亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        具有S-擬正規(guī)子群的有限群

        2021-09-11 02:46:52燕,
        關(guān)鍵詞:素?cái)?shù)子群同構(gòu)

        鄧 燕, 孟 偉

        (1.云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650550;2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

        設(shè)G是有限群,稱G的子群K和H是可置換的,如果KH=HK,即KH為G的子群.顯然,對于G的正規(guī)子群N,N與G的所有子群可置換, 但反之不一定成立. Ore[1]引入了擬正規(guī)子群的概念: 稱子群H為G的擬正規(guī)子群, 如果H與G的所有子群可置換. 作為擬正規(guī)子群的推廣, Kegel[2]定義了S-擬正規(guī)子群.

        定義1[2]設(shè)G是有限群,H為G的子群.稱H是G的S-擬正規(guī)子群,如果子群H與G的所有Sylow子群可置換,即對任意的P∈Syl(G), 有HP=PH.

        素?cái)?shù)冪階子群的S-擬正規(guī)性對有限群結(jié)構(gòu)有著重要的影響(見文獻(xiàn)[3-10]). G的素?cái)?shù)階子群稱為G的極小子群.2009年, Asaad[4]研究了每個(gè)極小子群皆為S-擬正規(guī)子群的有限群性質(zhì).他稱這類群為MS-群,證明了MS-群必可解. 進(jìn)一步地,引入如下群類.

        定義2[4]設(shè)G是有限群.如果G不為MS-群,但G的每個(gè)真子群皆為MS-群,那么稱G為極小非MS-群.

        Asaad[4]證明了極小非MS-群必可解以及群階的素因子個(gè)數(shù)為2, 并給出了極小非MS-群的結(jié)構(gòu).

        本文作為以上研究的繼續(xù), 首先借助擬單群的Schur乘子,給出了極小非MS-群可解的一個(gè)新證明; 然后, 用可解群的Sylow系證明了極小非MS-群的素因子個(gè)數(shù)為2. 證明的方法和技巧,比Assad的證明更簡潔. 最后, 本文研究了二極大子群皆為MS-群的有限群.

        文中所涉及到的群皆是有限群,沒有特別說明的概念和符號(hào)皆是標(biāo)準(zhǔn)的.此外,用π(G)表示整除|G|的所有素因子的集合;Zn表示n階循環(huán)群;A×B表示A與B的直積;A:B表示正規(guī)子群A被非正規(guī)子群B的擴(kuò)張.

        1 預(yù)備引理

        引理1[2]設(shè)G是有限群,H與K是G的子群.

        (1)若H≤K≤G,H在G中S-擬正規(guī),則H在K中S-擬正規(guī).

        (2)若H在G中S-擬正規(guī),則H??G.

        引理2設(shè)G是有限群,H為G的p-子群,對某個(gè)素?cái)?shù)p.若Op(G)≤NG(H),則H在G中S-擬正規(guī).

        證明因?yàn)镺p(G)≤NG(H),Q≤Op(G)≤NG(H),故當(dāng)(q,p)=1時(shí)對每一個(gè)Q∈Sylq(G)都有QH=HQ.令P∈Sylp(G),H≤P,顯然H??P.因?yàn)镚=Op(G)P,故H??G,且H≤Op(G).因此,H≤S對任意的S∈Sylp(G)有HS=SH=S.證得H在G中S-擬正規(guī).

        引理3[4]若G是MS-群,則G可解.

        引理4令G為2n階二面體群,則

        (1)G為MS-群當(dāng)且僅當(dāng)n=2f.

        (2)G為極小非MS-群當(dāng)且僅當(dāng)n=p為奇素?cái)?shù).

        證明(1)當(dāng)n=2f時(shí)G為2-群, 此時(shí)G冪零,故G為MS-群.反之,假設(shè)G為MS-群.若n≠2f, 則存在奇素?cái)?shù)p為n的因子.故G有一2p階二面體子群H, 但H不是MS-群,矛盾.因此n=2f.

        (2)與(1)證明類似.

        引理5設(shè)G?A4為4個(gè)文字上的交錯(cuò)群, 則G為極小非MS-群.

        證明由于A4為極小非冪零群, 故A4為極小非MS-群.

        引理6[11]設(shè)G為極小單群,(i.e.,G為非交換單群,但G的每個(gè)真子群可解).則G同構(gòu)于下列單群之一:

        (2)PSL(2,3q),q為奇素?cái)?shù).

        (3)PSL(2,2q),q為素?cái)?shù).

        (4)Suzuki群Sz(2q),q為奇素?cái)?shù).

        (5)PSL(3,3).

        1.1 極小非MS-群可解性的新證明

        定理1設(shè)G是一個(gè)極小非MS-群, 則G可解.

