劉 文 米據(jù)生 孫 妍

1(河北師范大學數(shù)學科學學院 石家莊 050024) 2(北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 北京 100081)

波蘭數(shù)學家Pawlak[1]于1982年首次提出粗糙集理論,在其研究中,近似算子的定義主要有2種方法:構(gòu)造性方法和公理化方法.在構(gòu)造性方法中,多以論域上的二元關(guān)系、劃分、覆蓋、鄰域系統(tǒng)、布爾子代數(shù)等作為原始概念,并應(yīng)用這些概念構(gòu)造近似算子.相反地,在公理化方法中,則把一對抽象的集合值算子作為原始概念,利用一組公理描述上、下近似算子,即首先通過滿足某些條件的公理形式給定粗糙集代數(shù)系統(tǒng)中的集合算子,其次尋找合適的二元關(guān)系使得由該二元關(guān)系及其生成的近似空間按構(gòu)造性方法導(dǎo)出的近似算子恰好就是由公理方法定義的集合算子.

在對粗糙集理論研究的過程中,最早由Lin等人[2]提出了公理化的方法,Yao[3]與Thiele[4]給出了對于一般關(guān)系和各種特殊關(guān)系下的粗糙近似算子相對完整的公理刻畫結(jié)果.Wu等人[5]把一般二元關(guān)系的粗糙近似算子的公理集拓展到無限論域中.

作為用來處理模糊性和不確定性知識的另一種數(shù)學工具,模糊集理論由美國控制論專家Zadeh[6]于1965年首次提出,之后粗糙集與模糊集的融合問題成為熱門研究方向[7-8].在模糊粗糙集的研究中,Morsi等人[9]最早使用公理化方法研究模糊近似算子,Yang等人[10]考慮了分別由一般猶豫模糊關(guān)系和串行的、自反的、對稱的、傳遞的猶豫模糊關(guān)系導(dǎo)出的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫問題.Wu等人[11]還給出了對偶(S,T)-模糊粗糙近似算子的單公理刻畫,Zhang等人[12]給出基于覆蓋的近似算子的公理刻畫,Pang等人[13]基于3類新的L-模糊關(guān)系給出了L-模糊粗糙近似算子的公理刻畫,Pang等人[14]提出了一個L-模糊近似算子的一般結(jié)構(gòu)和各種類型的L-模糊粗糙集,并用單個公理刻畫了每一類L-模糊關(guān)系及其組合對應(yīng)的L-模糊近似算子.Li等人[15]提出了一種基于模糊鄰域系統(tǒng)的粗糙集模型并從公理化的角度研究了粗糙近似算子.對于完全分配格L,Sun等人[16]引入了L-模糊上近似算子的概念,給出了L-模糊上近似算子的公理刻畫,并討論了串行的、自反的、一元的和傳遞的L-廣義模糊遠鄰域系統(tǒng)產(chǎn)生的L-模糊上近似算子的性質(zhì).對于剩余格L,Wang等人[17]進一步研究了L-模糊粗糙集的公理刻畫,并用2種不同的方法研究了L-模糊粗糙上近似算子的單公理刻畫問題.Pang等人[18]針對L是一個完備的Heyting代數(shù)的情形,給出了L-粗糙近似算子的一般結(jié)構(gòu).在公理化方法中,證明了分別與串行的、自反的、對稱的、傳遞的、歐幾里德的等多種L-關(guān)系所生成的每一類L-粗糙近似算子,都可以用一條公理來刻畫.

在猶豫模糊粗糙集理論研究中,Yang等人[10]提出的模型存在一個問題:2個猶豫模糊集之間的包含關(guān)系不一定是反對稱的,即對任意2個猶豫模糊集A和B,若A?B且B?A,則不一定有B=A成立.針對這一問題,Zhang等人[19]將Yang的模型進行改進,提出了一種新的猶豫模糊粗糙集模型.本文基于文獻[19]所提出的新模型給出猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫.

