席 睿，李 冰，賈宏光

（1.華北水利水電大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，河南 鄭州 450011；2.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所， 吉林 長春 130033；3.長光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，吉林 長春 130033）

引言

在飛行器設(shè)計(jì)中，其尾翼的設(shè)計(jì)的水平對其性能有重要影響。對此類翼面結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)涉及氣動、結(jié)構(gòu)、氣動彈性多個(gè)領(lǐng)域，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)只在單一的氣動或結(jié)構(gòu)學(xué)科內(nèi)獨(dú)立優(yōu)化而忽略氣動彈性作用對性能參數(shù)的影響，或只考慮簡單的靜氣動彈性影響而不考慮其動態(tài)氣動彈性現(xiàn)象的作用。忽略這些彈性變形會影響翼面優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，使設(shè)計(jì)的翼面在實(shí)際飛行中很難達(dá)到預(yù)期的性能。因此，需要對其進(jìn)行多個(gè)學(xué)科的分析以研究其協(xié)同效應(yīng)并借助先進(jìn)的優(yōu)化策略和有效算法才能實(shí)現(xiàn)綜合性能的最優(yōu)化。近年來在飛行器的研發(fā)模式中，多學(xué)科優(yōu)化算法（Multidisciplinary Design Optimiza- tion, MDO）和快速迭代成為主要研究方向[1]。

目前，國內(nèi)外研究人員在航天領(lǐng)域的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，就多學(xué)科優(yōu)化理論的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛的研究，多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（MDO）的研究起源于20世紀(jì)70年代，在20世紀(jì)80年代發(fā)展為一個(gè)單獨(dú)的研究領(lǐng)域。

到了20世紀(jì)90年代，MDO的研究已在世界范圍獲得了關(guān)注，不僅在理論研究上取得更多進(jìn)展，更是在工程上得到了實(shí)際應(yīng)用。比較典型的案例如Rockdyne公司的計(jì)劃用于X-33的塞式噴管發(fā)動機(jī)的設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)以總升重比為目標(biāo)函數(shù)，采用耦合計(jì)算流體力學(xué)的模型、結(jié)構(gòu)有限元模型、計(jì)算熱力學(xué)模型等多學(xué)科的MDO模型，其結(jié)果不僅提高了設(shè)計(jì)質(zhì)量，還大大減少了設(shè)計(jì)時(shí)間。另一個(gè)計(jì)劃是高速民用飛機(jī)（HSCT）的設(shè)計(jì)，該研究利用分布式網(wǎng)絡(luò)和并行設(shè)計(jì)方法縮短了設(shè)計(jì)周期、獲得了更佳方案。國內(nèi)對這方面的研究是20世紀(jì)90年代中期開始的，通過向國外學(xué)習(xí)也取得了一些進(jìn)展，如文獻(xiàn)[2-4]研究了多學(xué)科設(shè)計(jì)算法在飛行器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[5]提出了混合多目標(biāo)粒子群算法在飛行器氣動布局設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6]對航天器性能樣機(jī)提出了一種氣動一體化多目標(biāo)優(yōu)化方法。

飛行器的氣動計(jì)算對整體方案設(shè)計(jì)影響較大，在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中，多采用基于有勢能、小擾動的工程算法，適用范圍小且需要后期修正，難以引入多學(xué)科優(yōu)化框架?，F(xiàn)今對氣動特性計(jì)算主要依靠計(jì)算流體力學(xué)（CFD）仿真計(jì)算和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，這種高精度計(jì)算量很大，無法滿足設(shè)計(jì)中快速分析的需求。

目前在飛行器設(shè)計(jì)領(lǐng)域中針對多學(xué)科優(yōu)化和氣動外形優(yōu)化的問題多采用利用代理模型技術(shù)利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法（DOE）獲得樣本并選擇近似方法來擬合氣動特性對外形參數(shù)的響應(yīng)，以達(dá)到避免復(fù)雜數(shù)值計(jì)算、縮短設(shè)計(jì)周期的目的。近年來代理模型在航空、汽車、船舶的設(shè)計(jì)和優(yōu)化中都得到了廣泛的應(yīng)用。

本文按照圖1的設(shè)計(jì)流程針對飛行器翼面的外形，對氣動特性參數(shù)進(jìn)行多種類型代理模型構(gòu)建，探索不同近似方法的精度和計(jì)算成本差別，選取最合適的近似算法參與翼面的氣動－結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化。

