223 張衛(wèi)紅2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)與增材制造裝備技術(shù)國(guó)際聯(lián)合研究中心，西安 710000；2.西北工業(yè)大學(xué) 金屬高性能增材制造與創(chuàng)新設(shè)計(jì)工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710000；3.西北工業(yè)大學(xué) 無(wú)人系統(tǒng)技術(shù)研究院-智能材料與結(jié)構(gòu)研究所，西安 710000；4.中國(guó)工程物理研究院 激光聚變研究中心，綿陽(yáng) 621900)

1 引 言

形狀記憶合金SMA(Shape Memory Alloy)是一種先進(jìn)的智能材料，其在不同的熱力載荷下會(huì)呈現(xiàn)出兩種不同的獨(dú)特性能,(1) 形狀記憶效應(yīng)SME(Shape Memory Alloy)，在外載荷單次加卸載作用下SMA材料產(chǎn)生塑性殘余變形，通過(guò)升高材料溫度，殘余變形可以完全恢復(fù)；(2) 偽彈性性能PE(Pseudoelasticity)，SMA材料在受到外載荷作用時(shí)，可以發(fā)生高達(dá)6%～8%的顯著應(yīng)變而不進(jìn)入屈服狀態(tài)，卸除外載后結(jié)構(gòu)形狀完全恢復(fù)，并在這個(gè)過(guò)程耗散大量的能量[1]。幾十年來(lái)，相關(guān)學(xué)者提出了眾多關(guān)于SMA材料的微觀、微觀-宏觀以及宏觀本構(gòu)模型[2]。微觀模型主要是描述晶格或晶粒尺度上的結(jié)構(gòu)特征，如晶核生長(zhǎng)、界面運(yùn)動(dòng)和馬氏體孿晶生長(zhǎng)等。微觀-宏觀模型通過(guò)微觀力學(xué)來(lái)描述微觀或介觀尺度上的材料行為，再通過(guò)尺度轉(zhuǎn)換獲取宏觀尺度上的本構(gòu)方程。宏觀模型基于唯象學(xué)、簡(jiǎn)化的微觀-宏觀熱力學(xué)或直接的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合來(lái)描述材料行為。其中，宏觀模型具有參數(shù)少和容易實(shí)驗(yàn)標(biāo)定的特點(diǎn)，適合在結(jié)構(gòu)尺度上對(duì)材料的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行分析。

SMA由于其優(yōu)良的力學(xué)特性而在工程應(yīng)用中獲得了廣泛關(guān)注，并形成了一系列具有變革性的創(chuàng)新應(yīng)用，如智能變形機(jī)翼[3]、矯正裝置[4]和減震阻尼元件[5]等。為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)和制造過(guò)程，SMA材料往往以絲材、棒材和板材等簡(jiǎn)單形式在結(jié)構(gòu)中使用，限制了SMA結(jié)構(gòu)性能的進(jìn)一步提升。隨著增材制造技術(shù)的發(fā)展，研發(fā)出具有良好形狀記憶效應(yīng)和偽彈性性能的復(fù)雜SMA結(jié)構(gòu)[6,7]，意味著SMA結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)將獲得更多自由度。因此，擴(kuò)展面向SMA結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法，以充分利用SMA材料獨(dú)特的力學(xué)性能，是一個(gè)有前景的研究方向。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)是一種先進(jìn)的設(shè)計(jì)方法，廣泛應(yīng)用在航空航天、汽車(chē)、船舶和裝備制造等工程領(lǐng)域[8,9]。在Bends?e等[10]提出均勻化方法之后，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)得到了迅猛發(fā)展。在均勻化的基礎(chǔ)上，Bends?e[11]又提出了基于密度變量法的固體各向同性材料插值模型(SIMP)，進(jìn)一步完善了拓?fù)鋬?yōu)化方法。為了避免棋盤(pán)格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴(lài)性[12]，文獻(xiàn)[13，14]分別在SIMP變密度方法中引入了靈敏度過(guò)濾技術(shù)和密度過(guò)濾技術(shù)，但這也在最終結(jié)果中導(dǎo)致了大量的中間密度單元。通過(guò)對(duì)過(guò)濾密度進(jìn)一步投影，形成三密度場(chǎng)[15](設(shè)計(jì)密度場(chǎng)、過(guò)濾密度場(chǎng)和物理投影密度場(chǎng))，可以獲得清晰的結(jié)構(gòu)。目前，SMA的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)往往基于啟發(fā)式思想，關(guān)于SMA結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究并不多見(jiàn)。Hartl等[16]在SMA驅(qū)動(dòng)的可變形結(jié)構(gòu)研究中，采用一種新的本構(gòu)模型對(duì)整體可變形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，得到滿足剛度、驅(qū)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度和應(yīng)力水平等約束的最小質(zhì)量設(shè)計(jì)方案。馬彥等[17]采用遺傳算法對(duì)SMA管接頭進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，提升了管接頭的連接性能。Gu等[18]在SMA自支撐支架的設(shè)計(jì)中，考慮SMA的疲勞性能，通過(guò)參數(shù)優(yōu)化將最大疲勞因子降低了25%，顯著提升了結(jié)構(gòu)抗疲勞性能。Langelaar等[19]利用SMA的偽彈性，使用基于鎳鈦基形狀記憶合金R相變的簡(jiǎn)化本構(gòu)模型，開(kāi)展了SMA作動(dòng)器的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了多種作動(dòng)器結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫问健?/p>

