王克亮

(江蘇省射陽(yáng)中學(xué) 224300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱‘四能’).”這表明新的課程標(biāo)準(zhǔn)提倡課堂教學(xué)采用“問(wèn)題解決”的形式. 與之配套的蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材則在扉頁(yè)的“致同學(xué)”中提到：“怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？第一，要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題；第二，要嘗試分析并解決所提出的問(wèn)題；第三，要學(xué)會(huì)回顧反思.”很明顯，這是在向?qū)W生介紹“問(wèn)題解決”式的學(xué)習(xí)方法.

那么，在高中數(shù)學(xué)新授課中，該如何實(shí)施“問(wèn)題解決”式的教學(xué)方法呢？經(jīng)過(guò)近兩年的探索與實(shí)踐，筆者構(gòu)建了“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)范式.

1 “四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式的流程及內(nèi)涵

筆者構(gòu)建的新授課“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式的流程如圖1所示，其中，“啟問(wèn)、探問(wèn)、追問(wèn)、回問(wèn)”構(gòu)成一個(gè)問(wèn)題解決循環(huán).

圖1

筆者認(rèn)為，一節(jié)新授課就是一個(gè)“問(wèn)題解決”的大循環(huán).

啟問(wèn)：依據(jù)目標(biāo)，提出問(wèn)題. 這是“問(wèn)題解決”的發(fā)生階段，指發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的過(guò)程. 啟問(wèn)通常緊跟問(wèn)題情境之后或置于一個(gè)教學(xué)活動(dòng)之前，往往隱含一節(jié)課或一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo).

探問(wèn)：拾級(jí)而上，解決問(wèn)題. 這是“問(wèn)題解決”的發(fā)展階段，指分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程. 這一階段通常需要老師的引導(dǎo)與啟發(fā)，可設(shè)計(jì)一系列的子問(wèn)題或“問(wèn)題解決”的小循環(huán)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究.

追問(wèn)：質(zhì)疑交流，促進(jìn)思維. 這是“問(wèn)題解決”過(guò)程中的一個(gè)個(gè)小高潮，指質(zhì)疑問(wèn)難與思維交流的過(guò)程，旨在出現(xiàn)老師質(zhì)疑學(xué)生、學(xué)生質(zhì)疑學(xué)生、以及學(xué)生質(zhì)疑老師的生動(dòng)場(chǎng)景.

回問(wèn)：反思提煉，總結(jié)提升. 這是“問(wèn)題解決”的結(jié)束階段，指回顧與反思的過(guò)程，意圖從中提煉思想方法，或提出新的問(wèn)題.

筆者認(rèn)為，一節(jié)新授課就是在不斷地提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).

2 “四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式的實(shí)踐與體會(huì)

在新授課“四問(wèn)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)范式的實(shí)踐中，筆者獲得了如下一些啟示.

2.1 啟問(wèn)：宜發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào)：“情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).”筆者心目中的“啟問(wèn)”是教學(xué)目標(biāo)問(wèn)題化的結(jié)果，是貫穿整節(jié)課或一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的大問(wèn)題，它不只是瞄準(zhǔn)定義、定理、法則這些冰冷的知識(shí)，而應(yīng)盡量發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1向量的概念及表示

引例1每次上課前，我(指教者，下同)從辦公室出來(lái)走140米到了教室；下課后，我將再?gòu)慕淌页霭l(fā)走140米回到辦公室. 那么，我這兩次運(yùn)動(dòng)位置變化的效果一樣嗎？

意圖引出“位移”這個(gè)矢量.

引例2每次上課前從辦公樓出來(lái)時(shí)，我先向西勻速行走40秒，每秒鐘行2米；然后向南勻速行走10秒，也是每秒鐘行2米. 那么，這兩個(gè)時(shí)段內(nèi)我行走的速度一樣嗎？

意圖引出“速度”這個(gè)矢量.

追問(wèn)像這樣的量，你能再列舉一些嗎？

意圖抽象出上述兩個(gè)物理量的共性之處，并找出更多類似的量.

● 用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)表示這樣的量？又該如何研究這個(gè)數(shù)學(xué)模型呢？

意圖從數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及研究路線的角度“啟問(wèn)”，進(jìn)入“問(wèn)題解決”大循環(huán). 同時(shí)指出，這就是新的一章“向量”將要研究的內(nèi)容.

案例2平面向量基本定理

回顧向量共線定理的內(nèi)容是什么？

意圖回顧已學(xué)知識(shí)：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa．

追問(wèn)1你是如何理解向量共線定理的？

意圖引導(dǎo)學(xué)生回答出以下兩點(diǎn)：

(1)所有的與向量a共線的向量，與實(shí)數(shù)之間構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；

(2)一個(gè)非零向量，利用數(shù)乘可以表示所有的與它共線的向量.

