張驍 沈輝 丁曉亮 曲鵬超

摘要：針對傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器在低幅值激勵下不易進行高能阱間運動的問題，設(shè)計了一種耦合雙梁的非線性壓電俘能器。利用集中參數(shù)法對系統(tǒng)進行了數(shù)學建模。對傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器與本文所設(shè)計的俘能器進行了數(shù)值仿真，對比分析了兩者在簡諧激勵與線性升頻激勵下的動態(tài)響應(yīng)及俘能性能。仿真分析結(jié)果表明，通過調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，該非線性俘能器在工作頻帶內(nèi)能夠達到最大的平均功率。

關(guān)鍵詞：非線性;壓電俘能器;雙穩(wěn)態(tài);磁力;彈簧

中圖分類號：TN384

文獻標志碼：A

收稿日期：2020-09-07

基金項目：

山東省自然科學基金面上項目（批準號：ZR2017MEE039）資助。

通信作者：

沈輝，男，博士，副教授，主要研究方向為壓電能量收集技術(shù)。E-mail： shenhui@qdu.edu.cn

通過壓電俘能器收集環(huán)境中的振動能量來為無線傳感器以及微機電系統(tǒng)供能具有很好的前景[1]。自然界中的振動往往不是固定在某個頻率振動，而是在一個比較寬的振動頻帶下振動[2]。針對傳統(tǒng)線性懸臂梁結(jié)構(gòu)工作頻帶窄的問題，國內(nèi)外學者做了大量的研究[3-7]。近些年來，有學者將目光轉(zhuǎn)向非線性結(jié)構(gòu)[8]，通過非線性磁力使壓電懸臂梁系統(tǒng)呈現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)。但是傳統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)需要較大的加速度激勵，在低加速度幅值激勵下只能在某個穩(wěn)態(tài)振動（勢能阱內(nèi)運動），不能產(chǎn)生高能的阱間運動，俘能表現(xiàn)不佳[9]。本文在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種耦合雙梁的非線性壓電俘能器（Coupled Nonlinear Piezoelectric Energy Harvester，CNPEH），通過耦合彈簧有效降低了系統(tǒng)進行跨阱運動所需的最低加速度激勵幅值。利用數(shù)值仿真法研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對該俘能器在簡諧激勵以及線性升頻激勵下的俘能特性的影響。

1 系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)由單根懸臂梁、懸臂梁末端磁鐵、外部磁鐵以及壓電片組成，末端磁鐵質(zhì)量塊在外部磁力的作用下存在上下兩個穩(wěn)態(tài)位置[10]，如圖1（a）所示。本文設(shè)計的CNPEH結(jié)構(gòu)在傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，增加了一根懸臂梁，以及一根用來耦合兩根懸臂梁的耦合彈簧，如圖1（b）所示。該結(jié)構(gòu)由懸臂梁1、2，壓電片，永磁體，耦合彈簧和基座組成。末端帶有永磁鐵的懸臂梁1，在外部磁鐵的吸引作用下，呈現(xiàn)兩個穩(wěn)態(tài)位置A、B。懸臂梁2末端為非磁性材料質(zhì)量塊，通過彈簧與懸臂梁1末端磁鐵質(zhì)量塊連接。d為兩個外部磁鐵在水平方向的中心距，h為懸臂梁末端磁鐵與外部磁鐵在豎直方向的中心距，R為負載電阻。自由狀態(tài)下，懸臂梁1自由端受到兩塊外部磁鐵的吸力，整個系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的平衡位置。振動條件下，懸臂梁1在耦合彈簧、懸臂梁等效剛度和磁鐵的吸力共同作用下達到穩(wěn)態(tài)位置A、B[11]。

2 CNPEH的動力學模型

圖2是CNPEH的動力學模型。CNPEH可以簡化為兩個彈簧—質(zhì)量塊—阻尼系統(tǒng)，兩系統(tǒng)通過耦合彈簧連接。

運用拉格朗日方程和基爾霍夫定律，可得系統(tǒng)的機電耦合方程[12]

M11+C11+（Kn+K1）X1+KS（X1-X2）-KθV1=M1Cp1+V1R+Kθ1=0M22+C22+K2X2-KS（X1-X2）-KθV2=M2Cp2+V2R+Kθ2=0（1）

其中，M1 ，M2 ，K1 ，K2，C1 ，C2分別為懸臂梁1，2的等效質(zhì)量，等效剛度，等效阻尼。Cp為壓電片的電容，R為負載電阻。Kθ為機電耦合系數(shù)，Kn為磁斥力產(chǎn)生的非線性剛度，Ks為耦合彈簧的剛度。V1 、V2分別為懸臂梁1、2的輸出電壓，X1 、X2分別為懸臂梁1、2的末端相對于基礎(chǔ)的位移，Y為基礎(chǔ)激勵。式（1）中的（Kn+K1）X1為彈性恢復力項Fr。式（1）中前兩項若舍去耦合彈簧作用力，即耦合項Ks（X1-X2），此時，式（1）前兩項為傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的機電控制方程

