(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；2.大連銘云科技有限公司，大連 116023)

1 引 言

航天裝備大量采用網(wǎng)格加筋和周期性點(diǎn)陣等復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)，其重量占裝備結(jié)構(gòu)干重的60%以上，輕量化需求十分迫切[1]。尤其面向以空天飛行器為代表的新一代航天裝備，其承力薄壁在大型化和精細(xì)化設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢下，往往還面臨高剛度和高抗屈曲等極端承載需求，給輕量化設(shè)計(jì)造成極大挑戰(zhàn)[2]。繼續(xù)基于傳統(tǒng)正置正交或三角形等單一規(guī)則加筋形式開展薄壁設(shè)計(jì)，已難以滿足結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)高承載需求，只能通過犧牲結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能來實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)。因此，亟需發(fā)展創(chuàng)新結(jié)構(gòu)形式，并建立相應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，充分挖掘結(jié)構(gòu)承載潛力，為新一代航天裝備的高性能承力薄壁提供支撐。

多層級結(jié)構(gòu)是一類自然界常見的材料結(jié)構(gòu)形式，其層級化的材料結(jié)構(gòu)特點(diǎn)表現(xiàn)出高剛度、抗屈曲和抗缺陷等各種優(yōu)異的力學(xué)性能[3]。這種通過豐富材料的結(jié)構(gòu)層次來增強(qiáng)其力學(xué)性能的方法，為航天承力薄殼的創(chuàng)新結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了新的設(shè)計(jì) 思路。

受上述自然材料的啟發(fā)，本文針對航天裝備承力薄殼的高剛度和高抗失穩(wěn)設(shè)計(jì)需求，提出了一種薄壁結(jié)構(gòu)的多層級并發(fā)加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法，可同時(shí)給出主層級筋條布局形式和次層級點(diǎn)陣單胞構(gòu)型，構(gòu)成層級化的薄壁加筋結(jié)構(gòu)形式。通過不同層級的加筋設(shè)計(jì)來滿足如整體承載和局部抗屈曲等不同層次的承載需求，有效擴(kuò)展了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間，發(fā)掘利用結(jié)構(gòu)承載潛力，獲得高承載的薄壁結(jié)構(gòu)創(chuàng)新構(gòu)型。

2 國內(nèi)外現(xiàn)狀

早期的薄壁結(jié)構(gòu)加筋設(shè)計(jì)主要采用均勻周期性網(wǎng)格加筋，如正置正交加筋和等三角加筋等，由于其結(jié)構(gòu)形式相對簡單，可以通過全局啟發(fā)式參數(shù)優(yōu)化和梯度參數(shù)優(yōu)化的兩步驟流程獲得一組較優(yōu)異的設(shè)計(jì)參數(shù)[4]，然而，簡單的結(jié)構(gòu)形式難以應(yīng)對復(fù)雜且嚴(yán)苛的承載環(huán)境，采用復(fù)雜的預(yù)設(shè)結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行層級化結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化，其增加的參數(shù)變量又導(dǎo)致分析和優(yōu)化迭代計(jì)算量呈幾何式增長[5]。為解決該問題，代表性工作包括深度學(xué)習(xí)方法[6]，通過卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提取加筋布局特征，從而提升優(yōu)化迭代效率；近似求解方法[7]，解析地求解特定多層級加筋的失穩(wěn)系數(shù)，從而縮短單次計(jì)算時(shí)間等。多層級加筋的參數(shù)優(yōu)化研究表明，多層級加筋構(gòu)型表現(xiàn)出改善結(jié)構(gòu)整體剛度、局部穩(wěn)定性和可靠性等多方面優(yōu)點(diǎn)[8]。

然而，參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法受制于設(shè)計(jì)人員預(yù)先給出的構(gòu)型，難以改變加筋構(gòu)型拓?fù)?，對加筋布局設(shè)計(jì)域限制較大[9]。相對的，利用拓?fù)鋬?yōu)化方法獲取概念設(shè)計(jì)能極大挖掘結(jié)構(gòu)的承載能力。在薄壁加筋領(lǐng)域，隨著拓?fù)鋬?yōu)化理論的發(fā)展，學(xué)者研究了基結(jié)構(gòu)法[10]、沖壓約束[11,12]和B樣條參數(shù)描述[13]等數(shù)值處理技術(shù)，成功應(yīng)用于變密度法、水平集法和剛度擴(kuò)散法等拓?fù)鋬?yōu)化方法中，突破了早期經(jīng)典拓?fù)鋬?yōu)化方法低體分比和灰度單元等數(shù)值求解問題[14]，實(shí)現(xiàn)了利用拓?fù)鋬?yōu)化直接生成加筋特征，并在平面問題和中小規(guī)模的三維空間問題上取得了較好的成果。而針對包括航天裝備在內(nèi)的大規(guī)模模型問題，上述方法由于高自由度帶來的計(jì)算效率問題和復(fù)雜承載帶來的優(yōu)化收斂問題，難以得到實(shí)際工程應(yīng)用[15]。為解決該問題，有研究基于大型航天薄壁其加筋點(diǎn)陣尺寸遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，對單胞進(jìn)行了無限周期性的近似，實(shí)現(xiàn)了基于周期性邊界條件的等效數(shù)值方法，將周期性微結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為等效屬性，其中代表性的方法有代表體元法[16]和漸進(jìn)均勻化方法[17]。代表體元法在單胞邊界施加單位邊界條件，使代表性胞元與某種均勻結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能相等，然后求解該均勻結(jié)構(gòu)的材料屬性，力學(xué)意義直觀；漸進(jìn)均勻化方法則通過單位特征應(yīng)變進(jìn)行漸進(jìn)攝動(dòng)展開，具有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)。利用上述方法，將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換為材料設(shè)計(jì)，再根據(jù)單胞等效性能與結(jié)構(gòu)形式的關(guān)系，就實(shí)現(xiàn)了單胞結(jié)構(gòu)的逆均勻化設(shè)計(jì)，并成功應(yīng)用于大規(guī)模筒殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，有效提升了對薄壁結(jié)構(gòu)的可設(shè)計(jì)性[18]。