SMA結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中往往會(huì)產(chǎn)生較大變形，且會(huì)發(fā)生馬氏體與奧氏體之間的相互轉(zhuǎn)變，因此需要考慮幾何非線性和材料非線性。而在考慮非線性效應(yīng)的變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法中，由低密度單元引起的非線性分析數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題是優(yōu)化過(guò)程中的一個(gè)主要障礙。為了解決這個(gè)問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者提出了多種方法。Bruns等[20]提出了一種單元去除和重新引入的策略。Wang等[21]提出了能量插值法，對(duì)實(shí)體單元區(qū)域和低密度單元區(qū)域的分析分別應(yīng)用非線性列式和線性列式來(lái)改善分析的收斂性。Luo等[22]提出了擴(kuò)展的移動(dòng)等值面閾值法MIST(moving iso-surface threshold)。Hou等[23]基于超單元法，將低密度單元凝聚成超單元以避免單元的過(guò)度扭曲。考慮到計(jì)算效率，同時(shí)為了利用商業(yè)軟件完成有限元分析，本文使用超單元法來(lái)改善非線性效應(yīng)引起的數(shù)值問(wèn)題。

本文提出了一種適用于形狀記憶合金結(jié)構(gòu)的變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法。采用ZM宏觀唯像本構(gòu)模型，并同時(shí)考慮材料非線性和結(jié)構(gòu)的幾何非線性。使用SIMP模型對(duì)SMA材料進(jìn)行插值，以建立密度設(shè)計(jì)變量和材料性能之間的映射關(guān)系。采用三密度場(chǎng)法來(lái)避免優(yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)的棋盤(pán)格現(xiàn)象、網(wǎng)格依賴(lài)性以及大量中間密度單元；采用超單元法來(lái)改善優(yōu)化過(guò)程的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題；使用伴隨法準(zhǔn)確獲取優(yōu)化模型中響應(yīng)函數(shù)的靈敏度。最后，通過(guò)兩組算例驗(yàn)證本文提出的SMA結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

2 形狀記憶合金材料模型和有限元分析

2.1 ZM本構(gòu)模型

本文使用的形狀記憶合金本構(gòu)模型是Zaki等[24]提出的ZM宏觀唯象本構(gòu)模型。ZM模型采用六個(gè)狀態(tài)變量描述SMA的力學(xué)行為，分別是宏觀應(yīng)變張量ε、局部奧氏體應(yīng)變張量εA、局部馬氏體應(yīng)變張量εM、馬氏體體積分?jǐn)?shù)z、馬氏體取向應(yīng)變張量εtr以及溫度T。

通過(guò)上述變量，定義Helmholtz自由能和上述變量的內(nèi)約束，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，定義狀態(tài)方程[24]，可得到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下，

