孟 娜，李艷艷，汪 霖

西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安710127

多項(xiàng)式信號在雷達(dá)、聲吶和通信等諸多領(lǐng)域中有著非常重要的應(yīng)用，因此近數(shù)十年以來研究人員對多項(xiàng)式信號的參數(shù)估計(jì)方法展開了廣泛的研究，出現(xiàn)了多種針對立方調(diào)頻信號的參數(shù)估計(jì)算法[1-7]。最大似然參數(shù)估計(jì)方法[8]可以獲得良好的抗噪聲性能，但該方法需要進(jìn)行四維的參數(shù)搜索過程，其計(jì)算量非常大。

高階模糊函數(shù)（High order Ambiguity Function，HAF）[9]和積分型高階模糊函數(shù)（Product HAF，PHAF）[10]通過相位微分降低相位的階數(shù)，再利用傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）得到立方調(diào)頻信號的三次調(diào)頻率。與最大似然方法相比，HAF和PHAF雖然可以顯著降低計(jì)算復(fù)雜度，但因?yàn)槭褂昧藘纱蜗辔晃⒎?，其抗噪聲性能損失較大。

為改善抗噪聲性能，文獻(xiàn)[11]使用HAF和立方相位函數(shù)（Cubic Phase Function，CPF）相結(jié)合的方法（CPFHAF），通過一次相位微分將立方相位信號降階為二次調(diào)頻信號，然后再利用CPF[12-13]得到參數(shù)的估計(jì)值。CPF-HAF與HAF相比，由于降低了相位微分的次數(shù)，其抗噪聲性能得到了改善。然而，由于CPF-HAF只對回波信號進(jìn)行了一維的相參積累，因此其抗噪聲性能比較低。高分辨率時頻分布表示法[14]，相參積累CPF（Coherently Integrated CPF，CICPF）[15]和相參積累歸一化CPF（Coherently Integrated Generalized CPF，CIGCPF）[16]作為CPF的擴(kuò)展，同樣只對信號能量進(jìn)行了一維能量積累，因此抗噪聲性能依然不高。類最大似然估計(jì)方法（Quasi-Maximum Likelihood，QML）[17-18]對抗噪聲性能有一些改善，但計(jì)算復(fù)雜度較大。

與上述方法相比，調(diào)頻率-二次調(diào)頻率分布（Chirp Rate Quadratic Chirp Rate Distribution，CRQCRD）[19]可以利用非均勻快速傅里葉變換（Non-Uniform Fast Fourier Transform，NUFFT）和FFT操作快速實(shí)現(xiàn)回波信號能量的二維相參積累，因此抗噪聲性能有所提高，且計(jì)算量較低。為了在更低的信噪比環(huán)境下得到正確的參數(shù)估計(jì)值，文獻(xiàn)[20]中提出了修正積分型CPF-HAF（Modified Integrated CPF-HAF，MICPF-HAF）。與CRQCRD相比，MICPF在保持計(jì)算量不變的前提下，抗噪聲性能得到了進(jìn)一步改善。但由于MICPF對回波信號能量使用非相參積累，其參數(shù)估計(jì)的分辨率會受到影響。

針對以上問題，本文提出相參積累三階自相關(guān)函數(shù)-HAF（Coherently Integrated Trilinear Autocorrelation Function-HAF，CITAF-HAF）方法，該方法首先使用HAF將立方調(diào)頻信號降階為二次調(diào)頻信號，然后使用CITAF[21]估計(jì)信號的調(diào)頻率和二次調(diào)頻率。理論分析和仿真結(jié)果證明本文所提的方法與MICPF-HAF相比，可以獲得更好的分辨率，同時抗噪聲性能和計(jì)算復(fù)雜度保持不變。

1 相關(guān)工作

為方便描述，考慮式（1）所示的單分量立方調(diào)頻信號：

其中，tm為時間變量，A、?1、?2、?3和?4分別表示信號幅度、中心頻率、調(diào)頻率、二次調(diào)頻率和三次調(diào)頻率。

對于式（1），CPF-HAF[11]使用相位微分將立方調(diào)頻信號降階為二次調(diào)頻信號，即：

其中，τ0表示常量時延，*表示取復(fù)共軛。對式（2）使用CPF，能夠得到CPF-HAF的表達(dá)式為：

其中，A1、τm和Fτm分別表示信號幅度、時延變量和τm相關(guān)的頻率分量，δ(?)代表狄拉克函數(shù)。再利用兩個不同點(diǎn)的坐標(biāo)(Fτm,1,tm,1)和(Fτm,2,tm,2)，即能夠得到二次調(diào)頻率和三次調(diào)頻率的估計(jì)值。

可以看出，CPF-HAF只對信號能量在τm軸進(jìn)行了積累，因此其抗噪聲性能較低。CRQCRD-HAF利用一個常量時延和二維相參積累以改善信噪比，但效果仍不理想。為此，文獻(xiàn)[20]中提出了MICPF-HAF，該方法首先對式（3）取模值，然后對Fτm軸使用逆傅里葉變換（Inverse FT，IFT）得到如下結(jié)果：

其中，A2表示信號幅度，τˉm表示和Fτm相關(guān)的時間變量。再利用變尺度傅里葉變換對τˉm和tm進(jìn)行去耦合，并對τˉm軸使用FT操作，可以得到下式：

