張艷敏，王 丹，劉明鼎

具有二階擾動和疫苗接種的隨機(jī)霍亂傳染病模型的平穩(wěn)分布

*張艷敏，王 丹，劉明鼎

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山東，青島 266106）

隨機(jī)霍亂傳染病模型；二階擾動；疫苗接種；平穩(wěn)分布；Lyapunov函數(shù)

0 引言

霍亂是一種由霍亂弧菌引起的急性腹瀉性傳染病[1]。感染者會出現(xiàn)水樣腹瀉、嘔吐和嚴(yán)重脫水，如果不及時治療，數(shù)小時內(nèi)就會死亡[1]。據(jù)統(tǒng)計，全世界每年有130萬至400萬人感染霍亂，另有2.1萬至14.3萬人因霍亂死亡[2]。疫苗作為控制傳染病的有效手段，已被廣泛應(yīng)用到研究霍亂傳染的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中[3-5]。近年來為了分析霍亂傳染的動力學(xué)性質(zhì)，并為有效預(yù)防和控制霍亂的傳播提供參考，學(xué)者們給出了眾多確定性霍亂數(shù)學(xué)模型[6-10]，并對模型的性質(zhì)進(jìn)行研究。在這些成果中，有學(xué)者研究了模型的穩(wěn)定性問題，有學(xué)者研究了模型的最優(yōu)控制問題，還有學(xué)者研究了具有疫苗接種下的霍亂控制問題，這些研究成果被廣泛應(yīng)用到實際問題解決當(dāng)中。尤其在2020年全球爆發(fā)新型冠狀病毒，對傳染病的有效控制研究吸引了學(xué)者們更廣泛的關(guān)注。因此通過數(shù)學(xué)模型研究霍亂傳染病的有效控制問題不僅具有理論意義，更具有現(xiàn)實意義。

在文獻(xiàn)[4]中，Xu等提出了如下具有疫苗接種的霍亂傳染病模型：

然而在現(xiàn)實中，任何傳染病模型都不可避免的受到環(huán)境噪聲的干擾，在模型中加入隨機(jī)干擾是必要的，且更符合實際情況。因此研究霍亂模型式（1）加入隨機(jī)干擾項更能解決實際問題。近些年，也有很多學(xué)者研究了隨機(jī)傳染病模型的動力學(xué)行為[11-14]。在這些隨機(jī)模型中，多數(shù)研究的是具有線性干擾項。其中ZHANG等[1]研究了系統(tǒng)式（1）的如下線性隨機(jī)霍亂傳染病模型：

引理1[1]對任意的初始條件

引理2[1]對任意的初始條件

然而在現(xiàn)實狀態(tài)中，隨機(jī)傳染病模型的動力學(xué)行為會受到各種復(fù)雜噪聲的干擾。受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，傳染病模型受到非線性干擾比線性干擾更符合實際情況。然而具有二階擾動的隨機(jī)傳染病模型的相關(guān)的研究成果相對較少，因此本文將研究如下二階擾動的隨機(jī)霍亂傳染病模型的平穩(wěn)分布：

正平衡態(tài)的穩(wěn)定性是生物數(shù)學(xué)模型動力學(xué)性質(zhì)的重要研究內(nèi)容。然而，大多數(shù)隨機(jī)模型沒有傳統(tǒng)的正平衡態(tài)。因此，隨機(jī)生物數(shù)學(xué)模型的平穩(wěn)分布（隨機(jī)正平衡態(tài)）一直受到廣泛關(guān)注。此外式（3）受到二階白噪聲的干擾，這也增加了分析的難度。本文將致力于證明模型（3）平穩(wěn)分布的存在性。

1 預(yù)備知識

引理3 對任意的初始條件

引理3的證明方法是標(biāo)準(zhǔn)的，與文獻(xiàn)[15]引理1的證明方法與過程幾乎是一致的。這里省去證明過程。

引理4

為了清晰證明過程，給出如下記號：

2 平穩(wěn)分布

定義1[1]對于維隨機(jī)微分方程

定理1對任意的初始條件

取

則可以得到

其中

定義有界閉集：

3 數(shù)值模擬

將通過數(shù)值模擬驗證本文的理論結(jié)果。所使用的數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[4,17-18]，具體數(shù)值見表1。

表1 模型3的系數(shù)值

Table 1 Parameter values for the model（3）

系數(shù)數(shù)值來源文獻(xiàn) 0.1/day[4] 0.01/day[4] 0.8/day[17] Kcells/ml[17]assumed 0.005/day[4] 2.2493×10-5day[18] 10%[4] 0.004/day[17] 0.015/day[17] 100 cells/ml-per day[18] 0.012/day[18]

依據(jù)Milstein[19]給出的方法，以及文獻(xiàn)[20]，構(gòu)造式（3）的離散方程如下：

圖1 分布圖

Fig.1 Density of

圖2 分布圖

圖3 分布圖

圖4 分布圖

圖5 分布圖

4 結(jié)論

[1] Zhang X H, Hao P. Stationary distribution of a stochastic cholera epidemic model with vaccination under regime switching[J]. Applied Mathematics Letters,2020(102):1-7.

