李曉花，蘇 駿，李秀秀

1.西安理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，西安710048

2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安710072

水下純方位目標(biāo)跟蹤（Bearing-Only Target tracking，BOT）屬于典型的被動(dòng)跟蹤，是指聲納在不使用向外輻射能量設(shè)備的情況下，僅利用目標(biāo)的方位信息獲得目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如距離、速度和加速度等，以達(dá)到精確跟蹤目標(biāo)的目的[1-3]。純方位多目標(biāo)跟蹤是水下防御系統(tǒng)的重要組成部分，由于被動(dòng)地接收信號(hào)，具有隱蔽性好，不易被敵發(fā)現(xiàn)和被敵打擊的優(yōu)點(diǎn)。

與單目標(biāo)跟蹤不同，多目標(biāo)跟蹤不僅需要解決單目標(biāo)跟蹤問(wèn)題中的估計(jì)、虛警雜波、機(jī)動(dòng)等問(wèn)題，還需要考慮量測(cè)與待定目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)問(wèn)題[4-6]。經(jīng)典的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法中，基于決策的全局最近鄰算法（Global Nearest Neighbor，GNN）[7]的正確關(guān)聯(lián)率低，僅適合干擾密度很小的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題；基于概率統(tǒng)計(jì)意義下的多假設(shè)跟蹤（Multiple Hypothesis Tracking，MHT）方法[8]和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)（Joint Probabilistic Data Association，JPDA）方法[9]需要窮舉所有可能的關(guān)聯(lián)事件，算法計(jì)算量隨著目標(biāo)和量測(cè)數(shù)的增長(zhǎng)成指數(shù)增長(zhǎng)，并且不適合對(duì)近距離空間多目標(biāo)和低信噪比多目標(biāo)的跟蹤?；谄谕麡O大化（Expectation Maximization，EM）理論的概率多假設(shè)跟蹤（Probabilistic Multiple Hypothesis Tracking，PMHT）方法[10-12]的計(jì)算量隨著目標(biāo)個(gè)數(shù)和量測(cè)個(gè)數(shù)的增加呈線性增長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性強(qiáng)。同時(shí)，PMHT算法是一種Bayes框架下的多目標(biāo)跟蹤算法，在概率統(tǒng)計(jì)意義下的易擴(kuò)展性受到學(xué)者們的青睞[13]。

PMHT算法對(duì)強(qiáng)干擾環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題具有很強(qiáng)的跟蹤性能，現(xiàn)有的PMHT算法都關(guān)注如何增加算法的收斂速度，而PMHT算法的關(guān)鍵是如何避免多目標(biāo)狀態(tài)的后驗(yàn)概率收斂于局部最大值，從而降低對(duì)目標(biāo)初始值的敏感。因?yàn)?，一旦目?biāo)狀態(tài)初始值和真實(shí)值相差較大，PMHT算法容易誤跟目標(biāo)甚至丟失目標(biāo)。

本文將確定性退火理論[14-15]應(yīng)用于PMHT算法，提出了改進(jìn)的PMHT算法。所提算法通過(guò)改善多目標(biāo)后驗(yàn)關(guān)聯(lián)概率的精確度，從而提高多目標(biāo)跟蹤的精確性。仿真結(jié)果表明，在強(qiáng)干擾機(jī)動(dòng)單觀測(cè)站水下純方位多目標(biāo)跟蹤環(huán)境下，所提算法對(duì)交叉運(yùn)動(dòng)多目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)多目標(biāo)的跟蹤精度均比PMHT算法有明顯提升，算法誤跟率低，并且運(yùn)算量小，表明該算法的有效性。

1 BOT系統(tǒng)模型

水下目標(biāo)通常在水下固定深度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)跟蹤平臺(tái)和多目標(biāo)處于同一平面，從而在二維空間內(nèi)處理BOT問(wèn)題。選擇地理坐標(biāo)系，單觀測(cè)站多目標(biāo)BOT場(chǎng)景如圖1所示。圖中Km為目標(biāo)初始航向角，D0為目標(biāo)相對(duì)于原點(diǎn)的初始距離，Vm為目標(biāo)航速，β為觀測(cè)方位角，圖中角度定義為以正北方向?yàn)槠瘘c(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)取值0~2π。

圖1 單觀測(cè)站多目標(biāo)BOT場(chǎng)景Fig.1 Multi-target BOT scenario using single observation

第m個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以表示為xm(t)=(xm(t),觀測(cè)站的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為xo(t)=(xo(t),，其中(xm(t),ym(t))和分別為第m個(gè)目標(biāo)在x方向和y方向上的位置分量和速度分量，分別為觀測(cè)站在x方向和y方向的位置分量和速度分量。