σ=K∶(ε-zεtr)

(1)

式中K為SMA的等效彈性張量，可以表示為

(2)

式中KA為奧氏體彈性張量，KM為馬氏體彈性張量。

ZM模型中定義偽耗散勢(shì)為

(3)

式中a，b以及Y為材料參數(shù)。

在廣義標(biāo)準(zhǔn)材料體系下，偽耗散勢(shì)的次梯度是耗散變量的驅(qū)動(dòng)力，

(4，5)

(6)

(7)

(8)

最終，由式(6～8)可得到流動(dòng)法則如下，

(9)

(10)

(11)

2.2 非線性有限元分析

在有限元分析中，非線性有限元問(wèn)題可以表示為殘量的形式，

R=Fint-F=0

(12)

(13)

(14)

式中B為幾何矩陣，N為形狀函數(shù)矩陣，F(xiàn)int為內(nèi)力，F(xiàn)為外力，其包含體力b以及面力t。

整體的有限元分析采用NR迭代法，在NR迭代中需要使用到的切向剛度矩陣定義為

KT=-?R/?u

(15)

3 拓?fù)鋬?yōu)化模型

3.1 材料插值模型

在經(jīng)典變密度拓?fù)鋬?yōu)化算法中，設(shè)計(jì)域首先要離散為一定數(shù)目的有限單元，并用單元賦予的密度變量xe來(lái)表示第e個(gè)單元上材料的有無(wú)(xe=1表示此處存在材料，xe=0表示此處無(wú)材料)。為了使問(wèn)題能夠基于梯度的優(yōu)化算法解決，需要拓展原始的離散狀態(tài)問(wèn)題，建立密度變量與材料屬性之間的連續(xù)映射關(guān)系。本文采用的SIMP模型是一種廣泛應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化的材料插值模型，其基本思想是使用懲罰后的密度變量對(duì)材料的力學(xué)性能進(jìn)行插值，繼而通過(guò)優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)材料分布的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(16)

式中EA 0，EM 0，σm s 0，σm f 0，σa s 0和σa f 0分別為實(shí)體單元的奧氏體彈性模量、馬氏體彈性模量以及四個(gè)相變轉(zhuǎn)變應(yīng)力，Emin=1×10-9，σmin=1×10-9，P是懲罰因子。

使用上述材料插值模型得到的不同密度變量下材料的偽彈性本構(gòu)曲線如圖1所示?？梢钥闯?，在P=1的情況下，材料的彈性模量和轉(zhuǎn)變應(yīng)力隨著密度變量的減小而線性減小。應(yīng)力應(yīng)變曲線圍成的滯回環(huán)面積代表了發(fā)生完全相變的SMA材料所耗散的能量密度。密度變量為1.0， 0.5和0.1的材料對(duì)應(yīng)的耗散能量密度分別為4.56×106J/m3，2.28×106J/m3和4.56×105J/m3，與密度變量呈線性關(guān)系。

圖1 不同密度材料對(duì)應(yīng)的SMA偽彈性本構(gòu)曲線

3.2 三密度場(chǎng)法

(17)

式中vj為單元j的體積，we j為加權(quán)函數(shù)值，其計(jì)算方法如下，

(18)

式中Xe為單元e的中心坐標(biāo)。

(19)

3.3 超單元方法

本文采用超單元法[23]對(duì)低密度材料區(qū)域的有限元節(jié)點(diǎn)自由度進(jìn)行凝聚，以改善弱材料單元導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，如圖2所示。

圖2 超單元的定義

(20)

式(20)左邊的剛度矩陣均基于線彈性理論，不需要考慮幾何非線性效應(yīng)。由式(20)可得

(21)

(22)

式中

(23)

當(dāng)分析實(shí)體單元區(qū)域時(shí)，采用增量形式的NR迭代求解平衡狀態(tài)，對(duì)于第N個(gè)載荷步的第t+1次迭代，區(qū)域p1內(nèi)位移與載荷的關(guān)系可以表示為

(24)

考慮實(shí)體單元區(qū)域與弱單元區(qū)域邊界自由度的影響，平衡方程改寫(xiě)為

(25)

