減少開發(fā)時(shí)間與成本。然而板料成形是一個(gè)非線性過程，仿真計(jì)算復(fù)雜，仍然十分耗時(shí)。于是，通過反復(fù)調(diào)用仿真模型進(jìn)行試驗(yàn)的方法優(yōu)化板料成形工藝，但仍十分繁瑣。將代理模型優(yōu)化方法應(yīng)用到板料成形工藝開發(fā)上可以提高效率，縮短開發(fā)周期。常用的代理模型有徑向基函數(shù)(RBF)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)、Kriging、支持向量回歸機(jī)(SVR)等[1]。Kriging代理模型是方差估計(jì)最小的無偏估計(jì)隨機(jī)過程，具有提供預(yù)測(cè)響應(yīng)和預(yù)測(cè)方差的能力，在工程優(yōu)化領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注。Feng等[2]基于Kriging模型對(duì)板料成形過程變壓邊力進(jìn)行優(yōu)化，提高了零件的成形質(zhì)量。Hamdaoui等[3]基于Kriging模型對(duì)CPU密集型鈑金成形進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，減小了成形件的回彈，并消除了起皺與拉裂現(xiàn)象。岳躍鵬等[4]使用Kriging與水平集方法對(duì)壓邊圈結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，提高了十字杯型件成形的均勻性。

使用合適的加點(diǎn)策略對(duì)Kriging模型完成更新，可以提高代理模型的預(yù)測(cè)精度與算法的效率[5]。Jonse等[6]提出了期望最大加點(diǎn)準(zhǔn)則(EI)，該準(zhǔn)則同時(shí)考慮代理模型的預(yù)測(cè)值與預(yù)測(cè)方差，很好地平衡了算法的全局搜索與局部探索。Zhong等[7]將EI加點(diǎn)準(zhǔn)則與最小響應(yīng)面加點(diǎn)準(zhǔn)則相結(jié)合，發(fā)展了一種并行加點(diǎn)策略。謝延敏等[8]基于EI加點(diǎn)準(zhǔn)則提出一種并行加點(diǎn)準(zhǔn)則，提高了建模精度與算法收斂速度，并對(duì)翼子板成形工藝進(jìn)行了優(yōu)化。王超等[9]使用最小響應(yīng)面加點(diǎn)準(zhǔn)則(MSP)對(duì)EI加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)，提高了算法后期的收斂精度與速度。對(duì)優(yōu)化空間進(jìn)行動(dòng)態(tài)縮放，可以提高代理模型在優(yōu)化空間內(nèi)的建模精度與優(yōu)化效率。Li等[10]應(yīng)用模糊聚類對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行縮減與合并，提出基于模糊聚類的代理模型全局優(yōu)化策略。Alexandrov等[11]將信賴域的思想引入到代理模型的管理與更新過程中，提高了代理模型的近似精度。龍騰等[12]提出基于信賴域的動(dòng)態(tài)徑向基函數(shù)優(yōu)化策略(TR-DRBF)，并將該方法應(yīng)用到“工”字梁的優(yōu)化中。曾鋒等[13]將信賴域的思想與Kriging結(jié)合，提出了集成信賴域與最小置信下限的優(yōu)化策略(IMTR-LCB)。

改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則充分利用了EI加點(diǎn)準(zhǔn)則的全局搜索能力與信賴域方法能提高Kriging建模效率的能力，并通過最小響應(yīng)面加點(diǎn)準(zhǔn)則提高算法的收斂精度。將NUMISHEET2002標(biāo)準(zhǔn)考題中翼子板作為研究對(duì)象，以5條拉延筋的阻力作為設(shè)計(jì)變量，并且將板料成形困難區(qū)域[14-15]的減薄率作為響應(yīng)值，進(jìn)而基于改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則構(gòu)建動(dòng)態(tài)Kriging模型，利用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)果表明：該方法能有效消除板料的拉裂缺陷，提高成形質(zhì)量。