1 基礎(chǔ)知識

本節(jié)給出猶豫模糊集、猶豫模糊關(guān)系、猶豫模糊粗糙集的相關(guān)概念和性質(zhì).

定義1[10].設(shè)U為非空有限論域,U上的一個猶豫模糊集定義為A={〈x,hA(x)〉|x∈U},其中hA(x)為x在猶豫模糊集合A中的隸屬函數(shù),即hA(x)是[0,1]中不同值的有限集合,表示U中元素x在猶豫模糊集合A中的可能隸屬度.

方便起見,稱hA(x)為猶豫模糊元,U上所有猶豫模糊集構(gòu)成的集合稱為U的猶豫模糊冪集,記為HF(U).

注意到,不同猶豫模糊元中數(shù)值的數(shù)目可能不同,記l(hA(x))表示hA(x)中數(shù)值的個數(shù),為了方便計算,給出2點假設(shè):

1)將每個猶豫模糊元中的元素按遞增順序排列,記為

其中k表示遞增排列后猶豫模糊元中第k個數(shù)值.

2)為了方便計算以及合理地對2個猶豫模糊元hA(x)與hB(x)進行比較,則當l(hA(x))≠l(hB(x))時,這2個猶豫模糊元需要有相同的長度.令

l=max{l(hA(x)),l(hB(x))}，

并將元素較少的猶豫模糊元進行擴充,直到l(hA(x))=l(hB(x))=l.在樂觀準則下,通過重復(fù)添加最大值進行擴充;在悲觀準則下,通過重復(fù)添加最小值進行擴充.

由于文獻[10]中提出的猶豫模糊粗糙集模型中任意2個猶豫模糊集之間的包含關(guān)系不一定是反對稱的,然而在經(jīng)典集合理論中任意2個集合間的包含關(guān)系都滿足反對稱性.為了彌補這一問題,文獻[19]將Yang等人[10]的模型進行了改進,重新定義了2個猶豫模糊集合間的包含關(guān)系.

定義2.設(shè)U為非空有限論域,A,B為2個猶豫模糊集,若hA(x)?hB(x),?x∈U,其中

則定義為A?B.

顯然上述包含關(guān)系滿足反對稱性.

定義3[20].設(shè)U為非空有限論域,稱R∈HF(U×U)為U上的猶豫模糊關(guān)系.

若?x∈U,?y∈U使得hR(x,y)={1},則稱R是串行的;

若?x∈U都有hR(x,x)={1},則稱R是自反的;

若?(x,y)∈U×U都有hR(x,y)=hR(y,x),則稱R是對稱的;

對于?x,y,z∈U都成立,則稱R是傳遞的,其中k=1,2,…,l,l=max{l(hR(x,y),l(hR(y,z)),l(hR(x,z))};

若R滿足自反性、對稱性和傳遞性,則稱R為等價的猶豫模糊關(guān)系.

基于猶豫模糊元之間新的運算法則,文獻[19]提出一種新的猶豫模糊粗糙集模型.在該模型當中任意2個猶豫模糊集之間的包含關(guān)系一定是反對稱的.

其中

其中?A,B∈HF(U),?ai∈[0,1],i=1,2,…,m,C(a1,a2,…,am)表示取值為{a1,a2,…,am}的猶豫模糊常數(shù)集.

1)猶豫模糊關(guān)系R是串行的

2)猶豫模糊關(guān)系R是自反的

3)猶豫模糊關(guān)系R是對稱的

4)猶豫模糊關(guān)系R是傳遞的

2 猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫

本節(jié)首先給出由一般猶豫模糊關(guān)系導(dǎo)出的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫.

其中I為任意索引集.再由性質(zhì)1得：

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU),由H定義U上的猶豫模糊關(guān)系R為

hR(x,y)=hH(1y)(x),?(x,y)∈U×U.

注意到?A∈HF(U),?x∈U,都有：

則?B∈HF(U)根據(jù)定義4可知：

對于下近似算子的情形,由L定義U上的猶豫模糊關(guān)系R為

hR(x,y)=hL(U-{y})(x),?(x,y)∈U×U.