3.4 優(yōu)化模型數(shù)學(xué)表述

本文通過(guò)對(duì)偽彈性條件下的SMA結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度優(yōu)化來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化方法的有效性。為了得到合理的結(jié)構(gòu)，還需要施加材料用量的約束。因此，該拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題可以定義為在滿足最大體積分?jǐn)?shù)約束的情況下，最小化SMA結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)柔順度Cend。用數(shù)學(xué)公式可表示為

minCend

0

(26)

式中ve為對(duì)應(yīng)單元的體積，V為設(shè)計(jì)域的總體積，Vf為體積分?jǐn)?shù)約束的數(shù)值，ne l e為設(shè)計(jì)域的總單元數(shù)，xmin=1×10-3。

最終狀態(tài)柔順度Cend為

(27)

式中Fmax為加載結(jié)束時(shí)的外力，umax為對(duì)應(yīng)的位移。

4 靈敏度分析

在優(yōu)化過(guò)程中，需要計(jì)算出響應(yīng)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度以不斷更新結(jié)構(gòu)。直接法和伴隨法是兩種常見(jiàn)的計(jì)算方法。在拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中，設(shè)計(jì)變量數(shù)通常遠(yuǎn)大于目標(biāo)和約束數(shù)，因此，伴隨法在靈敏度分析中更有效率。本文使用伴隨法對(duì)平衡狀態(tài)柔順度的靈敏度進(jìn)行推導(dǎo)。

平衡狀態(tài)柔順度Cend關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度可表示為

(28)

(29)

式中Rend為加載過(guò)程中最后一個(gè)增量步的殘量。由于結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí)Rend=0，因此改寫(xiě)之后的目標(biāo)函數(shù)值在平衡狀態(tài)不發(fā)生變化。

(30)

式中

?Rend/?umax=-KT,end

(31)

式中KT,end為加載過(guò)程中最后一步的切線剛度矩陣。

(32)

記第N步和第N-1步的位移分別為uN和uN - 1。假設(shè)在一個(gè)小的增量步中力-位移關(guān)系是線性的，則力在第N-1步至第N步的增量可以近似地表示為

KT,end(uN-uN - 1)=Fmax/N

(33)

(34)

綜上，最終狀態(tài)柔順度關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度可表示為

(35)

因外力Fmax與設(shè)計(jì)變量x無(wú)關(guān)，結(jié)合式(12，35)，可將最終狀態(tài)柔順度關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度簡(jiǎn)化為

(36)

5 數(shù)值算例

采用一些數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證提出的形狀記憶合金拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。材料參數(shù)列入 表1。利用商業(yè)有限元軟件Abaqus完成有限元分析，SMA材料在用戶材料子程序UMAT (user material subroutine)中定義。采用GCMMA(Glo -bally Convergent Method of Moving Asymptotes)[25]算法來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。

表1 優(yōu)化計(jì)算時(shí)的材料參數(shù)

5.1 SMA懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題

算例1考慮SMA懸臂梁結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，其初始的幾何形狀與尺寸如圖3所示，厚度為1 mm。結(jié)構(gòu)左側(cè)固定，在右下角寬為5 mm的區(qū)域內(nèi)施加3300 N的載荷。設(shè)計(jì)域離散為 50×100個(gè)單元，單元在平面內(nèi)的尺寸為 1 mm×1 mm。體積分?jǐn)?shù)設(shè)置為Vf=0.5。過(guò)濾半徑取單元尺寸的3倍。懲罰因子P在優(yōu)化的初始階段為1，最大值設(shè)置為3，每10個(gè)迭代步增加 0.16。Heaviside投影的參數(shù)β0在第1個(gè)迭代步等于1，之后每20個(gè)迭代步增大1.4倍，直至其等于24。

