張 琪，繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

主要研究包含(p,q)-Kirchhoff型方程組

(1)

(M)存在2個(gè)正常數(shù)m0,m1，對(duì)于所有的t≥0有m0≤Mi(t)≤m1.

函數(shù)F,G:Ω×2→滿足F(x,s,t),G(x,s,t)對(duì)所有(s,t)∈2在點(diǎn)x都可測(cè)且對(duì)于幾乎處處x∈Ω有(s,t)為C1.Fu,Fv分別是F對(duì)u,v的偏導(dǎo)數(shù)，Gu,Gv分別是G對(duì)u,v的偏導(dǎo)數(shù).假設(shè)F(x,s,t),G(x,s,t)滿足如下條件：

問(wèn)題(1)與Kirchhoff[1]研究的彈性弦方程

(2)

有關(guān)，這個(gè)方程考慮了彈性弦在振動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)度變化影響，推廣了D’Alembert的彈性管柱自由振動(dòng)方程.隨著研究的深入，問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為

(3)

在文獻(xiàn)[2-8]中，問(wèn)題(3)已經(jīng)得到了很多研究.

Hssini等[9]基于Bonanno臨界點(diǎn)定理[10]研究了一類帶Navier邊值條件的(p,q)雙調(diào)和方程問(wèn)題，后來(lái)Allaoui等[11]把文獻(xiàn)[9]推廣到變指數(shù)雙調(diào)和算子方程組.隨著臨界點(diǎn)理論在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，許多學(xué)者在4階邊值問(wèn)題方面進(jìn)行了深入的研究，文獻(xiàn)[12-15]研究了4階邊值問(wèn)題解的存在性和多解性.其中，在文獻(xiàn)[12]中，Hssini等基于Ricceri變分原理[16]研究了4階Kirchhoff型問(wèn)題

(4)

解的存在性和多值性.隨后，肖虹兆等[17]對(duì)問(wèn)題(4)做了推廣，利用Ricceri多解定理研究了(p1,p2,…,pn)-Kirchhoff型問(wèn)題的多解性.

近年來(lái)Ricceri 3臨界點(diǎn)定理[18]越來(lái)越廣泛的被用于解決4階邊值問(wèn)題，例如，Li等[19]研究了(p,q)雙調(diào)和算子方程問(wèn)題

(5)

在文獻(xiàn)[20-21]中，Ricceri三臨界點(diǎn)定理也用于解決 (p,q)-Kirchhoff型問(wèn)題

(6)

但目前為止根據(jù)Ricceri 3臨界點(diǎn)定理研究帶Navier邊值條件的(p,q)-Kirchhoff型的雙調(diào)和問(wèn)題的結(jié)論甚少，因此，受以上研究的啟發(fā)，本文根據(jù)Ricceri 3臨界點(diǎn)定理，證明了(p,q)-Kirchhoff型方程組(1)至少有3個(gè)解存在.

1 預(yù)備知識(shí)

記

(7)

我們稱(u,v)∈X是問(wèn)題(1)的弱解如果對(duì)任意(ξ,η)∈X有

(8)

定義泛函H:X→為

(9)

(10)

通過(guò)假設(shè)(M),(F),(G)可得H∈C1(X,)，同時(shí)，求問(wèn)題(1)的弱解就轉(zhuǎn)化為求泛函H的臨界點(diǎn)問(wèn)題.

設(shè)x0∈Ω，選擇R2>R1>0使得B(x0,R2)?Ω，其中，B(x0,R2)={x∈N||x-x0|

(11)

定義

(12)

(13)

引理1.1[21]假設(shè)(M),(F),(G)成立.設(shè)?(u,v)∈X有

那么，Φ:X→是連續(xù)Gateaux可導(dǎo)且序列弱下半連續(xù)，在X的每個(gè)有界子集上有界，其Gateaux導(dǎo)數(shù)在X*上有連續(xù)逆.Ψ,J:X→是連續(xù)Gateaux可導(dǎo)，其Gateaux導(dǎo)數(shù)是緊的.

對(duì)(u,v),(ξ,η)∈X，有

定理1.2[18]設(shè)X是一個(gè)自反的實(shí)Banach空間.Φ,Ψ:X→是連續(xù)Gateaux可導(dǎo)泛函.其中，Φ是序列弱下半連續(xù)且在X的每個(gè)有界子集上有界，其Gateaux導(dǎo)數(shù)在X*上有連續(xù)逆，Ψ的Gateaux導(dǎo)數(shù)是緊的，I?是一個(gè)區(qū)間.假設(shè)對(duì)λ∈I，有

(14)

并且存在h，使得

(15)

成立.那么存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間Λ?I和一個(gè)正實(shí)數(shù)ρ，對(duì)每個(gè)λ∈Λ和每個(gè)C1且有緊導(dǎo)數(shù)的泛函J:X→，存在δ>0使得對(duì)每個(gè)μ∈[0,δ]，方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

在X上至少有3個(gè)解且其范數(shù)小于ρ.

命題1.3[21]設(shè)X是一個(gè)非空集合，Φ,Ψ是X上的2個(gè)實(shí)函數(shù).假設(shè)存在r>0，u0,u1∈X使得

(16)

(17)

2 主要結(jié)果及證明

(h1)對(duì)幾乎處處x∈ΩB(x0,R1)和所有(s,t)∈[0,d]×[0,d]有F(x,s,t)≥0；

(h3)對(duì)幾乎處處x∈Ω和所有(s,t)∈2有F(x,s,t)≤α(x)(1+|s|γ+|t|β)；

(h4)對(duì)幾乎處處x∈Ω有F(x,0,0)=0.

那么，存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間Λ∈[0,+∞)和一個(gè)正實(shí)數(shù)ρ有如下性質(zhì)，對(duì)?λ∈Λ,?δ>0, 使得，對(duì)?μ∈[0,δ]，問(wèn)題(1)至少有3個(gè)解，且其范數(shù)小于ρ.

引理2.2假設(shè)(M),(h1),(h2)成立.那么?(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r，

(18)

證明設(shè)

(19)

(20)

由(M),(13)可知

(21)

同理，

(22)

顯然，0≤u*≤d，0≤v*≤d，根據(jù)條件(h1),(h2),(22)

(23)

定理2.1的證明由(M),(h3),(21),對(duì)?(u,v)∈X有

其中，C1,C2是常數(shù)且C1,C2>0.由于γ

(24)

由引理2.2知，?(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r>0=Φ(0,0)，

設(shè)(u,v)∈X使得Φ(u,v)≤r，從(7)可得

(25)

那么，

(26)

從而，

(27)

因此，從(18)和(27)有

(28)

(29)

由命題1.3對(duì)每一個(gè)滿足條件

(30)

的h，存在r>0，(u0,v0)=(0,0)，(u1,v1)=(u*,v*)使得Φ(0,0)=0，Ψ(0,0)=0，并且從(21)和(29)可得

(31)

因此，I=[0,+∞).由(24)和(31)知定理2.1的所有條件都滿足，定理2.1即得證.故問(wèn)題(1)至少有3個(gè)解存在.