1 Kriging代理模型

Kriging模型是基于統(tǒng)計(jì)理論的方差最小無偏估計(jì)模型，響應(yīng)值與自變量之間的關(guān)系表示為：

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(1)

(2)

MSE=E(c(x)TY-y(x))2

(3)

式中：c(x)為待求響應(yīng)值權(quán)重系數(shù)向量。

2 基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging優(yōu)化策略

2.1 期望最大加點(diǎn)準(zhǔn)則(EI)

(4)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)；φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)。

2.2 改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則

2.2.1混合加點(diǎn)準(zhǔn)則

混合加點(diǎn)準(zhǔn)則針對(duì)EI加點(diǎn)準(zhǔn)則中EI函數(shù)失效的問題，利用最小響應(yīng)面加點(diǎn)(MSP)對(duì)EI加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)。具體方法為：基于EI函數(shù)設(shè)定一個(gè)閾值CEI，當(dāng)EI函數(shù)值大于CEI時(shí)，混合加點(diǎn)使用EI函數(shù)獲取新樣本點(diǎn)，當(dāng)EI函數(shù)值小于CEI時(shí)，利用序列二次規(guī)劃法(SQP)搜索當(dāng)前EI點(diǎn)附近的局部最小值點(diǎn)完成加點(diǎn)?；旌霞狱c(diǎn)準(zhǔn)則的適應(yīng)度函數(shù)如下：

(5)

式中：CEI=0.001ymin，ymin為當(dāng)前模型最小響應(yīng)值。

2.2.2基于信賴域方法的期望最大加點(diǎn)準(zhǔn)則

使用信賴域方法對(duì)優(yōu)化空間進(jìn)行縮放能提高算法的優(yōu)化效率，基于信賴域的全局優(yōu)化算法的具體步驟如下：

1) 確定設(shè)計(jì)樣本空間B，使用拉丁超立方抽樣抽取10m組樣本，m表示設(shè)計(jì)空間的維數(shù)，建立初始Kriging模型。

(6)

式中：l0為初始設(shè)計(jì)空間長(zhǎng)度；n為迭代次數(shù)；r為優(yōu)化空間縮放參數(shù)。

2.2.3基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging優(yōu)化策略

基于信賴域的EI加點(diǎn)準(zhǔn)則由于空間的縮放，引起EI函數(shù)值過小，進(jìn)而導(dǎo)致加點(diǎn)準(zhǔn)則失效。將信賴域方法與混合加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行集成，提出一種改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則，能有效地解決這一問題，提高算法尋優(yōu)的速度與收斂精度。

將改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則與Kriging優(yōu)化方法結(jié)合，提出了一種基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging模型優(yōu)化算法，具體步驟如下：

1) 確定設(shè)計(jì)樣本空間B，使用拉丁超立方抽取樣本10m組，m表示設(shè)計(jì)空間的維數(shù)，建立初始Kriging模型，并記迭代步數(shù)k=1。

2) 當(dāng)k=1時(shí)，優(yōu)化空間為初始設(shè)計(jì)空間，當(dāng)k>1時(shí)，則使用信賴域方法對(duì)優(yōu)化空間進(jìn)行更新。

第一，在國有企業(yè)內(nèi)部建立良好的控制環(huán)境。良好的內(nèi)部控制環(huán)境，對(duì)實(shí)現(xiàn)國有企業(yè)的對(duì)內(nèi)控制有著重要的促進(jìn)作用，這就需要企業(yè)從自身經(jīng)營發(fā)展的實(shí)際情況出發(fā)，制定明確具體的企業(yè)改革執(zhí)行策略，并對(duì)內(nèi)部控制管理制定加以完善，為進(jìn)行企業(yè)內(nèi)部管控營造良好的氛圍，確保國有企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)人可以嚴(yán)格按照行之有效的規(guī)章制度做好相關(guān)的企業(yè)管理控制工作。同時(shí)企業(yè)中的各個(gè)層級(jí)和部門還應(yīng)加強(qiáng)交流程度，實(shí)現(xiàn)對(duì)任務(wù)的合理分配，從而實(shí)現(xiàn)企業(yè)內(nèi)部的有效管理。