圖3 懸臂梁設(shè)計(jì)域

圖4展示了SMA懸臂梁結(jié)構(gòu)的材料分布演變過(guò)程。經(jīng)過(guò)248步迭代，拓?fù)鋬?yōu)化算法得到一個(gè)清晰的優(yōu)化解。最終設(shè)計(jì)方案的位移云圖、 Mises 應(yīng)力云圖以及馬氏體體積分?jǐn)?shù)云圖如圖5所示，平衡狀態(tài)柔順度由初始的52.69 J降低至44.95 J，減少約15%。優(yōu)化過(guò)程平穩(wěn)收斂，優(yōu)化的迭代歷史如圖6所示。在0至100步之間存在明顯的階躍臺(tái)階，這是由懲罰因子P的增加所引起的中間密度材料剛度懲罰加劇導(dǎo)致。平衡狀態(tài)柔順度的數(shù)值在100步至200步之間偶爾出現(xiàn)震蕩，這是因?yàn)樵趦?yōu)化過(guò)程中結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域會(huì)因剛度較弱而發(fā)生非線性屈曲。但隨著優(yōu)化的繼續(xù)進(jìn)行，這些區(qū)域的剛度得到加強(qiáng)，柔順度數(shù)值趨于穩(wěn)定。

圖4 SMA懸臂梁剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)歷史

如圖5(a)所示，最終的優(yōu)化結(jié)構(gòu)在外力載荷的作用下發(fā)生了較大的變形，最大位移達(dá)到 16.25 mm，是結(jié)構(gòu)豎直方向尺寸的30%，可以證明本文的方法在處理大變形的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)仍具有較好的穩(wěn)健性。從圖5(b，c)可以看出，在懸臂梁的根部和加載區(qū)域應(yīng)力數(shù)值較大，相應(yīng)地，這些區(qū)域的馬氏體體積分?jǐn)?shù)z=1，發(fā)生了完全馬氏體相變，材料的總應(yīng)變?chǔ)庞蓨W氏體應(yīng)變?chǔ)臕、馬氏體取向應(yīng)變?chǔ)舤r以及定向馬氏體應(yīng)變?chǔ)臡組成；結(jié)構(gòu)中部區(qū)域發(fā)生了部分馬氏體相變，此時(shí)有0

圖5 SMA懸臂梁優(yōu)化結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)

圖6 SMA懸臂梁優(yōu)化迭代歷史

為了進(jìn)一步說(shuō)明本優(yōu)化方法的有效性，圖7分別列出了設(shè)計(jì)載荷為900 N和2100 N的情況下懸臂梁的剛度優(yōu)化結(jié)果，并與圖4設(shè)計(jì)載荷為3300 N的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。可以看出，隨著載荷的增加，結(jié)構(gòu)形式發(fā)生較大變化，加載位置出現(xiàn)短梁直接承受拉力。圖8給出了優(yōu)化結(jié)構(gòu)在相應(yīng)的設(shè)計(jì)載荷下的位移云圖、Mises應(yīng)力云圖以及馬氏體相變?cè)茍D。其中，在設(shè)計(jì)載荷為900 N的情況下，相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)變形較小，且基本不會(huì)發(fā)生馬氏體相變，優(yōu)化受非線性效應(yīng)影響不大，與線彈性材料的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果類(lèi)似。

圖7 不同載荷下懸臂梁剛度優(yōu)化結(jié)果

圖8 不同設(shè)計(jì)載荷下優(yōu)化構(gòu)型的力學(xué)響應(yīng)

圖9繪制了設(shè)計(jì)載荷分別為900 N，2100 N和3300 N的優(yōu)化結(jié)構(gòu)在加載-卸載過(guò)程中的力-位移曲線。當(dāng)實(shí)際載荷在900 N左右時(shí)，圖7(a)的結(jié)構(gòu)剛度明顯較好；當(dāng)實(shí)際載荷在2100 N左右時(shí)，圖7(b)的結(jié)構(gòu)在這三種結(jié)構(gòu)中剛度最好；當(dāng)實(shí)際載荷達(dá)到3300 N時(shí)，圖4結(jié)構(gòu)的剛度明顯優(yōu)于其他兩種結(jié)構(gòu)。觀察圖9曲線可以看出，結(jié)構(gòu)的剛度整體呈先減小后增大的趨勢(shì)。在載荷較大的情況下，如達(dá)到3300 N時(shí)，盡管部分材料已經(jīng)完全轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體(圖5(c))，但考慮SMA材料特性的結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方案可以很好地抵消材料相變導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)剛度損失。