同時?A∈HF(U),注意到

即可證明.

證畢.

下面研究由串行的、自反的、對稱的、傳遞的和等價的猶豫模糊關(guān)系所生成的猶豫模糊粗糙近似算子的公理刻畫.

因此根據(jù)定理2得：

其次證明必要性.設(shè)H滿足(HFU1),取A=?,根據(jù)(HFU1)則有:

因此:

h(U-H(U))(x)=0?(U-H(U))=?
?U=H(U).

所以:

證畢.

因此根據(jù)定理2得：

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU2),則：

因此H(B)=B∪H(B),這樣B?H(B).

由(HFU2)可知：

因此：

證畢.

其次證明必要性.設(shè)H滿足(HFU3),

取B=1y,A=U則有:

因此hH(1y)(x)=hH(1x)(y).所以

證畢.

?B∈HF(U).因此根據(jù)定理2得:

其次證明必要性.設(shè)猶豫模糊集合算子H滿足(HFU4),則

因此H(B)=H(H(B))∪H(B),這樣

H(H(B))?H(B).

于是:

由(HFU4)可知:

因此:

證畢.

綜合定理4～6并根據(jù)定義3即可得到定理7.

3 猶豫模糊拓撲空間的誘導(dǎo)

利用第2節(jié)所給出的各類猶豫模糊粗糙近似算子公理刻畫的結(jié)論,對猶豫模糊粗糙近似空間與猶豫模糊拓撲空間之間的關(guān)系進行研究.由于近似算子的對偶性,下面僅對猶豫模糊下近似算子進行討論.

推論1.設(shè)U為非空有限論域,R為U上一個自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系,則有等式成立：

證明.由定理4和定理6可知,R滿足:

(1)

(2)

證畢.

在文獻[19]中已經(jīng)證明了U上一個自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系R滿足:

其中?Aj∈HF(U),J為索引集.

下面證明U上自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系在U上能誘導(dǎo)一個猶豫模糊拓撲空間.

定理8.設(shè)U為非空有限論域,若R為U上的自反且傳遞的猶豫模糊關(guān)系,則存在U上的一個猶豫模糊拓撲τR,使得

由文獻[21]中猶豫模糊拓撲的定義可知,(U,τR)為猶豫模糊拓撲空間只需滿足:

1)C(a1,a2,…,am)∈τR,其中{a1,a2,…,am}?[0,1],C(a1,a2,…,am)表示猶豫模糊常數(shù)集.

2)A∩B∈τR,?A,B∈τR.

證明.

1)由自反性易知該猶豫模糊關(guān)系是串行的,因此

因此C(a1,a2,…,am)∈τR.

因此A∩B∈τR.

證畢.

4 結(jié)束語

本文基于文獻[19]所提出的新的猶豫模糊粗糙集模型進行研究,得出刻畫猶豫模糊粗糙近似算子的一種新公理集.并進一步解決了分別由串行的、自反的、對稱的、傳遞的和等價的猶豫模糊關(guān)系所生成的近似算子的公理刻畫問題.最后應(yīng)用本文結(jié)論證明了由猶豫模糊粗糙近似空間可以誘導(dǎo)出一個猶豫模糊拓撲空間.

本文所給出的猶豫模糊粗糙集的公理化方法比較簡潔地刻畫了猶豫模糊粗糙集的數(shù)學結(jié)構(gòu).另外,由于粗糙集理論中的下近似算子和上近似算子與模態(tài)邏輯學中的必然性算子和可能性算子、拓撲空間中的內(nèi)部算子和閉包算子、Dempster-Shafer證據(jù)理論中的信任函數(shù)與似然函數(shù)都有密切聯(lián)系,因此將粗糙集理論推廣到猶豫模糊環(huán)境下,可以揭示猶豫模糊粗糙近似算子更深層次的本質(zhì)特點,且為進一步探討?yīng)q豫模糊粗糙集的拓撲結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).