追問(wèn)2如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個(gè)基本定理，那么你想到了什么樣的問(wèn)題？

意圖引導(dǎo)學(xué)生提出如下問(wèn)題.

● 在二維空間(即平面)中，有沒(méi)有類似的基本定理呢？

意圖從直觀想象、數(shù)學(xué)建模的角度“啟問(wèn)”，進(jìn)入“問(wèn)題解決”大循環(huán)，同時(shí)引出本節(jié)課的課題.

評(píng)注上述兩個(gè)案例都是從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高度來(lái)“啟問(wèn)”的.筆者認(rèn)為，新授課的“啟問(wèn)”，通常指明了本節(jié)課研究的大方向，明確了本節(jié)課的核心教學(xué)目標(biāo)，它可以只是一個(gè)“虛擬的問(wèn)題”，起“前呼”的作用.在案例2的情境之后，筆者還為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題創(chuàng)設(shè)了平臺(tái).

2.2 探問(wèn)：宜展示知識(shí)形成過(guò)程

新授課離不開(kāi)有關(guān)概念、定理、法則等新知識(shí)的學(xué)習(xí)，為了讓學(xué)生弄清楚這些新知識(shí)的來(lái)龍去脈，教學(xué)中應(yīng)盡量還原它們的形成過(guò)程，所以需要設(shè)計(jì)一些探究性問(wèn)題.筆者認(rèn)為，“探問(wèn)”應(yīng)圍繞“啟問(wèn)”而設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，通過(guò)這些問(wèn)題的解決自然生成新的知識(shí).另外，新知識(shí)的應(yīng)用策略也可以用“探問(wèn)”的形式來(lái)引領(lǐng).

案例3向量的概念及表示(案例1續(xù))

明確研究路線請(qǐng)回顧“集合”的所學(xué)內(nèi)容，并類比其研究模式，試確定“向量”這個(gè)全新的數(shù)學(xué)模型的研究路線.

意圖提煉出數(shù)學(xué)對(duì)象的一般研究模式：數(shù)學(xué)概念——表示方法——特殊模型——定義運(yùn)算——知識(shí)運(yùn)用.然后明確本節(jié)課主要研究向量的概念、表示和特殊的向量模型.

問(wèn)題1什么叫向量？你認(rèn)為該如何給它下個(gè)定義呢？

意圖從前面的多個(gè)實(shí)例中抽象出“既有大小，又有方向”這兩個(gè)共同特征.

問(wèn)題2對(duì)于既有大小又有方向的向量，你想到了哪幾種合理的表示方法？

意圖在已學(xué)的線段、有向線段等知識(shí)的基礎(chǔ)上，從圖形、字母等角度來(lái)研討向量的表示方法，并給出向量的長(zhǎng)度(模)的概念及表示方法.

問(wèn)題3自己先畫(huà)一些向量，然后試著從長(zhǎng)度和方向這兩個(gè)角度觀察，我們可以給出哪些特殊的向量模型？

意圖從學(xué)生所作的圖形入手，描述其特征，指出它的大小或方向的特殊性，然后進(jìn)行合理命名，并借鑒已有經(jīng)驗(yàn)給出相應(yīng)的記法，逐步完成下列表格.

名 稱特 征圖形表示大小方向記法零向量長(zhǎng)度為00任意0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度1/單位向量e相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同相等相同a=b相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反相等相反a=-b平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量/相同或相反a∥b垂直向量方向相互垂直/垂直a⊥b

問(wèn)題4如何運(yùn)用上述新知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(xí)(此略).

評(píng)注本案例中的問(wèn)題1～問(wèn)題3是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般研究模式而確定的，它們是相對(duì)獨(dú)立的三個(gè)“探問(wèn)”，而問(wèn)題4則是新知識(shí)的應(yīng)用策略.實(shí)踐表明，本節(jié)課中所有的新知識(shí)都可以在學(xué)生自行探究的基礎(chǔ)上自然生成，無(wú)需任何“灌輸”.特別是問(wèn)題3，給了學(xué)生較多的發(fā)揮空間，課堂上甚至探究出了本節(jié)內(nèi)容中沒(méi)有涉及到的“垂直向量”.

案例4平面向量基本定理(案例2續(xù))

問(wèn)題1在平面內(nèi)，若有類似于向量共線定理的基本定理，該如何來(lái)探究呢？

問(wèn)題1.1若有這樣的基本定理，它的結(jié)構(gòu)如何？

意圖類比向量共線定理得到平面內(nèi)該基本定理的結(jié)構(gòu)：給定平面內(nèi)的一些非零向量，對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都可以用這些向量來(lái)表示.

