陳 瀅，陳 煒*，楊賀賀，孫玉超，吳 航

（1.天津理工大學(xué)a.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，b.機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津300384；2.天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院，天津300380；

3.軍事科學(xué)院 系統(tǒng)工程研究院衛(wèi)勤保障技術(shù)研究所，天津300161）

移動機(jī)器人學(xué)是機(jī)器人學(xué)中的一個重要分支[1]。如今，移動機(jī)器人在軍事、航海等領(lǐng)域能代替人類完成大量的危險任務(wù)，例如掃雷，海底勘測，無人駕駛，煤礦和地下工作等[2-5]。移動機(jī)器人也在人類的生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要的作用。在過去的20年中，由于理論和實(shí)際應(yīng)用的需要，移動機(jī)器人的控制問題一直受到人們廣泛關(guān)注。其控制問題一般可分為點(diǎn)鎮(zhèn)定和軌跡跟蹤問題。

隨著科學(xué)水平不斷提高，移動機(jī)器人軌跡跟蹤問題受到越來越多研究者的關(guān)注。由于移動機(jī)器人是一種非完整約束的系統(tǒng)[6]，該系統(tǒng)不可積，所以移動機(jī)器人軌跡規(guī)劃、鎮(zhèn)定等問題較為復(fù)雜。近年來，輪式移動機(jī)器人已經(jīng)在運(yùn)動學(xué)控制方面進(jìn)行了廣泛的研究。例如，文獻(xiàn)[7-10]首先對移動機(jī)器人的物理模型進(jìn)行推導(dǎo)研究，并在機(jī)器人具有物理模型的基礎(chǔ)下，根據(jù)不同控制方法對移動機(jī)器人的靜態(tài)軌跡跟蹤進(jìn)行了大量的研究。

文獻(xiàn)[11]中沒有考慮移動機(jī)器人系統(tǒng)的非線性，特別是系統(tǒng)消除未知參數(shù)線性化的假設(shè)，忽略建模參數(shù)，使用模糊自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究控制，并直接在線研究系統(tǒng)模型。這對復(fù)雜機(jī)器人的研究具有深遠(yuǎn)的意義。但是由于移動機(jī)器人的特性，直接忽略機(jī)器人的非線性特性在實(shí)際操作中是不可取的。文獻(xiàn)[12]提出了一種運(yùn)用計算力矩法對移動機(jī)器人方程進(jìn)行反饋線性化，并使用滑膜控制對移動機(jī)器人的運(yùn)動軌跡進(jìn)行跟蹤。但是并沒有對模型不確定性的移動機(jī)器人的動力學(xué)進(jìn)行建模。

文獻(xiàn)[13]設(shè)計了一種滑膜軌跡跟蹤控制器，盡管該控制方法可以較好的處理模型不確定性及外部干擾，但是卻存在抖振問題。文獻(xiàn)[14]考慮到移動機(jī)器人運(yùn)動的物理約束條件，提出了一種結(jié)合基于線性變分不等式的原對偶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的模型預(yù)測控制方法來實(shí)現(xiàn)兩輪驅(qū)動機(jī)器人的軌跡跟蹤控制。但是該方法主要問題是計算量過大。文獻(xiàn)[15]提出了一種與以往控制不同的控制器，一種以運(yùn)動學(xué)和動態(tài)線性級聯(lián)的形式提供類似反饋控制，是一種具有更簡單和模塊化的控制結(jié)構(gòu)。由上述文獻(xiàn)看出近年來對移動機(jī)器人控制的研究主要集中在運(yùn)動學(xué)上。但是在大多數(shù)情況下，動力學(xué)問題不容忽視。本文的目的是分析和設(shè)計包括運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)在內(nèi)的移動機(jī)器人的控制算法。

1 兩輪移動機(jī)器人的建模

兩輪移動機(jī)器人建模包括運(yùn)動學(xué)建模和動力學(xué)建模。運(yùn)動學(xué)建模解決了速度和位置之間的問題。動力學(xué)模型描述了速度與輸入力之間的關(guān)系。兩輪移動機(jī)器人的原理圖如圖1所示。點(diǎn)p是兩輪移動機(jī)器人的中心，點(diǎn)G是兩輪移動機(jī)器人的重要點(diǎn)。點(diǎn)p與點(diǎn)G重合。兩輪移動機(jī)器人由全局坐標(biāo)系中的向量表示。（x，y，θ）是移動平臺轉(zhuǎn)換的參考坐標(biāo)。兩個驅(qū)動輪的半徑是r，兩個輪子之間的距離是l。

圖1 移動輪式機(jī)器人原理圖Fig.1 Structure of the two-wheel mobile robot

1.1 運(yùn)動學(xué)建模

建立兩輪移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型的目的是了解其運(yùn)動狀態(tài)。兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型如圖1所示。

