柳家琪 王 一 李小龍 帥彧諼 蔣鴻濤 汪中厚 楊勇明 吳世青

（上海理工大學(xué) 上海 200093）

齒輪傳動(dòng)作為機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣的一種傳動(dòng)方式，具有瞬時(shí)傳動(dòng)比恒定、傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)壽命長(zhǎng)等優(yōu)勢(shì)。螺旋錐齒輪更因其重疊系數(shù)大、傳動(dòng)比高、傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小[1]等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于汽車、航空、礦山等機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域。螺旋錐齒輪是這些領(lǐng)域減速器的關(guān)鍵部件，它的性能、質(zhì)量以及使用時(shí)間將直接影響產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。計(jì)算機(jī)信息技術(shù)的提高，給螺旋錐齒輪的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)以及制造加工方面帶來(lái)了極大便利。目前，在螺旋錐齒輪仿真加工及有限元分析領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外許多研究學(xué)者取得了較大進(jìn)展。Litvin教授[2]借助于有限元法研究了載荷分配情況、實(shí)際齒輪接觸比及應(yīng)力分析。Gosselin教授[3]給出了計(jì)算螺旋錐齒輪齒面上的載荷分配計(jì)算公式，并對(duì)承載傳動(dòng)誤差的計(jì)算公式也作了詳細(xì)研究。劉光磊[4]等人根據(jù)加工過(guò)程利用MATLAB編程計(jì)算出包括過(guò)渡曲面的齒面點(diǎn)集再導(dǎo)入到ANSYS中進(jìn)行建模。熊越東[5]等人通過(guò)C++程序的編制和 CAD系統(tǒng)的三維建模功能實(shí)現(xiàn)了螺旋錐齒輪數(shù)控銑床的加工仿真。

可知，螺旋錐齒輪的仿真加工及有限元技術(shù)發(fā)展迅速，設(shè)計(jì)精度不斷提高且設(shè)計(jì)分析方法逐漸多元化[6]。在螺旋錐齒輪的有限元分析中，模型精度對(duì)最終的分析結(jié)果有著至關(guān)重要的影響。本文介紹了一種在Pro/E中建立高精度螺旋錐齒輪模型并進(jìn)行齒面接觸分析的方法。

1 設(shè)計(jì)參數(shù)計(jì)算

螺旋錐齒輪的齒坯主要由面錐、根錐以及齒坯芯部等部分組成。螺旋錐齒輪齒坯為旋轉(zhuǎn)體，因此齒坯圖形的繪制問(wèn)題就歸結(jié)為齒坯二維截面的確定問(wèn)題，對(duì)于螺旋錐齒輪齒坯的二維截面圖，如果要確定其形狀，只需要確定其截面上的節(jié)錐角δ、面錐角δa、根錐角δf等參數(shù)[7]，如圖1所示。

圖1 錐齒輪齒坯截面示意圖

節(jié)錐角指的是齒輪節(jié)錐母線與齒輪軸線之間的夾角，一對(duì)相互嚙合的螺旋錐齒輪大輪和小輪的節(jié)錐角之和與其軸交角相等，計(jì)算公式為：

其中：z1為小輪齒數(shù)；z2為大輪齒數(shù)；Σ為軸交角；δ1為小輪節(jié)錐角；δ2為大輪節(jié)錐角。

節(jié)錐角減去齒根角即為螺旋錐齒輪根錐角，計(jì)算公式為：

其中θf(wàn)1和δf2分別為小輪和大輪的齒根角。

面錐角為節(jié)錐角與齒頂角之和，其精度對(duì)頂隙有較大影響，計(jì)算公式如下：

其中：θα1和θα2分別為小輪和大輪齒頂角。

根據(jù)以上公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到大小輪的相關(guān)齒坯參數(shù)，如表1所示。

表1 大小輪齒坯的幾何參數(shù)