M33+C33+（Kn+K3）X3-KθV3=M3Cp3+V3R+Kθ3=0（2）

圖3所示為兩種雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的勢能函數(shù)。同傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)相比，CNPEH由于存在耦合彈簧作用力Ks（X1-X2），耦合彈簧會在勢能函數(shù)曲線下降時積累勢能，使得曲線上升的拐點提前，這樣俘能器在較小的外界振動下就能跨越兩個勢阱振動，容易得到更寬的頻帶。

3 CNPEH的俘能特性

3.1 線性升頻激勵下俘能特性

線性升頻激勵表達式為

Y=A（2πf）2sin（2πft）（3）

其中，A代表加速度激勵的幅值，頻率范圍為0～25 Hz。為了能正確對比CNPEH同傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的俘能特性，設(shè)置壓電懸臂梁1、2的結(jié)構(gòu)參數(shù)均與傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)相同，即M1=M2=M3，C1=C2=C3，K1=K2=K3。選取加速度激勵幅值A(chǔ)=0.3 g，耦合彈簧剛度Ks=0.2K1。

根據(jù)式（1）、（2）、（3），利用Matlab進行仿真計算。本文采用工程上廣泛應(yīng)用的高精度單步算法四階龍格—庫塔法進行仿真[13]，流程圖如圖4所示。CNPEH的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。分別計算得到傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和CNPEH系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和輸出電壓。圖5（a）和（b）分別為傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的位移時域圖和系統(tǒng)響應(yīng)相圖。從圖5（a）中可以看出傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)沒有達到足夠大的能量越過勢阱。系統(tǒng)在線性升頻掃頻下最終只能被限制在一個穩(wěn)態(tài)位置運動。這點也可以從響應(yīng)相圖5（b）看出，只有在位移軸右半部有密集的響應(yīng)相圖的曲線。耦合雙梁系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)和響應(yīng)相圖見圖6。

CNPEH系統(tǒng)中懸臂梁1末端受到磁力且出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，懸臂梁2僅受到耦合彈簧的作用并非雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，故著重比較懸臂梁1同傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)的差別。在相同系統(tǒng)參數(shù)下，CNPEH的懸臂梁1在激勵幅值為0.3 g時可進行跨越勢阱的大幅度運動。系統(tǒng)在3 Hz時已經(jīng)進入工作頻率，且一直持續(xù)到10 Hz，其工作頻帶可以達到7 Hz，電壓最高可以達到10.7 V，如圖6（a）所示。懸臂梁1也在穩(wěn)態(tài)位置A、B之間做快速的大幅往復運動，如圖6（b）所示。由于懸臂梁1的大幅往復運動，其由耦合彈簧所連接的懸臂梁2也呈現(xiàn)出一個類似雙穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象。懸臂梁2的俘能特性將在第4節(jié)介紹。通過對比兩系統(tǒng)在同加速度激勵下的動態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)，可知，CNPEH在低激勵幅值下比傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)有更好的俘能特性。經(jīng)過仿真實驗，得知傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)需要在加速度激勵幅值為0.58 g的情況下才有足夠的能量來進行穩(wěn)定的跨勢阱運動。CNPEH能大幅降低系統(tǒng)進入跨阱運動所需的最低激勵幅值。

3.2 簡諧激勵下俘能特性

設(shè)置簡諧激勵幅值A(chǔ)=0.3 g，頻率f=8 Hz。在滿足最低激勵幅值的條件下，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在簡諧激勵下想要進行穩(wěn)定的大幅跨阱運動需要一定的初始條件。仿真實驗得知，在基礎(chǔ)位移0.02 m，速度為3 m/s的條件下，CNPEH中的懸臂梁1可以進行跨越勢阱的大幅運動，如圖7（a）所示。當系統(tǒng)趨向穩(wěn)定時其產(chǎn)生的電壓可以達到10 V左右，如圖7（b）所示。