令p=（x，y，θ）T，q=（v，w）T，其中（x，y）為兩輪移動機(jī)器人的位置坐標(biāo)，θ為轉(zhuǎn)向角，是兩輪移動機(jī)器人行進(jìn)方向和x正半軸的夾角，v和w分別為兩輪移動機(jī)器人的速度和角速度。

假設(shè)兩輪移動機(jī)器人在地面只做純滾動運(yùn)動，無打滑，則兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型[16]為

根據(jù)坐標(biāo)變化，引入跟蹤誤差的概念，得到兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差方程

其中pe為理想位姿。

對兩輪移動機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)控制，就是通過控制輸入q=（v，w）T，來得到任意時刻的位姿誤差。

1.2 動力學(xué)建模

假設(shè)兩輪移動機(jī)器人在平面內(nèi)移動[17]，設(shè)定全局坐標(biāo)xoy為固定坐標(biāo)系，則兩輪移動機(jī)器人的動力學(xué)方程推導(dǎo)如下。

對于移動平臺，由力矩平衡原理[18]，平臺轉(zhuǎn)動角度=動力轉(zhuǎn)矩-阻力轉(zhuǎn)矩，得

由牛頓第二定律，得

其中，IV是機(jī)器人重心的轉(zhuǎn)動慣量；Fl和Fr是左右輪的驅(qū)動力；l為輪子到移動平臺重心的距離；φ，v分別為移動平臺的位姿角和線速度。

對于移動平臺的車輪，根據(jù)力矩平衡原理，左右輪動態(tài)特性方程分別如下：IW為輪子的轉(zhuǎn)動慣量，c為摩擦系數(shù)，k為驅(qū)動增益，u為驅(qū)動輸入，θ、r分別指車輪轉(zhuǎn)角和半徑。

由兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)，得

由式（6）可得

由式（5）可得

則

由式（7）可得

則

將上式分別代入（4）和（5），得

則可分別得到

將式（16）和（17）寫成兩輪移動機(jī)器人動力學(xué)狀態(tài)方程為

2 設(shè)計控制規(guī)律

本文采用backstepping控制分別對兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行控制設(shè)計。

2.1 運(yùn)動學(xué)控制規(guī)律

考慮式（2）所示的運(yùn)動學(xué)系統(tǒng)，設(shè)計軌跡為

其中xd，yd，θd表示移動機(jī)器人的理想位姿。

backstepping控制器的設(shè)計分為兩步：

1）令虛擬輸入α，根據(jù)式（2），取

令Lyapunov函數(shù)[19]為

由式（2）和式（19）式可得

通過設(shè)計虛擬量α，使得

則

將線速度和虛控制律設(shè)計為

2）令e=α-θ，定義Lyapunov函數(shù)為

則

設(shè)計角速度控制律

則

則t→∞時，xe→0，ye→0，θ→θd且以指數(shù)形式收斂。兩輪移動機(jī)器人動力學(xué)控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)控制結(jié)構(gòu)Fig.2 The process of kinematics control

2.2 動力學(xué)控制規(guī)律

兩輪移動機(jī)器人動力學(xué)狀態(tài)方程（18）為線性方程。在設(shè)計動力學(xué)控制規(guī)律前，需要將式（18）進(jìn)行線性解耦。

將式（29）代入式（27）可得到如下兩個控制方程：

式（31）設(shè)計控制規(guī)律為：

假設(shè)理想速度為vd，速度誤差為ve=vd-v。定義Lyapunov函數(shù)

則

設(shè)計控制規(guī)律為

式（32）設(shè)計控制規(guī)律為：

假設(shè)理想角速度為φd，誤差為z1=φ-φd，給定控制變量

其中c2＞0。

定義Lyapunov函數(shù)

則

定義Lyapunov函數(shù)

則

設(shè)計控制規(guī)律為

得到

則V（t）≤e-2CmtV（0），當(dāng)且僅當(dāng)t→∞時，φ˙→設(shè)計好的動力學(xué)控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 兩輪移動機(jī)器人動力學(xué)控制結(jié)構(gòu)Fig.3 The process of dynamics control

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證控制規(guī)律設(shè)計的有效性，分別對兩輪移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行仿真，并且進(jìn)行路徑為圓形的軌跡跟蹤。

3.1 運(yùn)動學(xué)仿真

為驗(yàn)證該方法的有效性，給出兩輪移動機(jī)器人的理想運(yùn)動軌跡，跟蹤移動機(jī)器人預(yù)設(shè)位置。設(shè)兩輪移動機(jī)器人的初始位置為［1 1 0］，其中位姿為x=cost，y=sint?？刂坡蔀槭剑?4）和（27）?？刂茀?shù)設(shè)c1=c2=c3=10，仿真結(jié)果如圖4～圖8所示。