2 齒坯及刀具模型建立

根據(jù)上文的齒坯幾何參數(shù)，建立大小輪的齒坯模型，如圖2所示。

圖2 螺旋錐齒輪齒坯模型

刀具同齒坯一樣，都是旋轉(zhuǎn)體，其建模思路與齒坯相同。螺旋錐齒輪大輪與小輪加工采用不同的刀具，大輪采用的是雙面刀盤(pán)加工，一次成形；小輪采用單面刀盤(pán)加工，其中小輪凹面用外刀加工，凸面用內(nèi)刀加工。雙面刀盤(pán)的截面，如圖3 所示。

圖3 雙面刀盤(pán)截面圖

雙面刀盤(pán)內(nèi)外刀尖半徑 rG1、rG2計(jì)算公式為[8]：

其中：圖3中α1、α2分別為內(nèi)外刀的壓力角，內(nèi)刀加工大輪凸面，外刀加工大輪凹面；rG1、rG2分別為內(nèi)、外刀刀尖半徑；DG為刀盤(pán)名義直徑；PW為刀頂距。CATIA刀盤(pán)模型如圖4所示，相關(guān)參數(shù)如表2所示。

圖4 CATIA刀盤(pán)模型

表2 雙面刀盤(pán)相關(guān)參數(shù)

3 切齒仿真加工

布爾運(yùn)算是通過(guò)布爾算子將兩個(gè)物體結(jié)合成新物體的過(guò)程，本文采用的是三維布爾運(yùn)算。其中拓?fù)湫畔⒅貥?gòu)技術(shù)是三維布爾運(yùn)算中并、交、差運(yùn)算的基本原理，這也是布爾運(yùn)算的重難點(diǎn)[9]。本文主要用到的是布爾差運(yùn)算，布爾差是指從被減物體中去除兩物體相交部分后所得到新物體的運(yùn)算方法。

確定好螺旋錐齒輪坯料模型和刀盤(pán)的三維模型后，再確定齒輪坯料與刀盤(pán)之間的相對(duì)位置關(guān)系。當(dāng)齒輪坯料和刀盤(pán)處于精確的加工位置時(shí)，進(jìn)行切齒仿真加工并從齒輪坯料中去除多余材料，即可完成布爾差運(yùn)算。大輪和小輪均通過(guò)布爾差運(yùn)算在坯料上去除對(duì)應(yīng)材料而得到齒槽。這個(gè)過(guò)程就是對(duì)齒輪加工過(guò)程的模擬。

根據(jù)相關(guān)計(jì)算公式可以得到機(jī)床加工大輪時(shí)輪坯與刀盤(pán)的具體調(diào)整參數(shù)，如表3所示。在CATIA中調(diào)整大輪輪坯和刀盤(pán)的相對(duì)位置，最終調(diào)整至機(jī)床加工的初始位置。

表3 大輪切齒加工調(diào)整參數(shù)

成形法加工大輪時(shí)需要調(diào)整的機(jī)床參數(shù)依次是輪坯安裝角、水平刀位、垂直刀位和軸向輪位。

輪坯安裝角的位置調(diào)整如圖5所示，圖中下側(cè)灰色實(shí)體部分是輪坯調(diào)整前的位置，橘色線框是輪坯調(diào)整后的位置，保持刀盤(pán)位置不變，將原來(lái)的輪坯繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20.4°。

圖5 輪坯安裝角調(diào)整過(guò)程

保持刀盤(pán)位置不變，將輪坯沿圖5中 X軸平移87.94 mm，即完成水平輪位的調(diào)整，結(jié)果如圖6所示。

圖6 水平輪位調(diào)整過(guò)程

保持刀盤(pán)位置不變，將輪坯沿圖 5中 Z軸平移76.59 mm，即完成垂直輪位的調(diào)整，結(jié)果如圖7所示。

圖7 垂直輪位調(diào)整過(guò)程

保持刀盤(pán)位置不變，將輪坯沿圖5中Y軸平移3.36 mm，即完成軸向輪位的調(diào)整，結(jié)果如圖 8所示。

圖8 軸向輪位調(diào)整過(guò)程

經(jīng)過(guò)上述四個(gè)位置變換，得到如圖9所示的大輪輪坯與刀盤(pán)的初始加工位置。

圖9 大輪初始加工位置

在 CATIA中仿真加工出的齒輪由多步布爾運(yùn)算產(chǎn)生的刀痕線構(gòu)成，在接觸分析時(shí)不能被軟件識(shí)別成為一個(gè)面[10]，因此需要對(duì)齒面進(jìn)行重構(gòu)。本文利用Pro/E軟件進(jìn)行齒面重構(gòu)，具體的步驟如下：