問(wèn)題1.2若只給定平面內(nèi)的一個(gè)非零向量，它能表示該平面內(nèi)的任一向量嗎？為何？

意圖引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到平面內(nèi)的一個(gè)非零向量只能表示與它共線的所有向量.

問(wèn)題1.3若給定平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，它能表示該平面內(nèi)的任一向量嗎？

引例如圖2，炮彈在發(fā)射的某一時(shí)刻，速度v可以分解為水平向前的分速度v1和豎直向上的分速度v2.那么，v,v1,v2之間的關(guān)系可以怎樣表示？

圖2

意圖根據(jù)向量的加法法則，得v=v1+v2.

思考1保留上述兩個(gè)非零向量v1,v2，換一個(gè)炮彈的發(fā)射速度v3(如圖3所示)，它能用v1,v2的式子來(lái)表示嗎？

圖3

意圖得到v3=λ1v1+λ2v2的表示形式.

追問(wèn)1該表達(dá)式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？

意圖引導(dǎo)學(xué)生用向量加法的平行四邊形法則和向量共線定理解釋?duì)?與λ2的唯一性.

思考2若將v1,v2改成平面內(nèi)其它的兩個(gè)非零向量e1,e2，將v3改成平面內(nèi)的任一向量a，上述結(jié)論還成立嗎？

意圖給出多組非零向量e1,e2，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到只要它們不共線，結(jié)論總成立.

問(wèn)題1.4研究至此，你能得到什么樣的結(jié)論？

意圖提煉出平面向量基本定理，并介紹基底與正交分解的概念.

問(wèn)題1.5我們是如何探究得到平面向量基本定理的，你從中獲得了哪些感悟？

意圖從邏輯推理(類比遷移、理性分析、邏輯表述)、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度談學(xué)習(xí)體會(huì).

問(wèn)題2你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)角度來(lái)理解：

(1)平面內(nèi)一對(duì)不共線的向量，就可以表示該平面內(nèi)的所有向量；

(2)當(dāng)一組基底確定后，平面內(nèi)的向量就與實(shí)數(shù)對(duì)(λ1,λ2)之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；

(3)平面向量基本定理可作為判斷向量是否共面的依據(jù)，所以也可以理解成是向量共面定理；

(4)平面向量基本定理可看成是向量共線定理的推廣，從一維空間拓展到了二維空間.

追問(wèn)2很自然地，此時(shí)你又有了什么樣新的猜想？

意圖再將平面向量基本定理推廣到三維空間，猜想出空間向量基本定理.

問(wèn)題3如何運(yùn)用平面向量基本定理來(lái)解決問(wèn)題？

意圖例題分析、方法提煉及變式練習(xí)(此略).

評(píng)注在該案例中，問(wèn)題1～問(wèn)題3是“問(wèn)題解決”大循環(huán)中的“探問(wèn)”；同時(shí)，問(wèn)題1及其子問(wèn)題又構(gòu)成了一個(gè)“問(wèn)題解決”的小循環(huán)，其中的問(wèn)題1相當(dāng)于是“啟問(wèn)”，問(wèn)題1.1～1.4是“探問(wèn)”，問(wèn)題1.5是“回問(wèn)”，問(wèn)題解決過(guò)程中有“追問(wèn)”.

2.3 追問(wèn)：宜促使學(xué)生深度思維

數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，所以課堂上我們應(yīng)追求學(xué)生的深度思維.對(duì)此，“追問(wèn)”應(yīng)當(dāng)是一個(gè)有效的策略.“追問(wèn)”可以基于課前預(yù)設(shè)，更多來(lái)自課中臨時(shí)生成，由此可引發(fā)師生之間、生生之間的對(duì)話，促使師生思維的交流與碰撞，在追問(wèn)中將學(xué)生的思維不斷引向深入.

比如，在案例1中，“追問(wèn) 像這樣的量，你能再列舉一些嗎？”需要學(xué)生抽象出“位移”與“速度”的共同特征.

在案例2中，“追問(wèn)1 你是如何理解向量共線定理的？”需要學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)向量共線定理的內(nèi)涵，并能用自己的語(yǔ)言表述出來(lái)；而“追問(wèn)2 如果將向量共線定理看成是一維空間中的一個(gè)基本定理，那么你想到了什么樣的問(wèn)題？”則需要學(xué)生善于類比，在二維空間中提出類似的新問(wèn)題.