3) 使用粒子群求解混合加點(diǎn)準(zhǔn)則獲取新的樣本點(diǎn)，并求其響應(yīng)值，然后更新Kriging代理模型。

4) 判斷當(dāng)前最優(yōu)值是否滿足收斂條件，如果滿足，則結(jié)束；不滿足，則跳轉(zhuǎn)至步驟2)繼續(xù)迭代。

基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging模型的優(yōu)化算法基本流程如圖1所示。

圖1 基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging模型優(yōu)化算法基本流程框圖

2.3 測(cè)試算例

為了驗(yàn)證基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging優(yōu)化策略的有效性，選擇GP函數(shù)、HD6函數(shù)分別對(duì)改進(jìn)的混合加點(diǎn)優(yōu)化策略、經(jīng)典的EGO優(yōu)化算法、基于信賴域的動(dòng)態(tài)徑向基代理模型優(yōu)化策略(TR-DRBF)和集成信最小置信下限和信賴域的動(dòng)態(tài)代理模型優(yōu)化策略(IMLCB-TR)等優(yōu)化策略進(jìn)行測(cè)試。

1) Goldstein-Price(GP)函數(shù)

f(x)=[1+(x1+x2+1)2(19-14x1+

[30+(2x1-3x2)2(18-32x1+

(7)

該函數(shù)在定義域內(nèi)取4個(gè)局部最小值，在(0，1)處取得全局最小fmin=0。

2) Hartmann 6-Dimensional Function(HD6)函數(shù)

(8)

式中：xi∈[0，1]，i=1，2，3，4，5，6；α=(1.0，1.2，3.0，3.2)T；Aij，Pij的表達(dá)式如下：

函數(shù)i=6，在x=(0.201 7，0.150，0.477，0.275，0.311 8，0.657 3)處取得最小值fmin=-2.223 7。利用4種優(yōu)化策略分別對(duì)測(cè)試函數(shù)各優(yōu)化10次，并統(tǒng)計(jì)其優(yōu)化結(jié)果，如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

從表1中可以看出，基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging優(yōu)化算法在非線性函數(shù)的優(yōu)化中能較快地收斂到函數(shù)的最優(yōu)值，與其他3個(gè)優(yōu)化方法相比，該方法能保證收斂精度，且優(yōu)化耗時(shí)較少。

3 基于信賴域改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kring的翼子板成形優(yōu)化

3.1 翼子板成形拉延筋模型

以NUMISHEET2002標(biāo)準(zhǔn)考題中翼子板為研究對(duì)象，基于沖壓仿真軟件DYNAFORM建立有限元仿真模型，如圖2所示。其中，板料的材料參數(shù)以及成形工藝參數(shù)如表2所示。

圖2 翼子板仿真模型示意圖

表2 材料參數(shù)與翼子板成形工藝參數(shù)

翼子板成形較為復(fù)雜，在成形過程中需要保證材料在各個(gè)方向上充分流動(dòng)。僅對(duì)壓邊力、摩擦系數(shù)等工藝參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單調(diào)整并不能消除板料成形缺陷。通過在模具上布置拉延筋可以精準(zhǔn)地控制材料在各個(gè)方向的流動(dòng)，提高板料成形質(zhì)量。參照NUMISHEET2002在翼子板沖壓模具上布置了5條拉延筋，如圖3所示。拉延筋阻力的取值范圍如表3所示。

圖3 5條拉延筋布置與y=100截面選取示意圖

表3 拉延筋阻力取值范圍

為了驗(yàn)證有限元模型的有效性，保證優(yōu)化結(jié)果真實(shí)可靠，使用DYNAFORM對(duì)有限元模型進(jìn)行仿真計(jì)算，并按圖3所示的y=100截面，測(cè)量截面的主應(yīng)變，結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，本模型仿真結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)考題基本一致，因此有限元模型的可靠性得到了驗(yàn)證。