圖1 多層級加筋設(shè)計(jì)

圖2 漸進(jìn)均勻化雙尺度加筋單胞設(shè)計(jì)[18]

homogenization

面向新一代的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需求，為實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步豐富結(jié)構(gòu)形式，拓寬結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域，有學(xué)者提出多尺度設(shè)計(jì)方法[19]，將整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化稱為宏觀設(shè)計(jì)，并在其中增加一組單元內(nèi)的設(shè)計(jì)變量以表征材料屬性，稱為微觀設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)用一種弱材料替代實(shí)心材料，或先獲取多種材料屬性的整體布局，再通過逆均勻化設(shè)計(jì)對材料屬性進(jìn)行解釋[20]，實(shí)現(xiàn)了格柵點(diǎn)陣的構(gòu)型-布局并發(fā)設(shè)計(jì)[21]。該思路的代表工作是基于多孔各向異性材料法PAMP(Porous Anisotropic Material with Penalty)[22]的涂層-點(diǎn)陣填充優(yōu)化[23]，利用逆均勻化方法并發(fā)獲得了平面問題下的涂層點(diǎn)陣設(shè)計(jì)。面向三維問題的差異化構(gòu)型設(shè)計(jì)，有學(xué)者提出了實(shí)體-格柵并發(fā)優(yōu)化設(shè)計(jì)[24]，通過一個(gè)兩步驟的優(yōu)化進(jìn)程，實(shí)現(xiàn)了典型航天設(shè)備的加筋-微桁架布局設(shè)計(jì)，較傳統(tǒng)單層級結(jié)構(gòu)有極大性能提升。研究表明，層級化的設(shè)計(jì)思想可以提供優(yōu)越的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)潛力，但仍表現(xiàn)出較多限制。現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法或處理平面或小規(guī)模問題，而受限于優(yōu)化計(jì)算成本，對高自由度的空間問題適用性差；或以單元尺度表述微結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果約束于單元內(nèi)，優(yōu)化構(gòu)型在微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量尺度內(nèi)變化，層級設(shè)計(jì)不顯著；或使整體布局和微結(jié)構(gòu)分別設(shè)計(jì)，人為干預(yù)性強(qiáng)。

圖3 多尺度并發(fā)設(shè)計(jì)方法

基于上述討論，為實(shí)現(xiàn)一種適用于大規(guī)模模型的多層級并發(fā)加筋設(shè)計(jì)，需要解決現(xiàn)有研究難以進(jìn)行主次層級加筋構(gòu)型清晰表征并優(yōu)化的問題，突破空間問題下的多層級并發(fā)優(yōu)化技術(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)薄壁結(jié)構(gòu)多層級加筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。為此，本文發(fā)展了一種薄壁結(jié)構(gòu)多層級并發(fā)加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法，可同時(shí)獲得優(yōu)化的主層級稀疏加筋布局和次層級周期性點(diǎn)陣構(gòu)型，有效擴(kuò)展了薄壁結(jié)構(gòu)加筋設(shè)計(jì)的初始設(shè)計(jì)域。通過層級化的筋條構(gòu)型針對性承載不同類型的載荷，有利于提升薄壁結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷下的結(jié)構(gòu)承載效率，為工程薄壁結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)高承載設(shè)計(jì)提供了更先進(jìn)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化手段。

3 多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化方法

為實(shí)現(xiàn)層級化的主層級加筋與次層級點(diǎn)陣的并發(fā)優(yōu)化，需要對兩種結(jié)構(gòu)形式的構(gòu)型進(jìn)行統(tǒng)一描述，建立兩者間的等效剛度傳遞關(guān)系，并在每一次迭代中同步開展兩個(gè)層級的優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文提出的多層級并發(fā)加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)施流程如圖4所示。首先，同時(shí)構(gòu)建主層級筋條和次層級點(diǎn)陣的有限元數(shù)值模型，并根據(jù)設(shè)計(jì)需求初始化兩個(gè)層級的過濾和映射矩陣形式；然后，初始化或更新不同層級的設(shè)計(jì)變量，對于次層級點(diǎn)陣層次，計(jì)算其等效模量，并傳遞至主層級優(yōu)化進(jìn)程中，對于主層級模型，利用剛度和密度插值構(gòu)建整體有限元分析模型；最后，計(jì)算獲得響應(yīng)函數(shù)，同步獲得響應(yīng)函數(shù)對各層次設(shè)計(jì)變量的靈敏度，并將上述主次層級分析數(shù)據(jù)代入優(yōu)化求解器進(jìn)行求解。重復(fù)上述優(yōu)化過程直至滿足收斂條件，最終獲得優(yōu)化的多層級加筋薄壁結(jié)構(gòu)。

