(北京航空航天大學 航空科學與工程學院 固體力學研究所，北京 100191)

1 引 言

結構優(yōu)化問題是指在滿足給定的幾何約束、材料約束和狀態(tài)約束條件下，尋求使得給定目標最優(yōu)的設計。結構優(yōu)化可以分為三個層次，從低到高分別是尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。結構拓撲優(yōu)化能夠設計結構的拓撲構型，相比于尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化具有更加廣泛的設計空間，因而能夠取得更大的經(jīng)濟效益。桁架結構廣泛應用于航空航天和土木工程領域，如衛(wèi)星天線支撐結構和大跨度橋梁。隨著數(shù)值優(yōu)化方法和計算機科學的巨大進步，桁架結構的拓撲優(yōu)化受到廣泛研究并逐步應用到實際工程中[1-4]。值得注意的是，在大多數(shù)的研究中，結構的材料特性和外載荷假定為確定性的。

然而在實際工程中，材料性能的分散性以及外部載荷的波動可能會對結構的功能產(chǎn)生較大的影響。在這種情況下，提出了基于概率理論的可靠性拓撲優(yōu)化設計，并得到了廣泛的研究。陳建軍等[5]對具有位移和應力概率可靠性約束的桁架結構拓撲優(yōu)化問題進行了初步研究。Bae等[6]利用傳統(tǒng)的一階可靠度分析方法,對考慮彈性模量、厚度及荷載為概率分布不確定量的平面問題進行可靠度拓撲優(yōu)化。Kharmanda等[7]提出以應變能最小化為目標的可靠度優(yōu)化模型。Jung等[8]研究了三維幾何非線性結構的概率可靠度拓撲優(yōu)化問題。在實際工程中，Maute等[9]則對微電子機械系統(tǒng)(MEMS)進行了可靠性拓撲優(yōu)化設計。

實際工程不易精確獲得不確定性信息數(shù)據(jù)，但是對于不確定性信息的不確定界限卻比較容易給出。基于這一思想，Ben-Haim[10]首次提出了基于凸集合模型的非概率可靠性概念。近年來，非概率可靠性理論得到了迅速的發(fā)展[11,12]，基于非概率的可靠性拓撲優(yōu)化的研究也取得了一定的進展。羅陽軍等[13]考慮材料、幾何及載荷大小的不確定性，提出了以結構體積最小化為目標，具有位移非概率可靠性約束的三維連續(xù)體拓撲優(yōu)化數(shù)學模型?？簯?zhàn)等[14]利用凸模型理論，提出了改進的非概率可靠性指標定義，并針對桁架結構拓撲優(yōu)化設計問題建立了以桿件截面積為設計變量和結構重量極小化為目標，具有非概率可靠性指標約束的廣義尺寸優(yōu)化數(shù)學模型。Wang等[15]考慮材料及載荷大小的不確定性，利用基于面積比的可靠性定義，研究了柔順度約束下桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。

本文利用基于面積比的可靠性定義，研究了柔順度約束下桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。與Wang等[15]的研究不同，Wang等[15]從幾何上提出了偏移距離的概念，從而解決了原可靠性拓撲優(yōu)化問題求解過程中存在的收斂性問題，而本文從代數(shù)的角度提出了功能度量法，完全從代數(shù)角度推導了目標功能度量的計算表達式，在這個過程中，采用了先計算再判定的策略。Wang等[15]采用的偏移距離方法在柔順度許用值由區(qū)間退化為實數(shù)時不再適用，因為此時無法將實際柔順度區(qū)間和柔順度許用值區(qū)間表示在二維坐標系中，而本文提出的功能度量法是普適的。

本文采用區(qū)間模型來描述材料性質(zhì)(彈性模量)和載荷大小的不確定性，利用參數(shù)頂點組合法來完成結構柔順度上下界的計算，利用基于面積比的非概率可靠性定義構建了桁架結構的可靠性拓撲優(yōu)化模型。提出了功能度量法，來解決原可靠性拓撲優(yōu)化問題求解過程中存在的收斂性問題。最后，通過數(shù)值算例驗證本文提出方法的有效性。

2 桁架結構拓撲優(yōu)化問題描述

桁架結構在以體積為目標，柔順度為約束下的拓撲優(yōu)化問題可以表示為

s.t.F=Ku

C=FTu≤Cl

0

(1)