圖9 不同設(shè)計(jì)載荷下優(yōu)化構(gòu)型的力-位移曲線

5.2 SMA三維橋梁優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題

算例2考慮一個(gè)三維SMA橋梁結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，其初始幾何形狀和尺寸如圖10所示。在上表面均勻施加133.88 MPa的壓力，載荷施加面下方3 mm厚的區(qū)域設(shè)置為非設(shè)計(jì)域，設(shè)計(jì)域及非設(shè)計(jì)域均為SMA材料。設(shè)計(jì)域下方凸墩的下表面固定。因結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，只取1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)域離散為18000個(gè)1 mm×1 mm×1 mm 的六面體實(shí)體單元。體積分?jǐn)?shù)設(shè)置為Vf=0.2。過(guò)濾半徑取單元尺寸的3倍。懲罰因子P在優(yōu)化的初始階段為1，之后每10個(gè)迭代步增加 0.2，直到P=3。Heaviside投影的參數(shù)β0在第1個(gè)迭代步等于1，之后每20個(gè)迭代步增大1.5倍，直至其等于16。

圖10 三維橋梁設(shè)計(jì)域

經(jīng)過(guò)196步，拓?fù)鋬?yōu)化算法尋找到一個(gè)清晰的優(yōu)化解，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖11所示。最終設(shè)計(jì)方案的位移云圖、Mises應(yīng)力云圖以及馬氏體相變?cè)茍D如圖12所示，平衡狀態(tài)柔順度由初始的38.30 J降低至23.91 J，減少約38%。優(yōu)化的迭代歷史如 圖13 所示，整體優(yōu)化過(guò)程收斂平穩(wěn)，平衡狀態(tài)柔順度僅在懲罰因子P發(fā)生改變的迭代步之后幾步發(fā)生一些跳動(dòng)。

圖11 三維橋梁剛度優(yōu)化結(jié)果

如圖12(a)所示，最大位移發(fā)生在橋面中心以及兩端的局部區(qū)域內(nèi)，這是因?yàn)閮?yōu)化目標(biāo)是整體結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)柔順度最大，結(jié)構(gòu)的局部剛度可能出現(xiàn)過(guò)弱的情況。從圖12(b)可以看出，由于拓?fù)鋬?yōu)化算法只是為了尋找一個(gè)剛度最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，所以也會(huì)導(dǎo)致局部應(yīng)力較為集中。除了橋面局部剛度較弱的區(qū)域因大變形而導(dǎo)致較大應(yīng)力外，凸墩上方區(qū)域也因傳力集中而產(chǎn)生了較大應(yīng)力。相應(yīng)地，這些區(qū)域的材料在外力的作用下發(fā)生了完全馬氏體相變，而其他區(qū)域未發(fā)生相變或僅發(fā)生了局部相變，如圖12(c)所示。

圖12 三維SMA橋梁優(yōu)化結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)

圖13 三維SMA橋梁優(yōu)化迭代歷史

6 結(jié) 論

本文提出了一種基于SIMP模型的SMA結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，使用ZM宏觀唯象本構(gòu)模型以獲得準(zhǔn)確的力學(xué)響應(yīng)，并對(duì)馬氏體和奧氏體彈性模量以及四個(gè)轉(zhuǎn)變應(yīng)力進(jìn)行插值以建立起密度設(shè)計(jì)變量和材料屬性之間的映射關(guān)系。除了材料非線性效應(yīng)外，還考慮了大變形引起的幾何非線性效應(yīng)，并通過(guò)超單元法改善了非線性有限元分析中的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。響應(yīng)函數(shù)的靈敏度通過(guò)伴隨法求出。分別通過(guò)二維和三維的SMA結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)值算例表明本文方法可以有效地對(duì)預(yù)期性能的SMA結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文工作搭建了一個(gè)面向SMA結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化框架，能夠作為進(jìn)一步開(kāi)展SMA智能變體結(jié)構(gòu)、緩沖吸能結(jié)構(gòu)和阻尼結(jié)構(gòu)等優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

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