圖4 多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化流程

上述步驟的關(guān)鍵在于，需要建立主次層級間的等效剛度傳遞關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)兩者的并發(fā)優(yōu)化設(shè)計(jì)。還需要對周期性次層級結(jié)構(gòu)進(jìn)行等效表征，避免大規(guī)模的次層級分析導(dǎo)致優(yōu)化迭代耗時(shí)無法接受。此外，需要對主次層級設(shè)計(jì)域施加筋條幾何約束，使優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)為清晰的加筋形式。

3.1 多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化模型

多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化框架對主層級稀疏加筋和次層級點(diǎn)陣構(gòu)型進(jìn)行同時(shí)設(shè)計(jì)并優(yōu)化迭代。其中，次層級模型通過3.2節(jié)所述方法進(jìn)行構(gòu)建，主層級模型包含主層級加筋和次層級模型等效獲得的等效材料，兩者通過插值決定最終的剛度和密度?；谠撍枷?，優(yōu)化列式表示如下：

s.t.h(ρ,x)≤0

vm(ρ,x)≤0

ρ∈ρa(bǔ) d,x∈xa d

(1)

式中ρ為插值前的主層級有限元模型單元的偽密度，x為次層級點(diǎn)陣有限元模型單元的偽密度或幾何模型的控制參數(shù)，在3.2節(jié)進(jìn)行具體說明，ρ和x分別為主層級加筋和次層級點(diǎn)陣的設(shè)計(jì)變量，ρa(bǔ) d和xa d為其可行域。f為目標(biāo)函數(shù)，h為約束函數(shù)，vm為體分比約束。DM為主層級加筋和次層級點(diǎn)陣插值獲得的等效剛度，插值函數(shù)有多種表達(dá)形式，本文采用如下的剛度插值函數(shù)[25]，

(2)

(3)

多層級并發(fā)優(yōu)化的程序?qū)崿F(xiàn)流程總結(jié)如下。

Initialization： 建立多層級有限元分析模型，構(gòu)建次層級點(diǎn)陣等效模型，初始化模型參數(shù)和優(yōu)化參數(shù)，定義過濾矩陣(在3.3節(jié)說明)。

(1) 采用漸近均勻化方法求解次層級單胞的等效剛度屬性，計(jì)算等效剛度對次層級設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)(在3.2節(jié)說明)。

(2) 插值更新整體有限元模型，分析獲得目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)值及其對主層級加筋設(shè)計(jì)變量和次層級點(diǎn)陣等效材料屬性的導(dǎo)數(shù)。

(3) 通過鏈?zhǔn)椒▌t分別求解對所有設(shè)計(jì)變量的敏度。

(4) 求解優(yōu)化問題，更新設(shè)計(jì)變量，如果滿足收斂準(zhǔn)則則結(jié)束優(yōu)化，不滿足則返回步驟(1)。

3.2 次層級點(diǎn)陣單胞數(shù)值計(jì)算模型

為保證多層級并發(fā)優(yōu)化的可行性和設(shè)計(jì)可用性，采用合理的等效手段將周期性點(diǎn)陣進(jìn)行簡化極為重要。本文采用一種漸進(jìn)均勻化方法的新求解方法[17]對次層級點(diǎn)陣進(jìn)行等效，該方法通過將均勻化計(jì)算的單位應(yīng)變場改為等效的位移場，使均勻化計(jì)算格式更為簡便，簡要介紹如下。

首先，采用特征位移表達(dá)特征應(yīng)變，

(4)

(5)

根據(jù)單位應(yīng)變，獲得節(jié)點(diǎn)反力為

(6)

(7)

式中Ks p為附加周期性邊界條件的的單胞總剛度陣。進(jìn)而獲得等效剛度的有限元表達(dá)式為

(8)

基于上述方法，就實(shí)現(xiàn)了單胞模型的材料等效。如果采用殼單元進(jìn)行計(jì)算，則采用板殼的周期性漸進(jìn)均勻化方法[17]。本文后續(xù)算例均采用實(shí)體單元，故不詳細(xì)說明。

利用等效方法優(yōu)化單胞構(gòu)型，根據(jù)容許的計(jì)算時(shí)間、實(shí)際工程建模制造可行性等設(shè)計(jì)需求，本文給出兩種單胞結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法。第一種方法是單胞概念構(gòu)型拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。該方法直接建立完整的單胞有限元模型，次層級點(diǎn)陣的設(shè)計(jì)變量為次層級單胞有限元模型單元的偽密度，優(yōu)化迭代獲得拓?fù)鋬?yōu)化生成的單胞構(gòu)型。等效材料屬性對設(shè)計(jì)變量的敏度為

(9)

第二種方法是典型單胞構(gòu)型設(shè)計(jì)，通過構(gòu)建參數(shù)化的單胞幾何模型并進(jìn)行有限元離散，獲取等效材料屬性，次層級點(diǎn)陣的設(shè)計(jì)變量為幾何模型的控制參數(shù)。利用該方法，可以直接使次層級點(diǎn)陣表現(xiàn)為一些工程中常見的構(gòu)型(如三角形和六邊形)。為獲得參數(shù)化構(gòu)型等效剛度對設(shè)計(jì)變量的敏度，如果采用差分法，則需要在每次優(yōu)化迭代中進(jìn)行多次計(jì)算，計(jì)算成本遠(yuǎn)超出可接受范圍。構(gòu)建數(shù)值插值模型能夠有效在優(yōu)化迭代之前一次性完成所有計(jì)算，從而在后續(xù)迭代步驟中極大幅度縮小該步驟的計(jì)算時(shí)間[27]?；谏鲜鰡栴}，本文提出一種基于徑向基插值函數(shù)RBF(Radial Basis Function)[28]的次層級單胞快速等效流程。徑向基模型的表達(dá)式為

