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        雙曲型臍點(diǎn)突變模型的向量場分析

        2021-09-10 05:49:10荊小娜趙立純劉敬娜
        關(guān)鍵詞:向量場鞍點(diǎn)集上

        荊小娜,趙立純,*,劉敬娜

        (1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

        R·Thom于1972年提出并系統(tǒng)地闡述了突變理論,給出了7類基本突變模型:折迭突變模型,尖角突變模型,燕尾突變模型,蝴蝶突變模型,橢圓型臍點(diǎn)突變模型,雙曲型臍點(diǎn)突變模型,拋物型臍點(diǎn)突變模型.這些模型可以用來描述自然界中存在的大量突變現(xiàn)象,如地震[1]、火山爆發(fā)[2]、泥石流[3]、病蟲害等的突然爆發(fā).針對病蟲害的突然爆發(fā),趙慧燕等[4]建立麥蚜生態(tài)系統(tǒng)的折迭突變模型,利用勢函數(shù)的極值解釋了蚜蟲種群數(shù)量在施藥后驟變的現(xiàn)象.趙立純等[5]基于尖角突變的性質(zhì)將Logistic模型變換為尖角突變模型,并用微分方程定性理論對模型進(jìn)行分析,得出突變發(fā)生的條件.李媛[6]利用微分方程定性理論分析了燕尾突變模型的突變特征.李楨[7]建立害蟲種群動(dòng)態(tài)的蝴蝶突變模型,通過勢函數(shù)的極值來說明平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,進(jìn)而確定出控制點(diǎn)在分歧點(diǎn)集所處的區(qū)域.李建峰[8]通過建立害蟲-天敵捕食系統(tǒng)橢圓突變模型,利用分歧點(diǎn)集的截線圖和平衡點(diǎn)處的相軌線分析了模型的突變形式.

        綜上可知,上述涉及的折迭突變模型、尖角突變模型、燕尾突變模型、蝴蝶突變模型,其狀態(tài)變量只有一個(gè),且均用來刻畫不同生態(tài)系統(tǒng)中害蟲的突然爆發(fā)現(xiàn)象.對于橢圓型臍點(diǎn)突變模型、雙曲型臍點(diǎn)突變模型和拋物型臍點(diǎn)突變模型,狀態(tài)變量卻有兩個(gè),而控制變量也均有三個(gè),因此,對平衡點(diǎn)和分歧點(diǎn)集的分析有較大的難度.而這三類模型考慮的因素更多,如果能應(yīng)用到病蟲害的研究中,可能會(huì)為生態(tài)系統(tǒng)中的突變現(xiàn)象提供更好的解釋,因此,本文選取雙曲型臍點(diǎn)突變模型進(jìn)行分析.

        通過傳統(tǒng)的方法分析模型會(huì)產(chǎn)生極大困難,本文利用Mathematica軟件繪制的向量場圖[9]分析模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性變化情況,嘗試揭示害蟲種群的爆發(fā)現(xiàn)象.

        1 模型的向量場分析

        考慮雙曲型臍點(diǎn)突變模型[10]

        (1)

        其中,x,y為狀態(tài)變量,w,u,v為控制變量,相空間是五維空間(x,y,u,v,w).

        由文獻(xiàn)[10]知,分歧點(diǎn)集是關(guān)于w=0平面對稱的,故應(yīng)根據(jù)w=0,w>0,w<0三種情況繪制向量場圖形.

        情況1w=0

        針對模型(1),進(jìn)一步取u>0,u=0,u<0三種情況來討論:

        情況1.1u>0

        當(dāng)w=0,u=1時(shí),v分別取v=4,v=0,v=-2,得向量場圖(見圖1).

        圖1 w=0,u=1時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖1可以看出,對w=0,u=1,當(dāng)v由正連續(xù)變化到負(fù)時(shí),模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)從4個(gè)變到0個(gè),其中,A1為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),A2,A4為鞍點(diǎn),A3為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),B1,B2為鞍結(jié)點(diǎn),說明w=0,u=1,v=0在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況1.2u=0

        當(dāng)w=0,u=0時(shí),v分別取v=4,v=0,v=-2,得向量場圖(見圖2).

        圖2 w=0,u=0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖2可以看出,對w=0,u=0,當(dāng)v由正連續(xù)變化到負(fù)時(shí),模型的平衡點(diǎn)從2個(gè)變到0個(gè),其中,B3,B4為鞍結(jié)點(diǎn),O為鞍點(diǎn),說明w=0,u=0,v=0在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況1.3u<0

        當(dāng)w=0,u=-1時(shí),v分別取v=4,v=0,v=-2,得向量場圖(見圖3).

        圖3 w=0,u=-1時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖3可以看出,對w=0,u=-1,當(dāng)v由正連續(xù)變化到負(fù)時(shí),模型的平衡點(diǎn)始終不存在,說明w=0,u=-1不在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況2w>0

        針對模型(1),將參數(shù)u分為u>0,u=0,u<0三種情況來討論:

        情況2.1u>0

        當(dāng)w>0,u>0時(shí),v在v>0,v=0,v<0三種不同情況下平衡點(diǎn)的變化情況不同,因此需根據(jù)這三種情況來分別分析.

