姜勇鋼

摘 要：習(xí)題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的常態(tài)教學(xué)過(guò)程中，是一種策略，更是一種智慧，教師要將“教”的智慧轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生“學(xué)”的智慧，就是教師教育藝術(shù)的關(guān)鍵所在.在常態(tài)化的教學(xué)過(guò)程中，我們教師首先要深入挖掘題目的本質(zhì)和內(nèi)涵，結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)與技能，幫助學(xué)生一層層揭秘，并借此舉一反三，由一題推一類，以此達(dá)成方法與技能上的提升.

關(guān)鍵詞：三次函數(shù);極值;方法;策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0013-02

筆者借助本文，通過(guò)一道三次函數(shù)為原型題目的分析、解答、求解、歸類等，將一題的多種方法一一呈現(xiàn)，并通過(guò)題目的分析引領(lǐng)學(xué)生去深入分析、感悟題目，學(xué)會(huì)在對(duì)比中感悟，在感悟中應(yīng)用，在應(yīng)用中提升，在長(zhǎng)期的教學(xué)引領(lǐng)下，實(shí)現(xiàn)減負(fù)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.

一、例題呈現(xiàn)

已知f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，x1<x2，且存在x0滿足x1+2x0=3x2，令函數(shù)g（x）=f（x）-f（x0），試判斷g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.

方法一 （直接代數(shù)運(yùn)算）求導(dǎo)得

f ′（x）=3x2+2ax+b，

所以x1，x2是方程

3x2+2ax+b=0

的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理得

a=-32（x1+x2），b=3x1x2，

又由題意得

x0=32x2-12x1，

所以g（x）=f（x）-f（x0）

=（x-x0）x2+x0x+x20+a（x+x0）+b

=（x-x0）[x2+（32x2-12x1）x+（32x2-12x1）2

-32（x1+x2）（x+32x2-12x1）+3x1x2]

=（x-x0）[x2-2x1x+（94x22-32x2x1+14x21）

-32（-12x21+32x22+x1x2）+3x1x2]

=（x-x0）（x2-2x1x+x21）

=（x-x0）（x-x1）2

顯然它有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x1和x0.

方法二 （平移代換）將f（x）的解析式作如下變形：

f（x）=x3+ax2+b=（x+a3）3+（a23+b）（x+a3）-4a327-ab3，

記t=x+a3，φ（t）=t3+At，其中A=a23+b，B=-4a327-ab3，則f（x）=φ（t）+B，

所以t1=x1+a3，t2=x2+a3是φ（t）的極值點(diǎn).①

由題意得x1+a3+2（x0+a3）=3（x2+a3），即對(duì)應(yīng)的t0，t1，t2也滿足t1+2t0=3t2.②

而g（x）=f（x）-f（x0）=φ（t）+B-φ（t0）+B=φ（t）-φ（t0）.③

所以原題等價(jià)于下列命題：

已知φ（t）=t3+At，若函數(shù)φ（t）有兩個(gè)極值點(diǎn)t1，t2，t1<t2，且存在t0滿足t1+2t0=3t2，令函數(shù)h（t）=φ（t）-φ（t0），試判斷h（t）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.

易知t1+t2=0，A=3t1t2=-3t21，

t0=32t2-12t1=-2t1，

所以h（t）=φ（t）-φ（t0）=（t-t0）（t2+t0t+t20+A）=（t-t0）（t2-2t1t+4t21-3t21）=（t-t0）（t-t1）2

顯然有兩個(gè)零點(diǎn)t0，t1.

二、方法總結(jié)

方法總結(jié)，并引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行全面的解讀和反思，這是全面提升這道題目的價(jià)值所在，也是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵所在，在這道題目上，我們可以做以下四個(gè)環(huán)節(jié)的總結(jié)與反思，分析與提煉、變式與拓展.

1. 判斷一個(gè)多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí)，如果能因式分解，當(dāng)然優(yōu)先考慮因式分解.

在本題中，顯然有一個(gè)零點(diǎn)是x0，所以必有一個(gè)因式x-x0. 而這道題選擇作為參數(shù)x1，x2，消去a，b，x0，而不是通常地利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化以a，b為參數(shù)，是因?yàn)閤0的表達(dá)式中x1，x2的地位并不對(duì)等，無(wú)法湊出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本題可以推廣至一般情況，得到下列結(jié)論：

設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，記A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.

圖1

（1）過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線交三次函數(shù)的圖像于另一點(diǎn)C，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為32x2-12x1;

過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸的直線交三次函數(shù)的圖像于另一點(diǎn)D，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為32x1-12x2;

即點(diǎn)A在線段DB上的投影將線段DB分成1∶2的兩部分，點(diǎn)B在線段AC上的投影將線段AC分成2∶1的兩部分.

（2）若取x3=32x2-12x1，x4=32x1-12x2，則f（x3）=f（x1），f（x4）=f（x2）.

（3）四邊形ACBD是平行四邊形，其對(duì)角線的交點(diǎn)就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心F，且D，A，F(xiàn)，B，C這五點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. 易得ACBD的面積為S=4（b2-3ac）227a3.

3.2016年天津高考?jí)狠S題第（2）問(wèn)即以命題為背景，求證A，F(xiàn)，C（D，F(xiàn)，B）橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.

現(xiàn)節(jié)選如下：

（文）設(shè)函數(shù)f（x）=x3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在極值點(diǎn)，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

求證：x1+2x0=0;

（理）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在極值點(diǎn)，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

4. 2013年廣東文數(shù)壓軸題第（2）問(wèn)亦與此有關(guān)，節(jié)選如下：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-kx2+x，當(dāng)k<0時(shí)，求f（x）在k，-k上的最小值m和最大值M.

容易分析得該三次函數(shù)在k，-k上的圖像包括了DABC，所以最小值在左端點(diǎn)取得，最大值在右端點(diǎn)取得.而將函數(shù)與端點(diǎn)函數(shù)值作差，代數(shù)變形后判斷符號(hào)即可說(shuō)明這一點(diǎn)：

f（x）-f（k）=（x3-kx2+x）-k=（x-k）（x2+1）≥0

以及f（x）-f（-k）=（x3-kx2+x）-（-2k3-k）=x3-kx2+2k3+x+k=x2（x+k）+2k（k2-x2）+（x+k）≤0.

易得m=f（k）=k，M=f（-k）=-2k3-k.

5. 平移代換是簡(jiǎn)化問(wèn)題的常用技巧，如上面的2016年天津高考題，經(jīng)過(guò)平移代換之后，兩個(gè)命題是完全等價(jià)的，但是文科的題從面上看確實(shí)比理科題簡(jiǎn)單，若我們能以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看函數(shù)圖像，不拘泥于表達(dá)式這件“外衣”，想必我們能更快地抓到問(wèn)題的本質(zhì).

授之以魚不如授之以漁，在常態(tài)的課堂教學(xué)過(guò)程中，我們要致力于教育教學(xué)質(zhì)量的訓(xùn)練和提升，這就要求我們站在學(xué)生的高度，幫助學(xué)生去剖析相應(yīng)問(wèn)題的本質(zhì)，舉一反三、一題多解、一題多變，在深入的研究中觸發(fā)學(xué)生的能力生長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]胡耀尹.三次函數(shù)的對(duì)稱性及極值的探究[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2019（02）：30.

[2]徐守軍.三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)在高考中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2008（02）：31-33.

[責(zé)任編輯：李 璟]