(10)

(11)

(12)

式中c為基函數(shù)的控制參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)對變量的敏度可以根據(jù)表達(dá)式顯式地計(jì)算。改變模型參數(shù)建立多個(gè)有限元模型，獲得等效剛度中的所有獨(dú)立變量，就可以構(gòu)建多個(gè)獨(dú)立變量對參數(shù)的徑向基函數(shù)，并采用擬合精度評判標(biāo)準(zhǔn)對代理模型的精度進(jìn)行評判，對于樣本量較小的模型，常用的評判標(biāo)準(zhǔn)有R2，Adj-R2和均方根誤差等[28]。對于部分工程構(gòu)型，也可以參考其等效剛度解析表達(dá)式的研究[29]。為保證單胞的幾何特征，在選取周期性結(jié)構(gòu)的單胞形狀時(shí)需要盡量選擇其代表胞元，并且控制單胞尺寸，使其周期陣列與宏觀整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域相匹配。由于漸進(jìn)均勻化計(jì)算的周期性邊界條件施加在單胞上，對單胞單元的數(shù)值處理均需要施加周期性條件。

3.3 優(yōu)化的數(shù)值處理方法

變密度法拓?fù)鋬?yōu)化需要通過過濾和映射方法處理棋盤格、灰度單元和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值問題，薄壁結(jié)構(gòu)的多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化方法還需要處理薄壁結(jié)構(gòu)的多層級加筋表征問題。

基于偏微分方程的Helmholtz過濾方法由于不依賴單元臨域搜索，在大規(guī)模模型上表現(xiàn)出較大優(yōu)勢[29]，并可以通過修改其過濾半徑，僅通過單元法向就可以實(shí)現(xiàn)大部分結(jié)構(gòu)的加筋特征約束表征[11]。有限元離散的Helmholtz方程可表示為

(13)

(14)

式中N為形函數(shù)，c為表示擴(kuò)散效果的3×3二階正定張量，

(15)

式中V為單元空間向量的正交基，其中vn為加筋方向，根據(jù)數(shù)學(xué)描述或單元坐標(biāo)法向量獲得，R為過濾半徑，rn設(shè)置為一個(gè)足夠大的值(遠(yuǎn)大于厚度方向)，使過濾后vn方向的密度分布保持水平，在密度過濾時(shí)同時(shí)實(shí)現(xiàn)加筋特征的約束。

對于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，其單元編號規(guī)律簡單可循，可以直接設(shè)置變量連接以實(shí)現(xiàn)加筋特征約束，該線性映射表示為

ρe=Lρd

(16)

式中ρe為次層級單胞的偽密度，ρd為設(shè)置了變量連接后優(yōu)化問題的實(shí)際設(shè)計(jì)變量，L為映射矩陣，該矩陣的構(gòu)建方法為其第i列的第j行為1，使第j個(gè)單元的密度等于第i個(gè)單元的密度。

為解決灰度單元的問題，本文采用Heaviside密度映射[30],

(17)

運(yùn)用上述數(shù)值處理方法，任意響應(yīng)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的靈敏度需要按照鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行修正。

4 算例分析

4.1 四角簡支的方板最小化柔順度優(yōu)化

以方形板為例，說明本方法在復(fù)合載荷條件下的剛度最大化問題。方板板長a=1000 mm，板厚為t=20 mm，主層級加筋筋高為hm=280 mm，次層級點(diǎn)陣高度為hs=130 mm。材料選用鋁，彈性模量E=71000 MPa，泊松比ν=0.3。底面的四個(gè)頂點(diǎn)沿三個(gè)方向固定，使板處于簡支狀態(tài)，施加兩個(gè)載荷，載荷N1=10000 N為板中心垂直朝向面外的集中力，載荷N2=1000 N為面內(nèi)對邊雙向垂直的均布壓力。模型采用100×100×12的8節(jié)點(diǎn)六面體單元進(jìn)行離散，其中板厚劃分3層單元，為不可設(shè)計(jì)域，主層級加筋設(shè)計(jì)域包含8層單元，次層級點(diǎn)陣包含設(shè)計(jì)域的下4層單元。主層級加筋沿板厚度方向設(shè)置變量連接。此外，作為一種合理的工程實(shí)踐，優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)置沿板邊垂直平分線對稱的變量連接約束，因此，主層級設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)為100×100÷4=2500。結(jié)構(gòu)整體的體積約束設(shè)為15%。

圖5 四邊簡支方板模型

本算例優(yōu)化列式采用方程(1)，其中，目標(biāo)函數(shù)f為結(jié)構(gòu)柔順度C，其可表示為

(18)

式中DM為主層級加筋和次層級點(diǎn)陣插值獲得的等效剛度，由設(shè)計(jì)變量ρ和x決定，Kk為整體模型單元?jiǎng)偠汝嚕瑄k為有限元求解的單元位移。多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化的靈敏度推導(dǎo)分為兩部分，對主層級加筋設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)和對次層級點(diǎn)陣設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。對于本問題，目標(biāo)函數(shù)對主層級加筋的靈敏度推導(dǎo)與傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法類似，基于伴隨法，可表示為