圖1 代理模型構(gòu)建流程圖

1 設(shè)計(jì)空間

飛行器的飛行環(huán)境需要跨聲速飛行，應(yīng)采用大后掠翼，同時(shí)設(shè)計(jì)狀態(tài)屬于超聲速，應(yīng)采用小展弦比的薄彈翼，六角翼型，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其幾何參數(shù)含義見表1。

圖2 飛行器翼面幾何參數(shù)示意圖

表1 翼面幾何參數(shù)

翼面的建模幾何參數(shù)只適合對翼面進(jìn)行三維建模，對于描述一個(gè)固定的翼面形狀，往往需要將其換算為一系列無量綱參數(shù)即優(yōu)化所涉及的設(shè)計(jì)變量X={λ, χ,b1,b2,c’root, k}，其中λ代表展弦比、χ代表前緣后掠角、b1代表翼前緣特征、b2代表后緣特征、c’root代表翼根相對厚度和k代表翼梢收縮比。

參考飛行器設(shè)計(jì)工程經(jīng)驗(yàn)[7]確定了設(shè)計(jì)變量的取值范圍，如表2所示。

表2 翼面設(shè)計(jì)變量區(qū)間

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)（Design of Experiment, DOE）是多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中代理模型的取樣策略。試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的輸入變量被稱為因素（Factor），其在樣本點(diǎn)處的值被稱為水平（Level），樣本點(diǎn)對應(yīng)對的輸出值被稱為響應(yīng)（Responce）。

2.1 全析因設(shè)計(jì)

全析因設(shè)計(jì)（Full factorial）是指在一次完全試驗(yàn)中，系統(tǒng)的所有因素的所有水平可能的組合都要被研究到的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[8]。

假設(shè)系統(tǒng)輸入變量也即因素的個(gè)數(shù)為nv，每個(gè)因素對應(yīng)的水平數(shù)為ni（i =1,…,n），則對系統(tǒng)進(jìn)行全析因試驗(yàn)所需的試驗(yàn)次數(shù)為：

全析因試驗(yàn)?zāi)軌蚍治鲆蛩貙ο到y(tǒng)影響的大小和分析因素間的交互作用，但當(dāng)系統(tǒng)的因素和水平比較多時(shí)，根據(jù)上式計(jì)算所得的試驗(yàn)次數(shù)，即樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)會將會是一個(gè)很大的數(shù)字，所以除了低維低水平的問題，全析因試驗(yàn)很不適用。

2.2 中心復(fù)合設(shè)計(jì)

中心復(fù)合設(shè)計(jì)（Central Composite Design, CCD）[9]是一種針對二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型進(jìn)行分批實(shí)驗(yàn)的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。該方法先挑出每個(gè)因素最大和最小的兩個(gè)水平值利用正交表Ln（2nv）安排n次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)束后在中心點(diǎn)做n0次重復(fù)試驗(yàn)，最后在每個(gè)因素的坐標(biāo)軸上，取臂長為α的兩個(gè)對稱點(diǎn)作為樣本點(diǎn)，臂長的確定按下式：

若因素的個(gè)數(shù)為nv，三次試驗(yàn)總樣本點(diǎn)數(shù)N=n+n0+2nv，N個(gè)點(diǎn)分布在以中心點(diǎn)為球心的兩個(gè)同心球上。

2.3 拉丁方設(shè)計(jì)

拉丁方（Latin Hypercube）[10]，它是一種分層抽樣法，將每個(gè)因素的設(shè)計(jì)空間均勻分成n份構(gòu)成矩陣，按水平數(shù)隨機(jī)組合成下標(biāo)，在設(shè)計(jì)空間矩陣上取樣本點(diǎn)，每個(gè)因素水平只可用一次。試驗(yàn)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)均勻分布，且是隨機(jī)的，每次采樣的結(jié)果都不相同。這種設(shè)計(jì)均勻性比較好，適合因素?cái)?shù)目較多的情況。