        情況2.1.1v>0

        當(dāng)w=1,u=1時(shí),v分別取v=4,v=3.013 9,v=2,得向量場圖(見圖4).

        圖4 w=1,u=1,v>0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖4可以看出,對w=1,u=1,當(dāng)v逐漸減小時(shí),模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)從2個(gè)變化到4個(gè),其中,C0為鞍結(jié)點(diǎn),C1,C3為鞍點(diǎn),C2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),C4為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),說明w=1,u=1,v=3.013 9在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況2.1.2v=0

        當(dāng)w=1,u=1,v=0時(shí),得向量場圖(見圖5).

        圖5 w=1,u=1,v=0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖5可以看出,當(dāng)w>0,u>0,v=0時(shí),模型存在2個(gè)平衡點(diǎn),其中C1為鞍點(diǎn),C2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),而這與圖4(a)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性一致.

        情況2.1.3v<0

        當(dāng)w=1,u=1時(shí),v分別取v=-0.1,v=-0.581 4,v=-2,得向量場圖(見圖6).

        圖6 w=1,u=1,v<0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖6可以看出,對w=1,u=1,當(dāng)v逐漸減小時(shí),模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)從2個(gè)變到0個(gè),其中,C0為鞍結(jié)點(diǎn),C1為鞍點(diǎn),C2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),說明w=1,u=1,v=-0.581 4在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況2.2u=0

        當(dāng)w=1,u=0時(shí),v分別取v=4,v=-0.157 5,v=-2得向量場圖(見圖7).

        圖7 w=1,u=0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖7可以看出,對w=1,u=0,當(dāng)v由正連續(xù)變化到負(fù)時(shí),模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)從2個(gè)變到0個(gè),其中,C0為鞍結(jié)點(diǎn),C1為鞍點(diǎn),C2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),說明w=1,u=0,v=-0.157 5在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況2.3u<0

        當(dāng)w=1,u=-1時(shí),v分別取v=4,v=2.986 1,v=-2,得向量場圖(見圖8).

        圖8 w=1,u=-1時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        從圖8可以看出,對w=1,u=-1,當(dāng)v由正連續(xù)變化到負(fù)時(shí),模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)從2個(gè)變到0個(gè),其中,C0為鞍結(jié)點(diǎn),C1為鞍點(diǎn),C2為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),說明w=1,u=-1,v=2.981 6在模型的分歧點(diǎn)集上.

        情況3w<0

        情況2分析了w>0時(shí)模型的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性,那么對w<0時(shí)模型的分析將w取相反數(shù).

        情況3.1u>0

        將v分為v>0,v=0,v<0三種情況來繪制向量場圖.

        情況3.1.1v>0

        當(dāng)w=-1,u=1時(shí),v分別取v=4,v=3.013 9,v=2,得向量場圖(見圖9).

        圖9 w=-1,u=1,v>0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        注1 由于w>0與w<0時(shí)模型的分歧點(diǎn)集是對稱的,因此不再重復(fù)敘述.

        情況3.1.2v=0

        當(dāng)w=-1,u=1,v=0時(shí),得向量場圖(見圖10).

        圖10 w=-1,u=1,v=0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        情況3.1.3v<0

        當(dāng)w=-1,u=1時(shí),v分別取v=-0.1,v=-0.581 4,v=-2,得向量場圖(見圖11).

        圖11 w=-1,u=1,v<0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        情況3.2u=0

        當(dāng)w=-1,u=0時(shí),v分別取v=4,v=-0.157 5,v=-2,得向量場圖(見圖12).

        圖12 w=-1,u=0時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        情況3.3u<0

        當(dāng)w=-1,u=-1時(shí),v分別取v=4,v=2.986 1,v=-2,得向量場圖(見圖13).

        圖13 w=-1,u=-1時(shí)平衡點(diǎn)附近的向量場

        針對模型(1),本節(jié)保持控制參數(shù)w,u取值不變,使參數(shù)v逐漸減少時(shí),得到模型的平衡點(diǎn)變化情況,并根據(jù)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)的突然變化找到模型的分歧點(diǎn)集.

        2 討論與結(jié)論

        由于雙曲型臍點(diǎn)突變模型分歧點(diǎn)集的方程太過復(fù)雜,不能直接從方程得到模型的突變形式,因而本文利用向量場圖刻畫模型平衡點(diǎn)的變化狀況,且能觀察到模型的分歧點(diǎn)集,進(jìn)而揭示出模型在整個(gè)控制空間中的突變行為.

        針對雙曲臍點(diǎn)突變模型,在第一部分中已經(jīng)討論了當(dāng)控制參數(shù)w,u不變,而v逐漸減少時(shí),模型平衡點(diǎn)的變化狀況.根據(jù)情況2.1.1,情況2.2,情況2.3,從向量場圖可以看出保持控制參數(shù)w,v不變,當(dāng)u變化時(shí),模型平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性的變化,如圖4(a)→圖7(a)→圖8(a).

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