(19)

式中g(shù)′(ρ)為材料插值函數(shù)對宏觀設(shè)計(jì)變量的敏度，對于本文選取的插值函數(shù)，g′(ρ=pαρ(p -1)-α。在實(shí)際處理中，可以首先計(jì)算剛度相同單元的應(yīng)變能，然后再將g′(ρ)作為系數(shù)相乘以減少重復(fù)計(jì)算。

目標(biāo)函數(shù)對次層級點(diǎn)陣等效材料的敏度為

(20)

由于等效剛度系數(shù)含21個(gè)獨(dú)立變量，因此對每個(gè)單元需要計(jì)算21次，為提升計(jì)算效率，可以按照同樣的方法減少重復(fù)計(jì)算，并由于單元層級內(nèi)每個(gè)計(jì)算之間沒有耦合效應(yīng)，可以采用并行計(jì)算技術(shù)加快求解效率。獲取目標(biāo)函數(shù)對次層級點(diǎn)陣單胞材料系數(shù)的靈敏度后，再根據(jù)3.2節(jié)方法，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t就可以求得目標(biāo)函數(shù)對微觀設(shè)計(jì)變量的敏度。約束函數(shù)h為最大尺寸約束，通過控制半徑內(nèi)的總材料密度，使優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)為加筋形式，本文采用如下的表達(dá)形式[31]，

(21)

式中pn為p范數(shù)參數(shù)，γ為局部尺寸約束上限。

為完整展示多層級加筋優(yōu)化方法，并與傳統(tǒng)單層級加筋優(yōu)化方法進(jìn)行對比，本節(jié)共開展三個(gè)優(yōu)化，優(yōu)化1為傳統(tǒng)單層級優(yōu)化，優(yōu)化2為基于典型單胞構(gòu)型設(shè)計(jì)的多層級并發(fā)優(yōu)化，優(yōu)化3為單胞概念構(gòu)型拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的多層級并發(fā)優(yōu)化。在實(shí)際處理上，三個(gè)優(yōu)化問題的區(qū)別表現(xiàn)為其次層級模型處理上的不同,優(yōu)化1等價(jià)于多層級并發(fā)優(yōu)化中直接令次層級剛度為0。優(yōu)化2采用正置正交的加筋形式，并利用3.2節(jié)所述方法進(jìn)行等效。為準(zhǔn)確描述材料的性能，提供大量不同尺寸的模型進(jìn)行擬合，由于參數(shù)化建模和有限元分析的處理不進(jìn)入優(yōu)化迭代循環(huán)，因此對整體計(jì)算時(shí)間沒有顯著影響。優(yōu)化3構(gòu)建次層級單胞網(wǎng)格為100×100×10，并沿厚度方向設(shè)置變量連接，因此次層級設(shè)計(jì)變量為100×100=10000個(gè)。

優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。為更清晰地表示優(yōu)化結(jié)果，通過后處理將次層級點(diǎn)陣構(gòu)型完整展示在整體模型上。圖6的三個(gè)優(yōu)化結(jié)果的柔順度依次為2564.8 J，2363.7 J和2355.3 J。典型構(gòu)型次層級點(diǎn)陣的多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中，主層級加筋與次層級點(diǎn)陣的材料體積比例為VM∶VS=70.9%∶29.1%，拓?fù)錁?gòu)型次層級點(diǎn)陣的多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中，主層級加筋與次層級點(diǎn)陣的材料體積比例為VM∶VS=70.8%∶29.2%。

圖6 方板拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

將優(yōu)化結(jié)果總結(jié)如圖7所示，可以看出，多層級并發(fā)優(yōu)化獲得了主層級稀疏加筋和次層級點(diǎn)陣的層級化結(jié)構(gòu)形式，與單層級加筋優(yōu)化的結(jié)構(gòu)形式區(qū)別顯著。多層級并發(fā)優(yōu)化剛度較單層級優(yōu)化剛度有較大提升，兩個(gè)多層級優(yōu)化結(jié)果(圖6(b,c))相對于單層級優(yōu)化結(jié)果(圖6(a))，柔順度分別減小了7.8%和8.2%。該結(jié)果表明，通過多層級并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化方法，獲得的多層級加筋構(gòu)型承載能力優(yōu)于單層級加筋構(gòu)型。

圖7 算例1的優(yōu)化結(jié)果對比

為進(jìn)一步討論載荷邊界對優(yōu)化結(jié)果的影響，修改本算例的載荷大小，分別令N1或N2=0，開展兩個(gè)新的優(yōu)化算例。優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。可以看出，對于僅存在面外集中力N1的載荷工況，最終的優(yōu)化結(jié)果僅包含主層級稀疏加筋，呈現(xiàn)為斜十字形加筋形式，而次層級點(diǎn)陣體積約為0，這一結(jié)果與該問題的一般解[9,10,32]相同；而對于只有對邊壓力N2的載荷工況，其結(jié)果僅包含次層級點(diǎn)陣構(gòu)型，主層級筋條體積約為0，呈現(xiàn)為非均勻的正置正交構(gòu)型。