2.4 正交設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Orthogonal design）也叫Taguchi設(shè)計(jì)，是應(yīng)用范圍最廣的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法之一，由日本學(xué)者田口玄一于20世紀(jì)40年代后期首次應(yīng)用而得名。這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法按照一種己經(jīng)擬定好地滿足正交試驗(yàn)條件的表格來安排試驗(yàn)。表格稱為正交表（Orthogonal array），表示為LA（Pn），其中L代表正交表；下標(biāo)A表示表中橫行個(gè)數(shù)，即總共試驗(yàn)次數(shù)；P為因素的水平數(shù)，n是因素的個(gè)數(shù)。當(dāng)遇到各因素水平數(shù)不等的試驗(yàn)時(shí)，可使用不等水平正交表或采用擬水平法。正交表可從試驗(yàn)設(shè)計(jì)參考書中獲得[11]。正交設(shè)計(jì)是多因子試驗(yàn)中最重要的一種設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)變量最好不多于10個(gè)。

考慮到本文高精度模型的計(jì)算代價(jià)比較高，應(yīng)盡量減少分析的次數(shù)以提高設(shè)計(jì)效率，相比于全因子設(shè)計(jì)和中心復(fù)合設(shè)計(jì)，正交設(shè)計(jì)計(jì)算量較小，相比于均勻設(shè)計(jì)和拉丁方設(shè)計(jì)，正交設(shè)計(jì)精度較高[12-13]。鑒于此，本文選擇用正交設(shè)計(jì)技術(shù)來生成試驗(yàn)點(diǎn)集合。對設(shè)計(jì)變量的水平數(shù)設(shè)置越多，樣本點(diǎn)數(shù)目也就跟著增加，這樣可以提高近似的精度。但考慮到相應(yīng)的計(jì)算量過大，對每個(gè)設(shè)計(jì)變量取5水平。

設(shè)計(jì)變量在設(shè)計(jì)空間上水平數(shù)的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 翼面設(shè)計(jì)變量水平數(shù)和水平值

取樣即為一組6因素5水平的試驗(yàn)，可使用L25（56）正交表來安排試驗(yàn)，即需要進(jìn)行25次不同輸入的氣動特性仿真，輸入安排如表1所示。

3 數(shù)值分析響應(yīng)值提取

本文對25組不同翼面形狀的飛行器進(jìn)行了基于CFD/ CSD緊耦合方式的高精度學(xué)科分析。對分析結(jié)果提取翼面優(yōu)化所需的參數(shù)即升力系數(shù)CL、阻力系數(shù)CD、結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力σmax、翼梢變形δmax、彈翼重量Weight作為響應(yīng)值。

考慮到氣動彈性現(xiàn)象，與進(jìn)行了氣動彈性仿真后得到數(shù)值相比，后者更符合風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)值[14]。所以響應(yīng)值應(yīng)提取考慮了彈翼氣動彈性現(xiàn)象的仿真結(jié)果。

4 代理模型近似方案確定

近似技術(shù)也稱代理模型方法，是代理模型技術(shù)的核心，其本質(zhì)是利用已知樣本點(diǎn)以數(shù)學(xué)手段生成能夠反映設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)值之間映射關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。多項(xiàng)式響應(yīng)面（Polyno- mial Response Surface Method, PRSM）、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Squares Method, RBF-ANN）和Kriging模型（Kriging Model, KM）是多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中常用的代理模型方法。

4.1 多項(xiàng)式響應(yīng)面

響應(yīng)面法是一種用簡單的代數(shù)函數(shù)來表示高精度模型分析信息的近似方法。工程中最常用的二階響應(yīng)面模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下式所示：

式中n為設(shè)計(jì)變量的維數(shù)；xi,xj為設(shè)計(jì)變量；待定系數(shù)b0，bj，bjj，bij可由最小二乘法確定。為了更高的精度可建立階數(shù)更高的響應(yīng)面模型，但響應(yīng)面模型的階數(shù)越高，所需的樣本點(diǎn)即高精度模型的分析次數(shù)越多。如以二階響應(yīng)面模型為例，需要不低于（n+1）（n+2）/2個(gè)高精度模型的分析信息。

4.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模擬生物大腦結(jié)構(gòu)的信息處理系統(tǒng)，除了可以用來進(jìn)行函數(shù)逼近還可以進(jìn)行最近相鄰模型分類、概率密度估計(jì)等計(jì)算，在多個(gè)領(lǐng)域均有應(yīng)用。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)由輸入層、隱層和輸出層三層處理單元組成。信號輸入和輸出的單元層分別為輸入層和輸出層，輸入層和輸出層中間的單元層稱為中間層或隱層。