圖4 y=100截面主應(yīng)變曲線

3.2 基于改進(jìn)的動(dòng)態(tài)Kriging模型的工藝參數(shù)優(yōu)化

3.2.1優(yōu)化目標(biāo)

翼子板在成形過程中的主要缺陷為拉裂缺陷，為了消除拉裂缺陷，一般選取減薄率作為成形質(zhì)量指標(biāo)[16]。通過關(guān)注板料成形困難區(qū)域，建立工藝參數(shù)與成形困難區(qū)域減薄率之間的Kriging代理模型。優(yōu)化目標(biāo)如下：

(9)

式中：ε1為板料成形的主應(yīng)變;ε0為成形困難區(qū)域篩選參數(shù);n為所選區(qū)域的單元總數(shù);δ0為板料的初始厚度;δi為第i個(gè)單元的厚度。

3.2.2翼子板成形工藝參數(shù)優(yōu)化

基于拉丁超立方抽樣方法，對(duì)所布置的5條拉延筋的阻力在取值范圍內(nèi)抽取50組樣本，利用DYNAFORM建立有限元模型進(jìn)行仿真，并計(jì)算其成形質(zhì)量指標(biāo)。抽取的部分樣本如表4所示。

表4 初始建模50組樣本

建立5條拉延筋阻力與目標(biāo)減薄率之間的Kriging模型，使用粒子群算法對(duì)初始Kriging模型進(jìn)行尋優(yōu)，得到初始Kriging模型的5條拉延筋的最優(yōu)阻力組合。將通過初始代理模型得到的最優(yōu)拉延阻力代入有限元模型計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。這2個(gè)圖由有限元仿真軟件DYNAFORM自動(dòng)生成。在成形極限圖中，成形極限曲線、安全裕度曲線、單向拉伸和雙向拉伸曲線等將圖中區(qū)域分為安全區(qū)、起皺區(qū)和拉裂區(qū)等。圖5(a)為PSO優(yōu)化后的成形極限圖，圖5(b)為PSO優(yōu)化后的成形云圖。

圖5 PSO優(yōu)化后的成形極限圖和成形云圖

使用改進(jìn)混合加點(diǎn)優(yōu)化策略對(duì)Kriging模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新，并通過粒子群算法對(duì)模型尋優(yōu)。加點(diǎn)優(yōu)化后得到最優(yōu)拉延阻力，如表5所示。

表5 混合加點(diǎn)準(zhǔn)則優(yōu)化所得拉延筋最優(yōu)阻力

將最優(yōu)拉延筋阻力代入有限元模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖6所示。這2個(gè)圖也是有限元仿真軟件DYNAFORM自動(dòng)生成。圖6(a)為加點(diǎn)優(yōu)化后的成形極限圖，圖6(b)為加點(diǎn)優(yōu)化后的成形云圖。

圖6 改進(jìn)的混合加點(diǎn)策略優(yōu)化結(jié)果成形極限圖和成形云圖

將改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則用到翼子板成形工藝參數(shù)優(yōu)化中，對(duì)Kriging模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新，然后使用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，得到翼子板成形的最佳工藝參數(shù)，消除了拉裂缺陷，提高了板料成形質(zhì)量。

4 結(jié)論

1) 提出了改進(jìn)混合加點(diǎn)準(zhǔn)則。通過非線性函數(shù)測(cè)試，表明基于該加點(diǎn)準(zhǔn)則的Kriging優(yōu)化算法在非線性函數(shù)中能高效收斂到全局最優(yōu)值。

2) 將成形困難區(qū)域的減薄率作為質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)，降低了非成形區(qū)域與易成形區(qū)域?qū)Τ尚钨|(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)的影響，提高了優(yōu)化效率。

3) 以翼子板為研究對(duì)象，基于改進(jìn)的混合加點(diǎn)準(zhǔn)則，使用Kriging代理模型優(yōu)化方法獲得了翼子板成形最優(yōu)工藝參數(shù)組合，消除了拉裂缺陷，提高了成形質(zhì)量。