在同樣的基礎(chǔ)條件下，原雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)無法進行跨越勢阱的大幅運動，如圖8所示。在初始條件下，仿真的開始階段雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)可以跨越勢阱運動。但隨著時間的推移、能量的耗散使得原雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的大幅跨阱運動變?yōu)殡p阱間的混沌運動，最終被限制在其中一個勢阱中做小幅運動，如圖8（a）。其穩(wěn)定后最終產(chǎn)生的電壓也僅僅只有2 V，如圖8（b）。實際上，無論如何改變基礎(chǔ)的位移、基礎(chǔ)的速度，系統(tǒng)穩(wěn)定后都不能進行跨越勢阱的大幅運動，因其沒有達到雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)進行跨阱運動所需最低激勵幅值。

4 耦合彈簧剛度對CNPEH的俘能特性影響

4.1 系統(tǒng)的平均功率表示

耦合彈簧剛度的改變會對整個CNPEH系統(tǒng)的俘能特性產(chǎn)生影響。為了表示不同彈簧剛度下的CNPEH系統(tǒng)的俘能特性差別，定義系統(tǒng)的平均輸出功率為[14]

Pave = 1n∑ni = 1U2i R（4）

其中，Pave為輸出功率，Ui為在取值點i的輸出電壓，n為取值點的個數(shù)，R為負載電阻。通過Pave來對比不同耦合彈簧剛度參數(shù)下系統(tǒng)的俘能特性。

4.2 不同耦合彈簧剛度的平均功率

Ks=0.01K1時，耦合彈簧等效剛度可忽略不計，懸臂梁1實際等效為傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，懸臂梁2為傳統(tǒng)線性壓電懸臂梁系統(tǒng)，其工作頻帶在固有頻率附近。此時兩梁的平均輸出功率為3 μW。當增大耦合彈簧的剛度至0.1K1，響應(yīng)已經(jīng)呈現(xiàn)出非線性的現(xiàn)象，如圖9所示，并且懸臂梁2通過耦合彈簧受到懸臂梁1的影響，在非工作頻帶電壓也有明顯上升。此時的平均功率為21.5 μW。

繼續(xù)增大耦合彈簧剛度，俘能效率進一步提升，Ka=0.12K1時達到峰值，此時的平均功率為25.8 μW。繼續(xù)增大Ks，懸臂梁2在耦合彈簧的影響下進一步呈現(xiàn)近似雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，但此時的懸臂梁1的俘能效率卻因為耦合彈簧的增大而有所降低。這種趨勢會持續(xù)到Ks=0.18K1。繼續(xù)增大剛度Ks，此時懸臂梁1系統(tǒng)俘能效率對耦合彈簧剛度的敏感度降低，俘能效率的下降趨勢減緩，但懸臂梁2對彈簧變化的敏感度增大，此時系統(tǒng)平均功率會隨著剛度增大而增大，在Ks=0.24K1時達到一個新的峰值，平均功率為21.6 μW。之后，系統(tǒng)俘能效率會隨著剛度增加而緩慢減小，圖10是平均功率隨耦合彈簧剛度變化的示意圖。在實際應(yīng)用過程中，不同的系統(tǒng)其最佳的耦合剛度可能不同，可以利用平均功率—剛度曲線找到最佳的耦合彈簧剛度使得系統(tǒng)處于最佳的俘能狀態(tài)。

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了一種耦合雙梁的非線性壓電俘能器，建立了機電耦合方程，分析了傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)與本文所設(shè)計的俘能器系統(tǒng)在相同激勵參數(shù)下的不同表現(xiàn)，及不同耦合剛度下雙梁耦合壓電俘能器系統(tǒng)的俘能效率。雙梁耦合系統(tǒng)的勢阱閾值同傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)相比降低50%。系統(tǒng)的俘能效率隨耦合彈簧剛度變化，在線性升頻激勵下存在最佳耦合彈簧剛度使俘能效率最高。

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Design and Simulation of Nonlinear Piezoelectric Energy Harvester with Coupled Double Beams

ZHANG Xiao，SHEN Hui，DING Xiao-liang，QU Peng-chao

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Qingdao University，Qingdao 266071，China）

Abstract：

Traditional bistable piezoelectric energy traps are difficult to move between high energy traps under low amplitude excitation.To solve that， a nonlinear piezoelectric energy trap with coupled double beams is designed. Mathematical modeling of the system was carried out using the centralized parameter method. The numerical simulation method is used to analyze and compare the motion state and energy harvesting performance of the traditional bistable energy harvester and the energy harvester designed under simple harmonic excitation and linear up-frequency excitation. The performance of the energy harvester designed is studied under different system parameters. The Tesults indicate that the maximum power cutput can be obtained by adjusting srtucture parameter of nonlinear energy harvesting.

Keywords：

nonlinear; piezoelectric energy harvester; bistable; magnetic force; spring