層中的數(shù)據(jù)處理單元稱神經(jīng)元。在神經(jīng)元中將輸入激勵轉(zhuǎn)化為輸出響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為傳遞函數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各神經(jīng)元通過權(quán)值連接，在各層類型決定后，通過已知樣本點(diǎn)的設(shè)計(jì)量及狀態(tài)量數(shù)據(jù)來調(diào)整確定權(quán)值即訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練結(jié)束后，網(wǎng)絡(luò)的輸出即由輸入數(shù)據(jù)和各單元相連的各輸入量的權(quán)值來決定，此時(shí)即可用來模擬原有樣本和響應(yīng)值的映射關(guān)系。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是最常被用作代理模型的兩種模型，二者都是前饋網(wǎng)絡(luò)。相比之下后者的結(jié)構(gòu)更為簡單，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程更為快捷，并且在函數(shù)逼近和模式識別方面的表現(xiàn)也更為優(yōu)秀。所以對非線性函數(shù)的逼近，選用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較為合適。

圖3所示的是一個(gè)典型的r維輸入的單隱層RBF網(wǎng)絡(luò)。其中‖dist‖表示求輸入矢量p和權(quán)值矢量w的距離；b1,b2為閾值；n為隱層輸入：

圖3 r維輸入的單隱層RBF網(wǎng)絡(luò)

其中LW是隱層到輸出層的權(quán)值。

Jin等人[15]的研究表明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似精度和效率都不錯(cuò)，適合在MDO中應(yīng)用。

4.3 Kriging方法

Kriging模型是Danie Krige于20世紀(jì)50年代提出的一種估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型，由全局模型和局部偏差疊加而成。該模型早期主要應(yīng)用在地質(zhì)領(lǐng)域，到現(xiàn)在已經(jīng)成為MDO中比較有代表性的一種代理模型近似方法[16]，其具體模型為：

其中近似項(xiàng)g（x）是設(shè)計(jì)空間內(nèi)的全局模擬，g（x）可以看作一個(gè)常數(shù)β，β值可由已知響應(yīng)值進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)項(xiàng)Z（x）期望為0，方差為σ2，協(xié)方差不為零的隨機(jī)函數(shù)，表示全局模擬的插值，是全局模擬基礎(chǔ)上的局部偏差。上式可變?yōu)椋?/p>

式中R是相關(guān)矩陣，矩陣為對角線元素為1的對稱矩陣；R是相關(guān)函數(shù)；ns為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。R選擇高斯函數(shù)，可以表示為：

式中nv是設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，θk為未知相關(guān)參數(shù)向量，可取為常數(shù)以簡化運(yùn)算。

根據(jù)Kriging理論，未知點(diǎn)x處的響應(yīng)值y的估計(jì)值y′可表示為：

式中y是樣本點(diǎn)響應(yīng)值組成的ns維列向量；g為長度為n的單位列向量；r（x）是未知向量x與樣本輸入數(shù)據(jù)之間的關(guān)系向量：

相關(guān)參數(shù)向量θk取為常數(shù)θ，可由極大似然估計(jì)變?yōu)橐痪S優(yōu)化問題：

4.4 代理模型綜合評估標(biāo)準(zhǔn)

為了判斷代理模型是否可以代替原有分析模型，需要一定的評估檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，包括精度評估、效率評估和實(shí)現(xiàn)難度評估。

考慮到Kriging和RBF這樣的近似方法具有插值特性。所以需要在構(gòu)造的樣本點(diǎn)以外重新選取另外一批樣本點(diǎn)作為測試樣本點(diǎn)來參與對精度的評價(jià)。本文采用均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）和復(fù)相關(guān)系數(shù)（R Squared Coef- ficient, R2）兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來檢驗(yàn)該模型的預(yù)測值對真實(shí)值的代理精度：

其中y和yreg分別是設(shè)計(jì)空間內(nèi)每個(gè)樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值和模型預(yù)測值；為所有樣本點(diǎn)真實(shí)響應(yīng)值的平均值；Ngrid是樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。RMSE值越接近于0則代理模型精度越高。復(fù)相關(guān)系數(shù)R2的取值越接近于1則近似精度越高。