圖4 x軸方向位置跟蹤Fig.4 The trajectory in x axis

圖6 速度控制輸入Fig.6 The linear velocity input of the vehicle

圖7 角速度控制輸入Fig.7 The angular velocity input of the vehicle

圖8 位置軌跡跟蹤Fig.8 The trajectory of the vehicle using kinematics control

從圖4運(yùn)動曲線看出，兩輪移動機(jī)器人在x軸方向按照給定參考軌跡移動時，兩輪移動機(jī)器人位置的瞬時值在初始狀態(tài)下，與初始值偏差較大，在backstepping控制器的控制下，兩輪移動機(jī)器人能夠在0.50 s的時間內(nèi)，能夠迅速縮小和參考軌跡的誤差。在0.5～20 s時間段內(nèi)，實(shí)際軌跡和參考軌跡幾乎重合。同理可得圖5，兩輪移動機(jī)器人在0.65 s后，實(shí)際軌跡與參考軌跡幾乎重合。并且由圖5看出，機(jī)器人運(yùn)動軌跡平滑，無跳躍，說明該控制器在控制運(yùn)動學(xué)有著良好的全局穩(wěn)定性。

圖5 y軸方向位置跟蹤Fig.5 The trajectory in y axis

3.2 動力學(xué)仿真

為驗(yàn)證backstepping控制規(guī)律在兩輪移動機(jī)器人動力學(xué)運(yùn)動中的有效性，本文采用兩輪移動機(jī)器人使用控制器前后的動力學(xué)進(jìn)行比較。取線速度為vd=1.0，角度φd=-cost。采用式（34）、（41）作為動力學(xué)控制規(guī)律，取參數(shù)c1=c2=c3=10。

從仿真圖9看出，未采用控制之前，兩輪移動機(jī)器人實(shí)際轉(zhuǎn)向角度與理想轉(zhuǎn)向角度值相差較遠(yuǎn)。轉(zhuǎn)矩曲線圖10中，未采用控制器的兩輪移動機(jī)器人左右輪轉(zhuǎn)矩曲線波動明顯。對比圖11和圖12，采用backstepping控制器后，兩輪移動機(jī)器人的轉(zhuǎn)動實(shí)際角度與期望角度在0～2 s有較大偏差，2 s后實(shí)際角度與理想角度曲線重合，成給定正弦曲線變化。采用控制器后的輸出左右輪轉(zhuǎn)矩曲線相較于未采用之前，曲線波動在1 s后逐漸趨于平穩(wěn)光滑。

圖9 未用backstepping控制器的兩輪移動機(jī)器人的角度跟蹤Fig.9 Angle tracking of the vehicle without backstepping controller

圖10 未使用backstepping控制器時兩輪移動機(jī)器人的轉(zhuǎn)矩跟蹤Fig.10 Torque tracking of the vehicle without backstepping controller

圖11 基于backstepping方法的兩輪移動機(jī)器人的角度跟蹤Fig.11 Angle tracking of the vehicle based on backstepping controller

圖12 基于backstepping控制器時兩輪移動機(jī)器人的轉(zhuǎn)矩跟蹤Fig.12 Torque tracking of the vehicle based on backstepping controller

從仿真結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計的控制律均能使各誤差參數(shù)快速收斂于0。該控制規(guī)律有以下優(yōu)點(diǎn)：引入虛擬量，采用backstepping控制器對運(yùn)動學(xué)的線速度和角速度進(jìn)行控制，對動力學(xué)的角度和轉(zhuǎn)矩進(jìn)行控制。如圖8和圖13所示，該控制器具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性，采用Lyapunov函數(shù)提高了跟蹤控制精度，實(shí)現(xiàn)了兩輪移動機(jī)器人快速有效跟蹤參考軌跡。

圖13 位置軌跡跟蹤Fig.13 The trajectory of the vehicle using dynamics control

4 結(jié)論

本文在兩輪移動機(jī)器人的模型基礎(chǔ)上，設(shè)計了backstepping控制算法對兩輪移動機(jī)器人的運(yùn)動軌跡進(jìn)行了控制，通過仿真驗(yàn)證了該控制方法的準(zhǔn)確性。首先對其運(yùn)動學(xué)進(jìn)行軌跡跟蹤控制，針對兩輪移動機(jī)器人的運(yùn)動特性，對其軌跡跟蹤進(jìn)行了深入的研究。其次對其動力學(xué)進(jìn)行控制算法的設(shè)計，使輸入量位置和理論位置保持在一定范圍內(nèi)，使機(jī)器人運(yùn)動軌跡有很好的平滑性。全文采用Lyapunov穩(wěn)定定理保證了兩輪移動機(jī)器人系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。