        證明假設(shè)G非可解.根據(jù)定理假設(shè)知,G的每個(gè)真子群為MS-群.應(yīng)用引理3,可知G的每個(gè)真子群皆為可解群.令Φ(G)為G的Frattini-子群, 即G的所有極大子群的交.那么G/Φ(G)的每個(gè)真子群皆可解.由于Φ(G)是冪零群,可得G/Φ(G)為極小單群.設(shè)C為Φ(G)的2-補(bǔ), 則有C?G且C冪零. 證明將分以下四步進(jìn)行.

        步驟1C≤Z(G).

        對任意的p∈π(C), 設(shè)P是C的Sylowp-子群, 則P?G.任取P的p階子群H,由Φ(G)的冪零性, 可知H??G.從而有H≤OP(G)[12,Lemma8.6(a)]. 任取q∈π(G)且q≠p, 并令Q∈Sylq(G), 則有Op(G)Q

        步驟2C=1.

        步驟3G/Φ(G)中的每一個(gè)2np階子群均為2-冪零的.

        假設(shè)G有一子群R滿足,Φ(G)≤R且R/Φ(G)為2np階的非2-冪零群.那么R必包含一個(gè)2mp階的極小非2-冪零子群D.由It定理[13, IV.5.4]可知,D=T:P為內(nèi)冪零群, 其中T為D的正規(guī)Sylow2-子群, |P|=p.由于G非可解, 故D為G的真子群.所以D是一個(gè)MS-群.因此P在D中S-擬正規(guī),應(yīng)用引理1(2)可知P是D的一個(gè)次正規(guī)子群.注意到P是D一個(gè)Sylow-子群, 所以P為D的一個(gè)正規(guī)子群.這導(dǎo)致D是一個(gè)冪零群,與D內(nèi)冪零相矛盾.故G/Φ(G)中的每一個(gè)2np階子群均為2-冪零的.

        步驟4最終的矛盾.

        因?yàn)镚/Φ(G)為非交換單群,所以G/Φ(G)同構(gòu)于引理6中的單群之一.

        如果G/Φ(G)同構(gòu)于PSL(3,3),PSL(2,3q)和PSL(2,p)這3類群之一, 那么G/Φ(G)將包含一個(gè)與A4同構(gòu)的子群.但A4是非2-冪零的, 這與步驟3相矛盾.故G/Φ(G)不可能與這3類單群同構(gòu).

        如果G/Φ(G)同構(gòu)與Sz(2q)或PSL(2,2q), 那么G/Φ(G)為一奇度數(shù)的Zassenhaus群, 并且其點(diǎn)穩(wěn)定子群是一個(gè)Frobenius核為2-群的Frobenius群. 顯然這個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定子群不是一個(gè)2-冪零群, 亦與步驟3相矛盾. 所以G/Φ(G) 也不可能與這兩類單群同構(gòu).

        綜上可知,G必是可解群.

        定理2設(shè)G是一個(gè)極小非MS-群, 則|π(G)|=2.

        證明設(shè)G是一個(gè)極小非MS-群, 根據(jù)定理1可知,G必可解.由于p-群必是MS-群, 故|π(G)|≥2.假設(shè)|π(G)|>2.令π(G)={p1,p2,…,pr},其中p1

        任取G的一個(gè)極小子群H.不失一般性,可假設(shè)H≤P1.由于|π(G)|>2,所以對任意i∈{2,…,r},P1Pi是G的真子群.由定理假設(shè)知,P1Pi是MS-群.因此,H在P1Pi中S-擬正規(guī).特別地,HPi≤P1Pi

        1.2 二極大子群皆為MS-群的有限群

        定理3設(shè)G是一個(gè)可解群.如果G非MS-群, 但G的每個(gè)二極大子群皆為MS-群,那么|π(G)|=2或3.

        證明設(shè)G是一個(gè)非MS-群.根據(jù)定理假設(shè)知,G的每個(gè)極大子群要么為MS-群,要么為極小非MS-群.如果G所有的極大子群皆為MS-群,那么G是一個(gè)極小非MS-群.由定理2知,|π(G)|=2.

        接下來假設(shè)G有一個(gè)極大子群M滿足M不是MS-群.由上面討論可知,M是一個(gè)極小非MS-群.再次應(yīng)用定理2可知|π(M)|=2.由于G是可解群,則|G:M|是某個(gè)素?cái)?shù)方冪.|π(M)|=2迫使|π(G)|=2或3.

        定理4設(shè)G是一個(gè)有限非交換單群.如果G的每個(gè)二極大子群皆為MS-群, 那么G?A5.

        證明 設(shè)G為非交換單群.任取G的極大子群M,根據(jù)定理假設(shè)知,M要么為MS-群, 要么為極小非MS-群.應(yīng)用引理3和定理1可知,M均可解.因此,G的所有真子群可解,從而G為極小單群.根據(jù)引理6可知,G必同構(gòu)于下列5類單群之一.