效率評估考慮的是代理模型的計(jì)算效率，評價(jià)的指標(biāo)是構(gòu)造代理模型所需要的成本與使用代理模型預(yù)測新的設(shè)計(jì)點(diǎn)響應(yīng)值所需的成本。這個(gè)成本包括計(jì)算時(shí)間計(jì)算所需的PC機(jī)內(nèi)存等，一般用計(jì)算時(shí)間來評價(jià)。

代理模型的實(shí)現(xiàn)難度指的是在軟件上的功能實(shí)現(xiàn)。目前工程上最常用的實(shí)現(xiàn)手段是基于Matlab環(huán)境的各種函數(shù)工具箱來實(shí)現(xiàn)自行開發(fā)。也有一些優(yōu)化軟件自身帶有一套近似模型模塊，可以省去編程而方便工程人員使用。但是由于程序代碼固定，當(dāng)需要對程序進(jìn)行修改時(shí)往往比較困難。一般來說，近似方法的原理越復(fù)雜，軟件開發(fā)就越困難。但是為了獲得較高的精度，有時(shí)必須對模型反復(fù)修改使之復(fù)雜性增加。

本文以設(shè)計(jì)變量集合X={λ，χ，b1，b2，c’root，k}為輸入，分別以響應(yīng)值集合Y1={CL}，Y2={CD}，Y3={σmax}, Y4={δmax}，Y5={Weight}為輸出，采用多項(xiàng)式響應(yīng)面、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging方法為近似方法各自創(chuàng)建了近似模型。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)生成五個(gè)測試樣本點(diǎn)，以均方根誤差RMSE和復(fù)相關(guān)系數(shù)R2為代理模型精度評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

用這三種模型的近似精度校驗(yàn)結(jié)果和時(shí)間統(tǒng)計(jì)分別如表4和表5所示：

表4 近似精度校驗(yàn)結(jié)果

表5 代理模型時(shí)間統(tǒng)計(jì)

5 結(jié)論

從表中數(shù)據(jù)可以看出，多項(xiàng)式響應(yīng)面得到得近似模型整體效果最差，所有響應(yīng)的精度都低于其他兩種方法，產(chǎn)生這種結(jié)果的原因是設(shè)計(jì)變量維數(shù)（即因素?cái)?shù)目）有6個(gè)，要構(gòu)建一個(gè)6因素的二階多項(xiàng)式需要至少（6+1）（6+2）/2=28個(gè)樣本點(diǎn)，而樣本點(diǎn)數(shù)目只有25個(gè)，所以造成只能使用一階多項(xiàng)式來近似模型，這樣顯著降低了近似精度。不過由于許多研究以表明多項(xiàng)式響應(yīng)面法本身不適合高階非線性問題，所以這種方案對本文翼面優(yōu)化的代理模型來說是不可取的。

Kriging方法與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，對某些數(shù)據(jù)如CD和Weight的近似效果比較好，但是對CL和δmax的近似精度則較低，RSM的值都高于0.1，R2值也都低于0.7。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對所有數(shù)據(jù)的RMSE值均低于0.01，R2值均大于0.8。所以其整體近似精度要更為優(yōu)秀，具有更好的魯棒性。

就構(gòu)造代理模型的時(shí)間而言，多項(xiàng)式響應(yīng)面所用的時(shí)間最少，Kriging方法需要的時(shí)間最多，這與這三者本身數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜度相符合。在主頻2.6 GHz，單核的PC機(jī)上這三種方法所耗費(fèi)的預(yù)測時(shí)間均在1 s以內(nèi)，而主頻2.6 GHz，8核的服務(wù)器上對任一個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行高精度仿真的計(jì)算時(shí)間則在20 h以上。相比而言，使用代理模型大大提高了學(xué)科分析的效率。

通過上述研究可以看出，多項(xiàng)式響應(yīng)面雖然效率最高但精度過低，Kriging方法可以對測試問題取得較好的精度，但是魯棒性差，而且耗時(shí)較多，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各項(xiàng)性能較為平均，綜合性能最好?？紤]到氣動優(yōu)化時(shí)所需要的迭代點(diǎn)很多，而且數(shù)據(jù)之間關(guān)系復(fù)雜，本文選用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為翼面優(yōu)化設(shè)計(jì)的代理模型近似方法。