假設(shè)跟蹤區(qū)域內(nèi)存在M個(gè)目標(biāo)，第m個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)方程和純方位量測(cè)方程分別為：

其中，F(xiàn)m(t)為第m個(gè)目標(biāo)的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，vm(t)為系統(tǒng)過(guò)程噪聲，h(xm(t))為系統(tǒng)量測(cè)矩陣，wm(t)是系統(tǒng)量測(cè)噪聲。假定系統(tǒng)過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲均服從正態(tài)分布，并且量測(cè)噪聲與系統(tǒng)過(guò)程噪聲互不相關(guān)。

由于BOT的量測(cè)方程是嚴(yán)重非線性的（反正切函數(shù)），所以需要研究穩(wěn)定性好且實(shí)時(shí)性強(qiáng)的跟蹤濾波算法。目前的濾波算法主要為遞推貝葉斯估計(jì)算法，包括擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）[16]、無(wú)味卡爾曼濾波（Unscented Kaman Filter，UKF）[17]和粒子濾波（Particle Filter，PF）[18-19]。對(duì)于純方位多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，由于EKF的跟蹤精度較差，PF算法復(fù)雜，計(jì)算量大，因此從濾波穩(wěn)定性和算法實(shí)時(shí)性方面考慮，本文選擇UKF平滑算法，有關(guān)UKF的文獻(xiàn)已有很多，這里不再贅述。

2 改進(jìn)的PMHT算法

2.1 PMHT算法

PMHT是一種易擴(kuò)展性很強(qiáng)的基于貝葉斯理論和EM理論的概率統(tǒng)計(jì)算法，指在不完備數(shù)據(jù)條件下，求解多目標(biāo)狀態(tài)的最大后驗(yàn)概率[20-24]。

設(shè)T次掃描量測(cè)序列為Z=(Z1,Z2,…,ZT)，其中Z(t)=(z1(t),z2(t),…,znt(t))，znt(t)是t時(shí)刻的第nt個(gè)量測(cè)?？紤]到量測(cè)的不確定性，假設(shè)量測(cè)與目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)過(guò)程相互獨(dú)立。定義目標(biāo)和量測(cè)之間的關(guān)聯(lián)變量為K(t)=(k1,s(t),k2,s(t),…,kNt,s(t))，其中K(t)為t時(shí)刻量測(cè)和目標(biāo)之間的分配假設(shè)，分量kj(t)=m表示t時(shí)刻的量測(cè)j由目標(biāo)m產(chǎn)生，量測(cè)來(lái)源于目標(biāo)m的先驗(yàn)概率為p(kj(t)=m)=πm(t)，且假設(shè)該先驗(yàn)概率是相互獨(dú)立的，即：

一般，將先驗(yàn)概率πm()

t設(shè)為一恒定值：

其中，Pd(m)為系統(tǒng)對(duì)第m個(gè)目標(biāo)的檢測(cè)概率，V是空間監(jiān)視區(qū)域，λ為干擾密度。假設(shè)干擾互不相關(guān)、且均勻分布于純方位量測(cè)空間內(nèi)，干擾個(gè)數(shù)服從泊松分布。

一般情況下，關(guān)聯(lián)變量K(t)很難求解，并且計(jì)算量大。PMHT算法的優(yōu)點(diǎn)是在避免求解關(guān)聯(lián)變量K(t)的情況下，求解目標(biāo)狀態(tài)的最大后驗(yàn)概率，即最大化p(X|Z)：

其中，p為概率密度函數(shù)。

假設(shè)一個(gè)目標(biāo)可以產(chǎn)生多個(gè)純方位量測(cè)，且一個(gè)純方位量測(cè)只能源于一個(gè)目標(biāo)。定義完備數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的期望如下：

其中，n是EM迭代次數(shù)。

由于多目標(biāo)的后驗(yàn)概率密度是單調(diào)遞增的，因此PMHT算法通過(guò)求解Q(X(n+1);X(n))的最大值獲得多目標(biāo)的最大后驗(yàn)概率。

2.2 改進(jìn)的PMHT算法

改進(jìn)的PMHT算法借鑒確定性退火過(guò)程，通過(guò)批處理、迭代獲得多目標(biāo)航跡的最大后驗(yàn)估計(jì)，可以減小對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)初始值的敏感性。該算法由求期望E-Step和求最大值M-Step完成。E-Step求解完備數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)的期望，M-Step求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)期望的最大值。