式中A=(A1,A2,…,AN)T表示設計變量，V為桁架結構的總體積，N為桿件的數(shù)量，Ak和Lk分別為第k個桿件的橫截面積和長度，F(xiàn)為外載荷列向量，K為結構的總體剛度矩陣，u為結點位移列向量，C=FTu表示結構的柔順度，體現(xiàn)了桁架結構在當前載荷下的總體剛度，Cl為結構柔順度的許用值，Amin是為了避免剛度矩陣奇異而設置的下限，Amax為桿件容許最大橫截面積。

利用桿件的容許最大橫截面積，對設計變量進行如下處理，

xk=Ak/Amax

(2)

則式(1)的優(yōu)化模型可以轉化為

s.t.F=Ku

C=FTu≤Cl

0

(3)

式中x=(x1,x2,…,xN)成為了新的設計變量。

3 桁架結構非概率可靠性拓撲優(yōu)化

3.1 區(qū)間模型

傳統(tǒng)的桁架結構拓撲優(yōu)化是在假定結構材料參數(shù)和載荷參數(shù)是確定性參數(shù)下進行的，無法計及實際工程存在的不確定性影響。本文利用區(qū)間參數(shù)來描述材料彈性模量和外載荷大小的不確定性。區(qū)別于傳統(tǒng)的概率模型，用概率密度函數(shù)來描述隨機變量的特征，區(qū)間模型用參數(shù)的上下界來描述不確定性特征。通常，區(qū)間數(shù)可以表示為

(4)

3.2 結構響應傳播分析

當結構的材料參數(shù)(彈性模量)和外部載荷大小為區(qū)間量時，結構的響應也是區(qū)間量。由于結構柔順度關于材料彈性模量和載荷大小是單調(diào)的，因此可以采用參數(shù)頂點組合法來確定結構柔順度的上下界。當考慮區(qū)間不確定性時，結構靜力方程為

KI(b)uI(b)=F

(5)

式中b為不確定參數(shù)列向量。在不同的參數(shù)頂點下，進行靜力有限元計算，然后計算結構的柔順度值，則結構柔順度的上下界可以從這些值的最大值和最小值得到。基于參數(shù)頂點組合法，結構的柔順度上下界可以求解為

(6)

式中CI為結構柔順度區(qū)間。

3.3 非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型

當計及不確定性的影響時，必須構建可靠性拓撲優(yōu)化模型。桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型可以表示為

s.t.F=Ku

Amin/Amax≤xk≤1 (k=1,…,N)

(7)

(8)

當結構的柔順度上下界已知時，可以利用式(8)進行非概率可靠度計算，從而可以構建桁架結構非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型。

4 求解策略

4.1 基于功能度量法的可靠度約束轉換

當采用梯度類優(yōu)化算法直接求解式(7)的優(yōu)化問題時，可能會存在收斂困難。因此，需要采取一定的轉化策略對原可靠度進行等價轉換。首先定義功能度量函數(shù)

(9)

圖1 功能度量函數(shù)G (h)和功能度量h的關系

基于功能度量函數(shù)，原來的柔順度可靠性約束可以表示為

(10)

(11)

式中h*稱為目標功能度量?；谑?10)的可靠性約束處理方式稱為可靠性指標法，基于式(11)的可靠性約束處理方式稱為功能度量法。

圖2 可靠度指標法和功能度量法的比較

因此，本文采用功能度量法對結構柔順度可靠性約束進行處理，則桁架結構非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型可以表示為

s.t.F=Ku

h*≥0

Amin/Amax≤xk≤1 (k=1,…,N)

(12)

4.2 目標功能度量求解

(13)

(14)

4.3 目標功能度量的靈敏度求解

當采用梯度類優(yōu)化算法對桁架結構非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題進行求解時，需要計算目標功能度對設計變量的導數(shù)。

結合式(14)，利用復合函數(shù)求導法則，目標功能度h*對第k個設計變量xk的靈敏度可求解為

(15)

(16)

5 數(shù)值算例

5.1 算例1

本文采用移動漸近算法(MMA)對優(yōu)化問題進行求解。如圖3所示，一個桁架結構在下面兩個點A和B固定，在上面中間的點C有一個向右的集中載荷Fc x。假設材料的彈性模量以及集中力的大小為區(qū)間量。算例1相關參數(shù)的值列入表1。