[2] Codeco C T. Endemic and epidemic dynamics of cholera : the role of the aquatic reservoir[J]. BMC Infect. Dis., 2001(1):1-14.

[3] Tien J H, Earn D J D. Multiple transmission pathways and disease dynamics in a waterborne pathogen model[J].Bull. Math. Biol. ,2010 (72) :1506-1533.

[4] Tian X, Xu R, Lin J. Mathematical analysis of a cholera infection model with vaccination strategy[J].Appl. Math. Comput.,2019 (361) :517-535.

[5] Liu M, Deng M L. Analysis of a stochastic hybrid Population model with Allee effect[J].Applied Mathematics and Computation,2020,364:124582.

[6] 佘高烊.一類霍亂模型行波解的存在性[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué),2019.

[7] 楊煒明,廖書.含有預(yù)防接種的霍亂時滯模型的穩(wěn)定性和hopf分支分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2018,41(6):735-749.

[8] 吳青青. 一類非均質(zhì)空間中的霍亂擴(kuò)散模型的動力學(xué)行為[D].揚州: 揚州大學(xué),2018.

[9] 杜爭光.具有Holling Ⅳ型功能反應(yīng)的分?jǐn)?shù)階捕食者-食餌模型的動力學(xué)分析[J].井岡山大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2019,40(3):9-13,23.

[10] 廖書,楊煒明.含有預(yù)防接種的霍亂最優(yōu)控制模型分析[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2016,36(12):2257-2271.

[11] 王來全,夏米西努爾·阿布都熱合曼.一類具有季節(jié)變化和周期解的隨機(jī)SIR傳染病模型[J].北華大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版,2020,21(5):568-572.

[12] 文乾英,焦建軍.在隨機(jī)環(huán)境中的非自治SI傳染病模型的動力學(xué)分析[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2020, 50(11): 255- 259.

[13] 辛明振. 兩類隨機(jī)傳染病模型的動力學(xué)行為研究[D].蘭州: 蘭州大學(xué),2020.

[14] Liu Q, Jiang D Q. Stationary distribution and extinction of a stochastic SIR model with nonlinear perturbation[J]. Applied Mathematics Letters,2017(73):8-15.

[15] Has’minskii R. Stochastic stability of differential equations[M]. Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, 1980.

[16] Mao X . Stochastic differential equations and applications, seconded[M]. Chichester UK: Horwood, 2008.

[17] Hartley D M, Jr J G M, Smith D L. Hyperinfectivity : A Critical Element in the Ability of V. cholerae to Cause Epidemics ? [J]. PLoS Medicine, 2006, 3(1):e7.

[18] Modnak C. A model of cholera transmission with Hyper - infectivity and its optimal vaccination control [J]. International Journal of Biomathematics, 2017,10(6):201 - 216.

[19] Higham, Desmond J. An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations[J]. Siam Review, 2001, 43(3):525-546.

[20] Han B T, Jiang D Q, Hayat T, et al. Stationary distribution and extinction of a stochastic staged progression AIDS model with staged treatment and second-order perturbation[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2020: 140.

STATIONARY DISTRIBUTION OF A STOCHASTIC CHOLERA EPIDEMIC MODEL WITH SECOND-ORDER PERTURBATION AND VACCINATION

*ZHANG Yan-min, WANG Dan, LIU Ming-ding

（Qingdao University of Technology Qingdao College, Department of Basic Education, Qingdao, Shandong 266106, China）

stochastic cholera epidemic model; second-order perturbation; vaccination; stationary distribution; Lyapunov function

O211.63

A

10.3669/j.issn.1674-8085.2021.03.001

1674-8085（2021）03-0001-07

2021-01-24；

2021-03-10

山東省高等教育研究項目(19GDJ019); 青島理工大學(xué)琴島學(xué)院重點研究項目(2020001A)

*張艷敏(1981-)，女，山東東營人，副教授，碩士，主要從事微分方程理論研究(E-mail:zhym0628@163.com);

王 丹(1982-)，女，山東青島人，副教授，碩士，主要從事微分方程理論研究(E-mail:253065193@qq.com);

劉明鼎(1982-)，男，遼寧大連人，教授，主要從事生物數(shù)學(xué)模型研究(E-mail:lmd0313@163.com).