圖8 修改承載條件下的多層級優(yōu)化結(jié)果

上述結(jié)果表明，盡管多層級加筋結(jié)構(gòu)形式拓展了薄壁結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)空間，但優(yōu)化結(jié)果的層級化程度與載荷邊界具有強(qiáng)相關(guān)性，單一載荷邊界下的優(yōu)化結(jié)果可能不呈現(xiàn)為多層級構(gòu)型。具體而言，對于單一的集中載荷邊界，優(yōu)化結(jié)果往往呈現(xiàn)為稀疏的主層級加筋形式，且主層級筋條布局接近當(dāng)前工況下的最優(yōu)傳力路徑，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體柔順度最小化；對于單一的均布載荷邊界，優(yōu)化結(jié)果往往呈現(xiàn)為密集的周期性加筋構(gòu)型，均勻化地增強(qiáng)結(jié)構(gòu)整體，從而抵抗均勻的載荷；對于兼具集中載荷與均布載荷的復(fù)雜載荷邊界，此時(shí)優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)為多層級加筋構(gòu)型，通過主層級筋條抵抗集中載荷，通過次層級筋條抵抗均布載荷，從而獲得更高承載性能的優(yōu)化結(jié)果。

4.2 穩(wěn)定性約束下的加筋曲殼最小柔順度優(yōu)化

本節(jié)以曲殼為例，展示本方法在剛度和穩(wěn)定性的雙重設(shè)計(jì)需求下的優(yōu)化效果。加筋曲殼幾何模型如圖9所示，為一個(gè)1/6圓柱殼，其直邊長d=500 mm，外徑r=250 mm，殼厚t=2 mm，筋高h(yuǎn)=8 mm，次層級點(diǎn)陣的高度為主層級筋條的一半，材料選用鋼，彈性模量E=210000 MPa，泊松比ν=0.37。曲殼兩端約束垂直于曲殼方向的兩個(gè)自由度，并施加朝向曲殼內(nèi)的均勻軸壓N=800 N。

圖9 曲殼模型

模型劃分為48384個(gè)六面體單元，其中殼厚為3層單元。加筋約束采用3.3節(jié)所述的各向異性過濾方法生成加筋，設(shè)置加筋方向過濾半徑rn=1500。體分比約束為30%，主層級設(shè)計(jì)變量為48384個(gè)。優(yōu)化目標(biāo)為在保證結(jié)構(gòu)一階線性臨界失穩(wěn)系數(shù)大于1的前提下最小化結(jié)構(gòu)柔順度。對于該問題，注意需要對次層級等效材料的主方向進(jìn)行設(shè)置，彈性矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣表達(dá)式為

(22)

本算例的優(yōu)化列式采用方程(1)，其中，目標(biāo)函數(shù)f為結(jié)構(gòu)柔順度C，其表達(dá)式和敏度推導(dǎo)與4.1節(jié)相同。約束函數(shù)h為結(jié)構(gòu)一階線性臨界失穩(wěn)載荷，其計(jì)算及其敏度計(jì)算推導(dǎo)如下。一般而言，求解結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界承載力的特征值問題是求解其逆特征值為

(23)

式中Kσ M為初應(yīng)力矩陣(幾何剛度陣)，KM為結(jié)構(gòu)剛度陣，兩者均通過主層級加筋和次層級點(diǎn)陣剛度插值并組合。單元的初應(yīng)力矩陣表示為

(24)

式中G為排序后的形函數(shù)微分項(xiàng)，S為結(jié)構(gòu)應(yīng)力矩陣，其表示為

(25)

(26)

KM的相關(guān)計(jì)算見4.1節(jié)。Kσ M對任意設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)為

(27)

為避免計(jì)算?u/?x，利用伴隨法計(jì)算如下,

(28)

式中伴隨向量v根據(jù)以下伴隨方程求解，

(29)

式中Kσ M的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算只需要計(jì)算其中結(jié)構(gòu)應(yīng)力矩陣S的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于其分項(xiàng)s的計(jì)算表達(dá)式為

(30)

式中I為單位矩陣。對次層級單胞設(shè)計(jì)變量的敏度同樣利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算獲得。

構(gòu)建與4.1節(jié)相似的三個(gè)優(yōu)化問題，其中，優(yōu)化2選用正三角形單胞，優(yōu)化3構(gòu)建單胞模型劃分為80×80×20個(gè)單元，沿厚度方向設(shè)置變量連接，并設(shè)置對稱約束，變量數(shù)為80×80÷4=1600。

優(yōu)化結(jié)果如圖10所示，圖10的三個(gè)優(yōu)化結(jié)果的一階失穩(wěn)系數(shù)依次為1.52，1.28和1.36，滿足穩(wěn)定性約束，三者的柔順度依次為506.88 kJ，432.19 kJ和372.08 kJ。典型構(gòu)型次層級點(diǎn)陣的多層級并發(fā)優(yōu)化結(jié)果中，主層級加筋與次層級點(diǎn)陣的材料體積比例為VM∶VS=60.1%∶39.9%，拓?fù)錁?gòu)型次層級點(diǎn)陣的多層級并發(fā)優(yōu)化結(jié)果中，主層級加筋與次層級點(diǎn)陣的材料體積比例為VM∶VS=66.5%∶33.5%。將優(yōu)化結(jié)果總結(jié)如圖11所示，并展示了三個(gè)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的一階失穩(wěn)模態(tài)。結(jié)果顯示，兩個(gè)多層級優(yōu)化結(jié)果(圖10(b，c))相對于單層級優(yōu)化結(jié)果(圖10(a))，柔順度分別減小了14.7%和26.6%，多層級并發(fā)優(yōu)化的剛度相對于單層級優(yōu)化有顯著提升。