在案例3中，特別是在問(wèn)題3的解決過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)有多個(gè)臨時(shí)生成的“追問(wèn)”.比如，“如何確定零向量的方向比較合理？”“相反向量類似于哪個(gè)熟悉的概念？”“平行向量的定義為何要強(qiáng)調(diào)‘非零向量’？”“零向量與其它向量平行嗎？”“平行向量中的‘平行’如何理解？”“共線向量中的‘共線’如何理解？”等.

在案例4中，“追問(wèn)1 該表達(dá)式中的λ1與λ2唯一嗎？為什么？”需要學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探究出λ1與λ2的唯一性；而“追問(wèn)2 很自然地，此時(shí)你又有了什么樣新的猜想？”則需要將一維、二維空間中的結(jié)論推廣到三維空間，以培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移和創(chuàng)新思維能力.

評(píng)注“追問(wèn)”通常貫穿教學(xué)的全過(guò)程，它的主體可以是老師，也可以是學(xué)生.為了培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的勇氣與能力，課堂上要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的平臺(tái)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)問(wèn).比如，老師可經(jīng)常說(shuō)這樣的幾句話：“此時(shí)，你想提出什么樣的問(wèn)題？”“對(duì)此，你有什么好的想法？”“同學(xué)們有什么疑問(wèn)？”等.筆者認(rèn)為，“追問(wèn)”是靈動(dòng)課堂的核心所在，是教師教學(xué)智慧的體現(xiàn).

2.4 回問(wèn)：宜引導(dǎo)學(xué)生提高認(rèn)識(shí)

我們知道，數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性、探究性很強(qiáng)的學(xué)科，所以在新知識(shí)的學(xué)習(xí)中，回顧反思這一思維活動(dòng)是必不可少的，它對(duì)提高學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要.“回問(wèn)”就是利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生在反思中感悟，在反思中提升，在反思中創(chuàng)新.

案例5向量的概念及表示(接案例3)

我們是建立了什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)表示“位移”“速度”這些量的？本節(jié)課我們研究了這個(gè)數(shù)學(xué)模型的哪些內(nèi)容？

意圖回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，即向量的定義與表示、特殊的向量模型.

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你獲得了哪些啟示？又有哪些地方值得注意？

意圖讓學(xué)生暢所欲言，并聚焦以下幾點(diǎn)：

(1)學(xué)會(huì)建模：學(xué)會(huì)從多個(gè)實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型，如向量的概念；

(2)注重傳承：學(xué)會(huì)將舊的知識(shí)移植到新的知識(shí)中，如向量的表示、特殊的向量模型等；

(3)轉(zhuǎn)變觀念：注意一些舊的經(jīng)驗(yàn)可能有了新的涵義，如平行向量、共線向量中的“平行”“共線”的意義已不同于舊的經(jīng)驗(yàn)，值得注意.

后續(xù)我們將要研究“向量”這個(gè)數(shù)學(xué)模型的哪些內(nèi)容？

意圖明確后續(xù)將要研究向量的運(yùn)算及應(yīng)用等，進(jìn)而引出“向量的加法”這個(gè)話題，為下節(jié)課做鋪墊，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣.

案例6平面向量基本定理(接案例4)

你是如何理解平面向量基本定理的？

意圖把握平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)，它是一組本質(zhì)一致的結(jié)論在二維空間中的表現(xiàn)形式.

你認(rèn)為研究平面向量基本定理有何重要意義？

意圖讓學(xué)生體會(huì)到，在此基礎(chǔ)上可建立平面向量與實(shí)數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而為平面向量的代數(shù)化奠定基礎(chǔ).

在本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，你想提出什么樣的新問(wèn)題？

意圖引出“向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算”這個(gè)話題，為下節(jié)課作鋪墊，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.

評(píng)注上述兩個(gè)案例分別從知識(shí)內(nèi)涵、研究路徑、學(xué)習(xí)意義、問(wèn)題提出等角度進(jìn)行“回問(wèn)”，加深了學(xué)生的認(rèn)識(shí).筆者認(rèn)為，“回問(wèn)”通常起“后應(yīng)”的作用，既是對(duì)“啟問(wèn)”的回應(yīng)，更是對(duì)思想和方法的提煉與升華；同時(shí)，“回問(wèn)”還常常起著承上啟下的作用.

實(shí)踐表明，基于“啟問(wèn)、探問(wèn)、追問(wèn)、回問(wèn)”的教學(xué)范式，是新授課實(shí)施“問(wèn)題解決”的一個(gè)較好操作策略，能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)方式的轉(zhuǎn)型.該教學(xué)范式既與新課標(biāo)的倡議相吻合，又能提升課堂的層次.