E-Step：

定義后驗(yàn)關(guān)聯(lián)概率密度函數(shù)為：

將關(guān)聯(lián)變量的條件概率質(zhì)量函數(shù)寫(xiě)為如下形式：

將式（9）代入式（6）化簡(jiǎn)，并引入退火因子β得到：

其中，0<β<1。

由式（8）~（10）得到后驗(yàn)關(guān)聯(lián)概率為：

將式（8）、（9）、（11）代入式（10）得多目標(biāo)對(duì)數(shù)似然函數(shù)期望：

對(duì)每個(gè)目標(biāo)，利用UKF平滑算法得到目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，對(duì)強(qiáng)干擾環(huán)境下交叉和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行仿真分析，仿真中目標(biāo)均做勻速直線運(yùn)動(dòng)。仿真在二維直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲都是均值為零的高斯噪聲，并且相互獨(dú)立。過(guò)程噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差δq=0.4，量測(cè)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差δr=2°，掃描周期Δt=1 s，兩目標(biāo)的探測(cè)概率都為PD=0.8，每個(gè)掃描時(shí)間內(nèi)干擾的量測(cè)數(shù)為40。仿真步數(shù)T為50步，Monte Carlo仿真次數(shù)M為100次。

單觀測(cè)站的初始位置為（400，?300）（單位：m），為確保多目標(biāo)狀態(tài)的可觀測(cè)性，觀測(cè)站在第1~17個(gè)掃描區(qū)間以速度22 kn沿Y軸勻速運(yùn)動(dòng)，在第18~34個(gè)掃描區(qū)間以速度18 kn沿X軸勻速運(yùn)動(dòng)，在第35~50個(gè)掃描區(qū)間以速度18 kn沿Y軸勻速運(yùn)動(dòng)。

兩交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)試驗(yàn)參數(shù)為：目標(biāo)1的初始狀態(tài)設(shè)為[600 m，15 m/s，1 060 m，?16 m/s]T，目標(biāo)2的初始狀態(tài)設(shè)為[1 200 m，?10 m/s，1 160 m，?16 m/s]T。仿真結(jié)果如圖2~圖4所示。兩鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)試驗(yàn)參數(shù)為：目標(biāo)1的初始狀態(tài)設(shè)為[600 m，1 060 m，15 m/s，?16 m/s]T，目標(biāo)1的初始狀態(tài)設(shè)為[400 m，12 m/s，1 160 m，?13 m/s]T。仿真結(jié)果如圖5~圖7所示。

圖2 交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤軌跡Fig.2 True trajectories and estimated trajectories for cross moving targets

圖4 交叉目標(biāo)距離均方根誤差Fig.4 Position RMSE for cross moving targets

圖7 臨近目標(biāo)距離均方根誤差Fig.7 Position RMSE for close moving targets

從圖2和圖5可以看出，在強(qiáng)干擾環(huán)境下，對(duì)于交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，在航跡出現(xiàn)交叉處和目標(biāo)鄰近運(yùn)動(dòng)處，改進(jìn)的PMHT算法沒(méi)有出現(xiàn)誤關(guān)聯(lián)，可以很好地跟蹤上多目標(biāo)。

圖5 鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤軌跡Fig.5 True trajectories and estimated trajectories for close moving targets

從圖3和圖6可以看出，干擾的密度很大，除了極少時(shí)刻外，改進(jìn)的PMHT算法對(duì)各目標(biāo)的合成量測(cè)始終保持在各個(gè)目標(biāo)真實(shí)測(cè)量方位角較小的范圍內(nèi)，說(shuō)明所提算法的抗干擾性能強(qiáng)，多目標(biāo)和量測(cè)之間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確性高。

圖3 交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤純方位量測(cè)Fig.3 Bearing measurements for cross moving targets

圖6 鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤純方位量測(cè)Fig.6 Bearing measurements for close moving targets

從圖4和圖7可知，對(duì)于交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和臨近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，PMHT算法的距離均方根誤差較大，不能滿足高精度跟蹤要求。而改進(jìn)的PMHT算法的距離均方根誤差始終保持在很小的范圍內(nèi)，表明所提算法對(duì)交叉目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)具有較好的跟蹤精度和較低的誤跟蹤率。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的有效性，表1給出了PMHT算法和本文算法在干擾個(gè)數(shù)依次為10、20、30和40時(shí)的運(yùn)行時(shí)間。從表1可以看出，對(duì)于交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，隨著干擾密度的增大，兩種算法的運(yùn)行時(shí)間都增大。在實(shí)時(shí)性方面，本文所提算法運(yùn)行時(shí)間總體比PMHT算法略長(zhǎng)，但并不影響其實(shí)時(shí)性。