圖10 曲殼優(yōu)化結(jié)果

圖11 算例2的優(yōu)化結(jié)果對比

本節(jié)算例的多層級并發(fā)優(yōu)化構(gòu)型同樣呈現(xiàn)出與單層級加筋優(yōu)化的明顯區(qū)別。在雙重設(shè)計(jì)目標(biāo)的復(fù)雜約束下，單層級加筋結(jié)構(gòu)為提升結(jié)構(gòu)抗失穩(wěn)能力，將部分材料布置于非直接傳力路徑，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體剛度下降，而多層級加筋構(gòu)型通過主次層級筋條共同作用，在保證結(jié)構(gòu)整體承載能力的同時(shí)，同步增強(qiáng)薄殼整體和局部抗彎剛度，改變結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài)，提升結(jié)構(gòu)抗屈曲能力。其次，上述算例中，在相同的屈曲約束下，拓?fù)潼c(diǎn)陣優(yōu)化構(gòu)型的結(jié)構(gòu)承載力明顯優(yōu)于預(yù)設(shè)的正三角點(diǎn)陣優(yōu)化構(gòu)型，前者的柔順度降低程度是后者的1.8倍。這說明，相比傳統(tǒng)單層級加筋和典型次層級點(diǎn)陣的多層級加筋設(shè)計(jì)，主層級筋條布局和次層級點(diǎn)陣構(gòu)型的共同設(shè)計(jì)可給出更優(yōu)的兼具剛度和抗屈曲承載能力的薄壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

5 結(jié) 論

本文提出了一種薄壁結(jié)構(gòu)的多層級并發(fā)加筋設(shè)計(jì)方法，在一次拓?fù)鋬?yōu)化求解中同時(shí)生成主層級稀疏加筋和次層級密集點(diǎn)陣構(gòu)型，擴(kuò)展了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)空間，獲得創(chuàng)新結(jié)構(gòu)形式，利用主次層級的筋條結(jié)構(gòu)針對性地抵抗復(fù)雜載荷邊界，有效提升了材料利用率。優(yōu)化算例表明，多層級并發(fā)加筋可以優(yōu)化兩層級加筋的體積比例及兩層級加筋的拓?fù)洳季?，?yōu)化結(jié)構(gòu)承載效率，在復(fù)雜邊界環(huán)境及設(shè)計(jì)指標(biāo)下，主次層級加筋可以協(xié)同作用，有效提升結(jié)構(gòu)承載能力。本方法提供的優(yōu)化構(gòu)型工程實(shí)用性強(qiáng)，能夠有效應(yīng)用于航天裝備的薄壁結(jié)構(gòu)優(yōu)化，也可以延拓至常見薄壁結(jié)構(gòu)主承力結(jié)構(gòu)，從而有效提升裝備薄壁結(jié)構(gòu)的承載效率。

參考文獻(xiàn)(References):

[1] 王 博，郝 鵬，田 闊.加筋薄殼結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)研究進(jìn)展[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2019,36(1):1-12.(WANG Bo,HAO Peng,TIAN Kuo.Recent advances in structural analysis and optimization of stiffened shells [J].ChineseJournalofComputationalMe-chanics,2019,36(1):1-12.(in Chinese))

[2] 全棟梁,時(shí)光輝,關(guān)成啟,等.結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)在高速飛行器上的應(yīng)用與面臨的挑戰(zhàn)[J]:力學(xué)與實(shí)踐,2019,41(4):373-381,415:(QUAN Dong-liang,SHI Guang-hui,GUAN Cheng-qi,et al.Applications and challenges of structural optimization in high-speed aerocraft [J].MechanicsinEngineering,2019,41(4):373-381,415.(in Chinese))

[3] Fratzl P,Weinkamer R.Nature’s hierarchical materials[J].ProgressinMaterialsScience,2007,52(8):1263-1334.

[4] Bagheri M,Jafari A A,Sadeghifar M.A genetic algorithm optimization of ring-stiffened cylindrical shells for axial and radial buckling loads[J].ArchiveofAppliedMechanics,2011,81(11):1639-1649.

[5] 鄧亞權(quán).基于代理模型的結(jié)構(gòu)疲勞壽命優(yōu)化方法、軟件及應(yīng)用[D].南京航空航天大學(xué),2010.(DENG Ya-quan.Method,Software and Application of Structural Fatigue Life Optimization Based on Metamodels[D].Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2010.(in Chinese))

[6] Hao P,Liu D C,Zhang K P,et al.Intelligent layout design of curvilinearly stiffened panels via deep lear-ning-based method[J].Materials&Design,2021,197:109180.

[7] 徐元銘，李松澤.整體次加筋壁板屈曲載荷近似計(jì)算方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2015,41(3):369-374.(XU Yuan-ming,LI Song-ze.Approximate calculation method of buckling load on integral sub-stiffened panel[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics,2015,41(3):369-374.(in Chinese))

[8] Wang B,Tian K,Zhou C H,et al.Grid-pattern optimization framework of novel hierarchical stiffened shells allowing for imperfection sensitivity[J].AerospaceScienceandTechnology,2017,62:114-121.