（1）以大輪為例，在CATIA中提取刀痕線，如圖10（a）所示。

（2）利用這些樣條曲線在 Pro/E中重新建立齒槽曲面，如圖10（b）所示。

（3）在 Pro/E中用建立好的齒槽曲面切制大輪齒坯模型，如圖10（c）所示。

（4）將曲面陣列后切制齒坯模型，得到整個(gè)大輪模型，如圖10（d）所示。

圖10 大輪模型建立過(guò)程

經(jīng)過(guò)以上步驟就可以把在 CATIA里加工時(shí)得到齒輪模型在Pro/E中完成重構(gòu)，小輪的重構(gòu)過(guò)程與大輪相似，不再贅述。

將重構(gòu)后的大小輪裝配在一起，通過(guò)旋轉(zhuǎn)裝配的角度，使得裝配以后的大輪和小輪之間沒(méi)有干涉，完成前處理中的模型準(zhǔn)備。

4 齒面精度測(cè)量

由上節(jié)的切削仿真可以得到 CATIA切制的大輪及小輪模型，利用Pro/E軟件可以得到重構(gòu)齒面，將理論坐標(biāo)點(diǎn)與重構(gòu)齒面進(jìn)行貼合，通過(guò)軟件的測(cè)量功能可測(cè)得理論坐標(biāo)點(diǎn)與重構(gòu)齒面的距離，以此判定切削齒面的誤差，示意圖如圖11所示。

圖11 齒面與理論坐標(biāo)點(diǎn)的匹配

將重構(gòu)齒面與理論坐標(biāo)點(diǎn)齒面的差值輸入繪圖軟件[11]，結(jié)果如圖 12所示。可以發(fā)現(xiàn)，切削齒面誤差在-6 μm至5 μm之間。圖中，x表示齒長(zhǎng)方向，刻度增大方向?yàn)榇蠖酥列《耍粂表示齒寬方向，刻度增大方向?yàn)辇X頂至齒根；z表示誤差距離。

圖12 模型齒面與理論齒面誤差（凸面）

同理可以測(cè)得大輪與小輪的凹面與凸面的切削齒面與理論坐標(biāo)點(diǎn)的差值，結(jié)果如表4所示。

表4 大小輪齒面誤差測(cè)量

通過(guò)Pro/E和CATIA的測(cè)量工具可以發(fā)現(xiàn)切齒加工所得的大輪模型的凹面最大誤差為 10.4 μm，小輪凸面的最大誤差為9.5 μm。通過(guò)構(gòu)建的三維模型齒面與理論齒面的測(cè)量對(duì)比，可知構(gòu)建的三維模型精度很高，驗(yàn)證了切齒仿真加工方法的可靠性。

5 Pro/E齒面接觸分析

本文采用Pro/Engineer中的Mechanica模塊對(duì)螺旋錐齒輪進(jìn)行齒面加載分析來(lái)研究接觸斑點(diǎn)[12]，該模塊功能全面，操作方便，精度也很高。接觸分析的流程如圖13所示。

圖13 接觸分析基本流程

5.1 材料屬性設(shè)置

結(jié)構(gòu)的性能與材料的屬性有著很大的關(guān)系，模型的材料屬性決定了有限元計(jì)算過(guò)程中的剛度矩陣，并且影響最終的應(yīng)力及應(yīng)變結(jié)果。彈性模量、泊松比以及密度是材料屬性的三個(gè)基本參數(shù)。其中彈性模量也稱為楊氏模量，用來(lái)表征物體彈性形變的難易程度，定義為應(yīng)力與應(yīng)變的比值。泊松比是橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值，用來(lái)反映材料橫向變形的彈性常數(shù)。本文選用低碳鋼材料，彈性模量為0.209×106MPa，泊松比為 0.3，材料密度為 7.86×103kg/m3。

