張艷敏，王 丹，劉明鼎

具有二階擾動(dòng)和疫苗接種的隨機(jī)霍亂傳染病模型的平穩(wěn)分布

*張艷敏，王 丹，劉明鼎

（青島理工大學(xué)琴島學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山東，青島 266106）

隨機(jī)霍亂傳染病模型；二階擾動(dòng)；疫苗接種；平穩(wěn)分布；Lyapunov函數(shù)

0 引言

霍亂是一種由霍亂弧菌引起的急性腹瀉性傳染病[1]。感染者會出現(xiàn)水樣腹瀉、嘔吐和嚴(yán)重脫水，如果不及時(shí)治療，數(shù)小時(shí)內(nèi)就會死亡[1]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，全世界每年有130萬至400萬人感染霍亂，另有2.1萬至14.3萬人因霍亂死亡[2]。疫苗作為控制傳染病的有效手段，已被廣泛應(yīng)用到研究霍亂傳染的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中[3-5]。近年來為了分析霍亂傳染的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，并為有效預(yù)防和控制霍亂的傳播提供參考，學(xué)者們給出了眾多確定性霍亂數(shù)學(xué)模型[6-10]，并對模型的性質(zhì)進(jìn)行研究。在這些成果中，有學(xué)者研究了模型的穩(wěn)定性問題，有學(xué)者研究了模型的最優(yōu)控制問題，還有學(xué)者研究了具有疫苗接種下的霍亂控制問題，這些研究成果被廣泛應(yīng)用到實(shí)際問題解決當(dāng)中。尤其在2020年全球爆發(fā)新型冠狀病毒，對傳染病的有效控制研究吸引了學(xué)者們更廣泛的關(guān)注。因此通過數(shù)學(xué)模型研究霍亂傳染病的有效控制問題不僅具有理論意義，更具有現(xiàn)實(shí)意義。

在文獻(xiàn)[4]中，Xu等提出了如下具有疫苗接種的霍亂傳染病模型：

然而在現(xiàn)實(shí)中，任何傳染病模型都不可避免的受到環(huán)境噪聲的干擾，在模型中加入隨機(jī)干擾是必要的，且更符合實(shí)際情況。因此研究霍亂模型式（1）加入隨機(jī)干擾項(xiàng)更能解決實(shí)際問題。近些年，也有很多學(xué)者研究了隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為[11-14]。在這些隨機(jī)模型中，多數(shù)研究的是具有線性干擾項(xiàng)。其中ZHANG等[1]研究了系統(tǒng)式（1）的如下線性隨機(jī)霍亂傳染病模型：

引理1[1]對任意的初始條件

引理2[1]對任意的初始條件

然而在現(xiàn)實(shí)狀態(tài)中，隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為會受到各種復(fù)雜噪聲的干擾。受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā)，傳染病模型受到非線性干擾比線性干擾更符合實(shí)際情況。然而具有二階擾動(dòng)的隨機(jī)傳染病模型的相關(guān)的研究成果相對較少，因此本文將研究如下二階擾動(dòng)的隨機(jī)霍亂傳染病模型的平穩(wěn)分布：

正平衡態(tài)的穩(wěn)定性是生物數(shù)學(xué)模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要研究內(nèi)容。然而，大多數(shù)隨機(jī)模型沒有傳統(tǒng)的正平衡態(tài)。因此，隨機(jī)生物數(shù)學(xué)模型的平穩(wěn)分布（隨機(jī)正平衡態(tài)）一直受到廣泛關(guān)注。此外式（3）受到二階白噪聲的干擾，這也增加了分析的難度。本文將致力于證明模型（3）平穩(wěn)分布的存在性。

1 預(yù)備知識

引理3 對任意的初始條件

引理3的證明方法是標(biāo)準(zhǔn)的，與文獻(xiàn)[15]引理1的證明方法與過程幾乎是一致的。這里省去證明過程。

引理4

為了清晰證明過程，給出如下記號：

2 平穩(wěn)分布

定義1[1]對于維隨機(jī)微分方程

定理1對任意的初始條件

取

則可以得到

其中

定義有界閉集：

3 數(shù)值模擬

將通過數(shù)值模擬驗(yàn)證本文的理論結(jié)果。所使用的數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[4,17-18]，具體數(shù)值見表1。

表1 模型3的系數(shù)值

Table 1 Parameter values for the model（3）

系數(shù)數(shù)值來源文獻(xiàn) 0.1/day[4] 0.01/day[4] 0.8/day[17] Kcells/ml[17]assumed 0.005/day[4] 2.2493×10-5day[18] 10%[4] 0.004/day[17] 0.015/day[17] 100 cells/ml-per day[18] 0.012/day[18]

依據(jù)Milstein[19]給出的方法，以及文獻(xiàn)[20]，構(gòu)造式（3）的離散方程如下：

圖1 分布圖

Fig.1 Density of

圖2 分布圖

圖3 分布圖

圖4 分布圖

圖5 分布圖

4 結(jié)論

[1] Zhang X H, Hao P. Stationary distribution of a stochastic cholera epidemic model with vaccination under regime switching[J]. Applied Mathematics Letters,2020(102):1-7.

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STATIONARY DISTRIBUTION OF A STOCHASTIC CHOLERA EPIDEMIC MODEL WITH SECOND-ORDER PERTURBATION AND VACCINATION

*ZHANG Yan-min, WANG Dan, LIU Ming-ding

（Qingdao University of Technology Qingdao College, Department of Basic Education, Qingdao, Shandong 266106, China）

stochastic cholera epidemic model; second-order perturbation; vaccination; stationary distribution; Lyapunov function

O211.63

A

10.3669/j.issn.1674-8085.2021.03.001

1674-8085（2021）03-0001-07

2021-01-24；

2021-03-10

山東省高等教育研究項(xiàng)目(19GDJ019); 青島理工大學(xué)琴島學(xué)院重點(diǎn)研究項(xiàng)目(2020001A)

*張艷敏(1981-)，女，山東東營人，副教授，碩士，主要從事微分方程理論研究(E-mail:zhym0628@163.com);

王 丹(1982-)，女，山東青島人，副教授，碩士，主要從事微分方程理論研究(E-mail:253065193@qq.com);

劉明鼎(1982-)，男，遼寧大連人，教授，主要從事生物數(shù)學(xué)模型研究(E-mail:lmd0313@163.com).