圖3 算例1桁架結構

表1 算例1相關參數(shù)的值

從圖5可以看出，確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化在最終的拓撲優(yōu)化構型上有很大的不同，說明了在結構的概念設計階段(拓撲優(yōu)化)考慮不確定性影響是必要的。由圖4和表2可知，可靠性優(yōu)化結果的最終結構體積比確定性優(yōu)化的最終結構體積大(可靠性優(yōu)化為6.31×10-4m3和8.65×10-4m3；確定性優(yōu)化為3.62×10-4m3)，說明要提高結構的可靠性，需要采用更多的材料。另外，確定性優(yōu)化結果在材料彈性模量、載荷大小以及柔順度許用值為區(qū)間值時計算的實際柔順度可靠度僅為37.53%，而可靠性優(yōu)化結果的實際柔順度可靠度都能滿足設定的閾值，證明本文提出方法的有效性，也進一步說明了傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化可能會使結構面臨較大失效風險，因此在結構優(yōu)化中必須考慮不確定性的影響。在文獻[15]第一個算例中，可靠度為90%的優(yōu)化結果不對稱，這不符合實際情況，因為加載點位于對稱位置且桿件拉壓彈性模量一致，所以得到的結果理論上是對稱的(文獻[15]確定性優(yōu)化結果也是對稱的)。本文的可靠性優(yōu)化結果都是對稱的，與實際相符。推測可能是算法(本文采用MMA算法，文獻[15]采用SQP算法)和轉化方法(本文采用功能度量法，文獻[15]采用偏移距離方法)的不同引起的。

圖4 算例1中不同優(yōu)化策略下的結構體積迭代歷程曲線

圖5 算例1中不同優(yōu)化策略下的結構最終拓撲優(yōu)化構型

表2 算例1中不同優(yōu)化策略下的優(yōu)化結果

5.2 算例2

如圖6所示，底端A和B兩點固定，在底端C點加載一個豎直向下的載荷。表3列舉出了算例2相關參數(shù)的值。

圖6 算例2中桁架結構

表3 算例2中相關參數(shù)的值

采用本文提出的方法分別在兩種不確定性大小(α=0.1和α=0.2)下進行可靠性優(yōu)化，并且將確定性優(yōu)化的結果作為對比，得到的結果如圖7和表4所示。

圖7 算例2中不同優(yōu)化策略下的結構最終拓撲優(yōu)化構型

表4 算例2中不同優(yōu)化策略下的優(yōu)化結果

由圖7和表4的結果可知，當不確定性較小時(α=0.1)，可靠性拓撲優(yōu)化結果與確定性優(yōu)化結果差別較?。划敳淮_定性較大時(α=0.2)，可靠性拓撲優(yōu)化結果與確定性優(yōu)化結果有較大的差別。由 表4 可知，可靠性拓撲優(yōu)化結果的結構實際柔順度可靠度大于閾值(95%)，證明了提出方法的有效性。另外，可靠性拓撲優(yōu)化結果的結構體積要大于確定性拓撲優(yōu)化結果的結構體積，并且隨著不確性的增大，結構的體積也相應增加(α=0.1：8.59×10-4m3→α=0.2：1.2×10-3m3)。

6 結 論

本文研究了桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。運用區(qū)間模型來描述結構材料參數(shù)(彈性模量)和載荷大小的不確定性，采用參數(shù)頂點組合法來求解結構柔順度的上下界，運用基于面積比的可靠性指標構建桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化模型。針對原來的可靠性約束梯度信息在某些區(qū)域為0的情況，提出了功能度量法，將可靠度約束轉化為目標功能度量的約束，從而解決了收斂性問題。進一步推導了目標功能度量的計算方法及其對設計變量的靈敏度。采用移動漸近方法(MMA)對優(yōu)化問題進行求解。數(shù)值算例表明，所提功能度量法能夠很好地解決桁架結構的非概率可靠性拓撲優(yōu)化問題。另外，不確定性對結構最終拓撲優(yōu)化構型有著較大的影響，在拓撲優(yōu)化中考慮不確定性的影響是十分必要的。

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