表1 PMHT算法和本文算法運(yùn)行時(shí)間Table 1 Calculation time for PMHT algorithm and proposed algorithm in this paper

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)PMHT算法對(duì)強(qiáng)干擾環(huán)境下的純方位多目標(biāo)跟蹤性能，圖8和圖9給出了強(qiáng)干擾環(huán)境下（每個(gè)掃描周期內(nèi)干擾個(gè)數(shù)均值為40個(gè)），該算法對(duì)10個(gè)目標(biāo)的跟蹤軌跡和距離均方根誤差。從圖8可以看出，本文的改進(jìn)算法可以較好地跟蹤上10個(gè)目標(biāo)。從圖9進(jìn)一步看出，改進(jìn)算法對(duì)10個(gè)目標(biāo)的均方根誤差均較小，說(shuō)明本文改進(jìn)算法對(duì)強(qiáng)干擾環(huán)境下多目標(biāo)跟蹤具有很好的跟蹤性能，另外，在中間幾個(gè)掃描時(shí)刻，改進(jìn)算法對(duì)目標(biāo)2、目標(biāo)3、目標(biāo)5以及目標(biāo)9的均方根誤差增大隨后又減小，說(shuō)明改進(jìn)算法對(duì)多目標(biāo)有良好的收斂性。這是因?yàn)楦倪M(jìn)算法是一種批處理的迭代算法，該算法提高了對(duì)后驗(yàn)關(guān)聯(lián)概率計(jì)算的精確度，從而避免目標(biāo)狀態(tài)的最大后驗(yàn)概率收斂于局部最大值，因此可以提高對(duì)多目標(biāo)跟蹤的精確性。

圖8 多目標(biāo)跟蹤真實(shí)軌跡和估計(jì)軌跡Fig.8 True trajectories and estimated trajectories of multi-target

圖9 多目標(biāo)距離均方根誤差Fig.9 Position RMSE of multi-target

表2給出了在跟蹤10個(gè)目標(biāo)時(shí)，PMHT算法和本文算法分別在干擾個(gè)數(shù)依次為10、20、30和40時(shí)的運(yùn)行時(shí)間。從表2可以看出，隨著干擾密度的增大，兩種算法的運(yùn)行時(shí)間都增大。與前文跟蹤交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)一樣，在實(shí)時(shí)性方面，本文所提算法的運(yùn)行時(shí)間總體與PMHT算法相差不大，說(shuō)明本文算法有良好的實(shí)時(shí)性。

表2 多目標(biāo)PMHT算法和本文算法運(yùn)行時(shí)間Table 2 Calculation time for PMHT algorithm and proposed algorithm in this paper of multi-target

表3給出了對(duì)于強(qiáng)干擾環(huán)境下的10個(gè)目標(biāo)，改進(jìn)算法在不同多目標(biāo)狀態(tài)初始值下的均方根誤差平均值，表中多目標(biāo)初始值設(shè)置為各個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)真實(shí)值與不同均值的正態(tài)分布之和，正態(tài)分布的協(xié)方差均為0.1。從表3可以看出，隨著正態(tài)分布均值的增加，多目標(biāo)的均方根誤差平均值緩慢增加，增加的幅度很小，說(shuō)明改進(jìn)算法可以降低對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)初始值的敏感性。

表3 不同多目標(biāo)初始值狀態(tài)情況下的均方根誤差Table 3 Average RMSE under different multiple targets’initiation

4 結(jié)束語(yǔ)

PMHT算法對(duì)多目標(biāo)狀態(tài)的初始值很敏感，一旦多目標(biāo)的狀態(tài)初始值與真實(shí)值相差較大，PMHT算法易收斂于目標(biāo)后驗(yàn)概率的局部最大值，導(dǎo)致跟蹤性能?chē)?yán)重下降，甚至誤跟或失跟目標(biāo)。本文結(jié)合確定性退火技術(shù)，提出了改進(jìn)的PMHT算法，該算法既保持了原PMHT算法的優(yōu)點(diǎn)，又有效降低了對(duì)多目標(biāo)初始值的敏感。結(jié)合UKF平滑算法，對(duì)水下強(qiáng)干擾環(huán)境下機(jī)動(dòng)單觀測(cè)站純方位多目標(biāo)跟蹤進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與PMHT算法進(jìn)行了對(duì)比。仿真結(jié)果表明，在多目標(biāo)狀態(tài)初始值與真實(shí)值相差較大的情況下，本文所提算法對(duì)純方位非機(jī)動(dòng)交叉運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和鄰近運(yùn)動(dòng)目標(biāo)都具有較好的跟蹤精度，并且算法計(jì)算量適中，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。