5.2 邊界及載荷條件與接觸設(shè)置

在模型的前處理中應(yīng)最大程度模擬實(shí)際工況下的約束和載荷，從而準(zhǔn)確分析三維模型在真實(shí)工作環(huán)境下的工作狀況。圖14為齒輪裝配模型的邊界及載荷條件與接觸設(shè)置，大輪的約束設(shè)置在軸孔面內(nèi)以約束其所有自由度，在小輪中建立圓柱坐標(biāo)系，放開(kāi)其沿軸線方向的旋轉(zhuǎn)自由度，其余的自由度全部約束。在此將載荷直接定義在小齒輪軸孔處，對(duì)內(nèi)孔面施加扭矩T=1000 Nm，并在大輪和小輪可能嚙合的3對(duì)齒面之間設(shè)置接觸。

圖14 齒輪邊界及載荷與接觸條件設(shè)置

5.3 網(wǎng)格劃分設(shè)置

Pro/Mechanica模塊中有手動(dòng)和自動(dòng)兩種網(wǎng)格劃分方式。手動(dòng)劃分適合高精度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可以劃分出計(jì)算精度比四面體單元更高的六面體單元[13]；自動(dòng)劃分則適合較為簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，劃分的網(wǎng)格類型基本為四面體單元。為了得到螺旋錐齒輪每個(gè)嚙合瞬間清晰的齒面接觸區(qū)域，本文對(duì)接觸齒面和可能接觸的齒面進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，網(wǎng)格密度設(shè)置為0.5mm，其它網(wǎng)格選擇自動(dòng)劃分，如圖15所示。

圖15 模型網(wǎng)格劃分

5.4 螺旋錐齒輪齒面接觸區(qū)仿真

螺旋錐齒輪副輪齒之間的嚙合過(guò)程理論上大致可以描述為“進(jìn)入嚙合→點(diǎn)接觸→線接觸→點(diǎn)接觸→脫離嚙合”，這是理論情況，實(shí)際上由于物體間的相互擠壓會(huì)產(chǎn)生彈性形變，根據(jù)赫茲接觸理論，曲面間的相互擠壓會(huì)產(chǎn)生一條狹長(zhǎng)的接觸區(qū)域[14]，齒面接觸區(qū)就是由一系列瞬時(shí)接觸區(qū)域組成，如圖16所示。

圖16 大輪凸面瞬時(shí)接觸橢圓

齒輪副實(shí)際是連續(xù)傳動(dòng)的，所以接觸區(qū)實(shí)際也是一個(gè)完整區(qū)域，其在某一瞬時(shí)是一條細(xì)長(zhǎng)橢圓狀接觸區(qū)，如果盡可能多地取出一些間隔內(nèi)的瞬時(shí)接觸區(qū)域，并將這些區(qū)域放置到一個(gè)齒面內(nèi)，就可以近似的模擬出齒輪副轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中在齒面上的實(shí)際接觸區(qū)位置，如圖17所示。

圖17 大輪齒面完整接觸區(qū)域近似圖

6 結(jié)語(yǔ)

為了實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪的虛擬切齒加工及有限元分析，本文做了以下研究：

（1）通過(guò)計(jì)算得到螺旋錐齒輪的相關(guān)齒坯，刀盤(pán)及切齒調(diào)整的參數(shù)；

（2）通過(guò)CATIA實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪的切齒加工過(guò)程仿真；

（3）通過(guò)Pro/E的曲面處理功能實(shí)現(xiàn)切齒加工后模型的重構(gòu)；

（4）以大輪為例，使用Pro/Mechanica模塊對(duì)重構(gòu)后的螺旋錐齒輪進(jìn)行齒面接觸分析，并給出相關(guān)分析結(jié)果。