[9] 鐘煥杰.薄壁加筋結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法研究[D].南京航空航天大學(xué),2015.(ZHONG Huan-jie.Research on Topology Optimization of Stiffened Plates[D].Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2015.(in Chinese))

[10] 董小虎，丁曉紅.基于自適應(yīng)成長法的周期性加筋結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].中國機(jī)械工程,2018,29(17):2045-2051.(DONG Xiao -hu,DING Xiao -hong.Topology optimum design method for periodic stiffe -ner structures based on adaptive growth method[J].ChinaMechanicalEngineering,2018,29(17):2045-2051.(in Chinese))

[11] Wang B,Zhou Y,Tian K,et al.Novel implementation of extrusion constraint in topology optimization by Helmholtz-type anisotropic filter[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2020,62(4):2091-2100.

[12] 張衛(wèi)紅，章勝冬，高 彤.薄壁結(jié)構(gòu)的加筋布局優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].航空學(xué)報(bào),2009,30(11):2126-2131.(ZHANG Wei-hong,ZHANG Sheng-dong,GAO Tong.Stiffener layout optimization of thin walled structures[J].ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2009,30(11):2126-2131.(in Chinese))

[13] Feng S Q,Zhang W H,Meng L,et al.Stiffener layout optimization of shell structures with B -spline parame -terization method[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2021,63(6):2637-2651.

[14] Olhoff N,Bends?e M P,Rasmussen J.On CAD -integrated structural topology and design optimization[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1991,89(1-3):259-279.

[15] Wagner H N R,Hühne C,Rohwer K,et al.Stimulating the realistic worst case buckling scenario of axially compressed unstiffened cylindrical composite shells[J].CompositeStructures,2017,160:1095-1104.

[16] Xia Z H,Zhang Y F,Ellyin F.A unified periodical boundary conditions for representative volume elements of composites and applications[J].InternationalJournalofSolidsandStructures,2003,40(8):1907-1921.

[17] 蔡園武.周期性板結(jié)構(gòu)的漸近均勻化方法及微結(jié)構(gòu)優(yōu)化[D].大連理工大學(xué),2014.(CAI Yuan-wu.Asymp -totic Homogenization of Periodic Plate and Micro -Structural Optimization[D].Dalian University of Technology,2014.(in Chinese))

[18] Zhou Y,Tian K,Xu S L,et al.Two -scale buckling topology optimization for grid-stiffened cylindrical shells[J].Thin-WalledStructures,2020,151:106725.

[19] Wu J,Sigmund O,Groen J P.Topology optimization of multi-scale structures:a review[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2021,63(3):1455-1480.

[20] Rodrigues H,Guedes J M,Bendsoe M P.Hierarchical optimization of material and structure[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization，2002,24(1):1-10.

[21] 易斯男.基于均勻化的周期性梁板結(jié)構(gòu)降階及拓?fù)鋬?yōu)化[D].大連理工大學(xué),2015.(YI Si-nan.Model Reduction and Topology Optimization of Periodic Beam and Plate Structure Based on Homogenization[D].Dalian University of Technology,2015.(in Chinese))

[22] 劉 嶺，閻 軍，程耿東.考慮均一微結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)/材料兩級協(xié)同優(yōu)化[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2008,25(1):29-34.(LIU Ling,YAN Jun,CHENG Geng-dong.Structure -material concurrent optimization considering uniform material microstructure[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2008,25(1):29-34.(in Chinese))

[23] Wadbro E,Niu B.Multiscale design for additive ma-nufactured structures with solid coating and periodic infill pattern[J].ComputerMethodsinAppliedMe-chanicsandEngineering，2019,357:112605.

[24] Wang C,Zhu J H,Wu M Q,et al.Multi-scale design and optimization for solid-lattice hybrid structures and their application to aerospace vehicle components[J].ChineseJournalofAeronautics，2021,34(5):386-398.

[25] Sigmund O.Design of multiphysics actuators using topology optimization.Part II:Two -material structures[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering，2001,190(49-50):6605-6627.

[26] Zhu J H,Zhang W H,Beckers P.Integrated layout design of multi-component system[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering，2009,78(6):631-651.

[27] Wang C,Gu X J,Zhu J H,et al.Concurrent design of hierarchical structures with three -dimensional para-meterized lattice microstructures for additive manufacturing[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization，2020,61(3):869-894.

[28] 艾依斯，張愛蓮，吳義忠.一種改進(jìn)的RBF全局優(yōu)化方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012,48(15):43-48.(AI Yi-si,ZHANG Ai-lian,WU Yi-zhong.Improved global optimization method using radial basis functions[J].ComputerEngineeringandApplications,2012,48(15):43-48.(in Chinese))

[29] Lazarov B S,Sigmund O.Filters in topology optimization based on Helmholtz-type differential equations[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering，2011,86(6):765-781.

[30] Guest J K,Prévost J H,Belytschko T.Achieving minimum length scale in topology optimization using nodal design variables and projection functions[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering，2004,61(2):238-254.

[31] Guest J K.Imposing maximum length scale in topology optimization[J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization，2009,37(5):463-473.

[32] 崔榮華.基于拓?fù)鋬?yōu)化框架的薄板加強(qiáng)筋布局優(yōu)化[D].大連理工大學(xué),2019.(CUI Rong-hua.Layout Optimization of Stiffeners Based on Topology Optimization Framework[D].Dalian University of Techno -logy,2019.(in Chinese))