        (2)PSL(2,3q),q為奇素?cái)?shù).

        (3)PSL(2,2q),q為素?cái)?shù).

        (4)Suzuki群Sz(2q),q為奇素?cái)?shù).

        (5)PSL(3,3).

        斷言1GPSL(2,3q),q為奇素?cái)?shù).

        斷言2GSz(2q),q為奇素?cái)?shù).

        假設(shè)G?Sz(2q).首先,G包含一階為2·(2q-1)的二面體群子群.由引理4得(2q-1)為素?cái)?shù), 以及G包含一階為22q(2q-1)的Frobenius-子群M.且M有2q-1階循環(huán)補(bǔ)H,以及22q階核K.因?yàn)镵非交換,Z(K)H為M的真子群.因此由假設(shè)得Z(K)H為MS-群.H在HZ(K)中S-擬正規(guī),由引理1(2)得H次正規(guī)于HZ(K).又因H為HZ(K)的Hall-子群,則H?Z(K)H且Z(K)H=Z(K)×H.因此對任意的對合x∈Z(K)有H≤CM(x). 但是由[15 Theorem7.6(iv), p.38]有CM(x)≤K,矛盾.故GSz(2q).

        斷言3GPSL(3,3)

        假設(shè)G?PSL(3,3),則G包含一個(gè)極大子群同構(gòu)于S4.顯然A4為S4的極大子群.由引理5可知,A4為極小非MS-群,矛盾.故GPSL(3,3).

        綜上,G同構(gòu)于PSL(2,p)或PSL(2,2q).

        因此必有4|p-1且由引理4得p-1=2q.故

        p2-1=(p-1)(p+1)=2q(2q+2)=2q+1(2q-1+1).

        如果q≥3,則16|p2-1,矛盾.故q=2, 迫使p=5.所以G?PSL(2,5)?A5.

        假設(shè)G?PSL(2,2q), 此時(shí)G仍包含2個(gè)二面體子群D1和D2.并且|D1|=2·(2q+1)以及|D2|=2·(2q-1).由引理4得2q+1和2q-1皆為素?cái)?shù), 這迫使q=2.因此G?PSL(2,22)?A5.

        反之,若G?A5.那么G的極大子群同構(gòu)于A4,S3,D10三者之一.由引理4和引理5得G的二極大子群均為MS-群.因此G滿足命題假設(shè).

        猜你喜歡
        素?cái)?shù)子群同構(gòu)
        孿生素?cái)?shù)
        兩個(gè)素?cái)?shù)平方、四個(gè)素?cái)?shù)立方和2的整數(shù)冪
        超聚焦子群是16階初等交換群的塊
        巧用同構(gòu)法解決壓軸題
        指對同構(gòu)法巧妙處理導(dǎo)數(shù)題
        同構(gòu)式——解決ex、ln x混合型試題最高效的工具
        子群的核平凡或正規(guī)閉包極大的有限p群
        高等代數(shù)教學(xué)中關(guān)于同構(gòu)的注記
        關(guān)于兩個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)素?cái)?shù)κ次冪的丟番圖不等式
        奇妙的素?cái)?shù)
        99久久国产亚洲综合精品| 99久久久国产精品免费蜜臀| 国产精品无码一区二区三区免费| 亚洲αⅴ无码乱码在线观看性色| 国产猛男猛女超爽免费av| 日韩av一区二区网址| 免费观看又色又爽又湿的视频| 国产成人久久综合热| 久久精品国产亚洲av蜜桃av| 国产av在线观看一区二区三区| 免费视频爱爱太爽了| 国产精品一区二区暴白浆| 国产自产21区激情综合一区| 女同三级伦理在线观看| 国产精品久久777777| 亚洲欧美在线播放| 一区二区三区四区四色av| 校园春色人妻激情高清中文字幕 | 全免费a级毛片免费看网站| 亚洲另在线日韩综合色| 久久久噜噜噜久久熟女| 亚洲欧洲国产码专区在线观看| 一本大道色婷婷在线| 在线a人片免费观看高清| 国产国语按摩对白av在线观看| 久久99国产精一区二区三区| 国产欧美精品一区二区三区–老狼| 国内精品嫩模av私拍在线观看| 欧美性猛交xxxx乱大交极品| 囯产精品一品二区三区| 在线看亚洲十八禁网站| 亚洲视频免费在线观看| 亚洲成av人片天堂网| 中文字幕无码专区一VA亚洲V专| 女同另类专区精品女同| 无套中出丰满人妻无码| 日本高清一区二区三区水蜜桃| 亚洲综合免费在线视频| 日本强伦姧人妻一区二区| 久久久久久人妻一区二区三区| 国产在线观看免费一级|