其中，F(xiàn)tm和Fτˉm分別表示tm和相關(guān)的頻率分量，然后利用二維平面(Ftm,Fτˉm)上的尖峰坐標(biāo)，可以得到二次調(diào)頻率和三次調(diào)頻率的參數(shù)估計(jì)值。

與CPF-HAF和CRQCRD-HAF相比，MICPF-HAF的抗噪聲性能得到了改善。由于式（4）中的取模值操作，使得MICPF-HAF的能量積累變?yōu)榱朔窍鄥?，這將對參數(shù)估計(jì)的分辨率造成影響。

2 CITAF-HAF

為平衡抗噪聲性能和參數(shù)估計(jì)分辨率，本文針對立方調(diào)頻信號提出一種新的參數(shù)估計(jì)方法，即CITAFHAF。首先定義一個三階自相關(guān)函數(shù)：

其中，τ1表示常量時延。將式（2）代入到式（6）中，可得：

其中，表示和τm相關(guān)的頻率分量。

考慮到狄克拉函數(shù)滿足如下性質(zhì)：

故式（8）可以寫成如下形式：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在本章中，將對CINTAF-HAF的參數(shù)估計(jì)有效性、分辨率、抗噪聲性能和計(jì)算量進(jìn)行分析。

3.1 參數(shù)估計(jì)有效性

實(shí)驗(yàn)1考慮一個不含噪聲的立方調(diào)頻信號，有效信號長度、常時延τ0、τ1和采樣率分別設(shè)置為2 s，0.5 s，1 s和256 Hz。立方調(diào)頻信號的參數(shù)設(shè)置為A=1，?1=18 Hz，?2=5 Hz/s，?3=10 Hz/s2，?4=?8 Hz/s3。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)1仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results of Experiment 1

該實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了CITAF-HAF對立方調(diào)頻信號參數(shù)估計(jì)的有效性。

3.2 參數(shù)估計(jì)分辨率

實(shí)驗(yàn)2考慮兩個不含噪聲的立方調(diào)頻信號，分別標(biāo)記為S1和S2。有效信號長度，常時延τ0、τ1和采樣率分別設(shè)置為2 s，0.5 s，1 s和256 Hz。表1給出了兩個信號的參數(shù)，為了更好地觀察信號參數(shù)估計(jì)的精度，將S1和S2的參數(shù)取成相近的數(shù)值。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)2仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of Experiment 2

表1 信號參數(shù)Table1 Signal parameters

從仿真結(jié)果可以看出，MICPF-HAF在這種情況下不能得到正確的參數(shù)估計(jì)值。然而，因?yàn)镃ITAF-HAF能量相參積累和冗余數(shù)據(jù)的使用，使得該方法可以得到精確的參數(shù)估計(jì)值。因此，通過該實(shí)驗(yàn)結(jié)果，證實(shí)了本文提出的CITAF-HAF的參數(shù)估計(jì)分辨率高于MICPF-HAF。

3.3 抗噪聲性能

實(shí)驗(yàn)3信號的參數(shù)設(shè)置和實(shí)驗(yàn)1相同，有效信號長度，常時延τ0、τ1和采樣率分別設(shè)置為2 s，0.5 s，1 s和256 Hz。此時考慮在信號中加入高斯噪聲，輸入信噪比設(shè)置為?8 dB到5 dB，間隔為1 dB，對每一個輸入信噪比做100次實(shí)驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)的均方誤差[19-21]用來衡量參數(shù)估計(jì)的正確度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

CITAF-HAF和CRQCRD-HAF需要和有效信號長度相同的冗余數(shù)據(jù)，總的信號長度為2N+N0，其中N對應(yīng)時間變量tm的采樣點(diǎn)數(shù)，N0對應(yīng)時延變量2τ0的采樣點(diǎn)數(shù)；MICPF-HAF和CPF-HAF不用冗余數(shù)據(jù)，總的信號長度為N+N0。因此，圖3中給出了對應(yīng)兩種信號長度2N+N0和N+N0的克拉美羅下界（Cramér-Rao Lower Bound，CRLB）[22-23]。

CPF-HAF只做一維的信號積累，因此，該方法的信噪比門限在這四種方法中是最差的，只能達(dá)到1 dB。CRQCRD-HAF因?yàn)槭褂昧顺Ａ繒r延和二維信號積累，因此其抗噪聲性能優(yōu)于CPF-HAF。利用一些特定的操作，MICPF-HAF的抗噪聲性能得到進(jìn)一步改善，可以達(dá)到?4 dB。從圖3中可以看出，CITAF-HAF可以達(dá)到和MICPF-HAF相同的信噪比，而CITAF-HAF的參數(shù)估計(jì)分辨率要優(yōu)于MICPF-HAF。

圖3 實(shí)驗(yàn)3仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of Experiment 3

3.4 計(jì)算量

假設(shè)信號的有效采樣點(diǎn)數(shù)為N，用復(fù)乘數(shù)來表示計(jì)算量。由文獻(xiàn)[11，19-20]可以看出，CPF-HAF、CRQCRDHAF和MICPF-HAF的計(jì)算量分別為O(NlbN)、O(N2lbN)和O(N2lbN)。對于CITAF-HAF，其主要的復(fù)乘計(jì)算量為降階和自相關(guān)函數(shù)所需的計(jì)算量O(N2)，式（8）FT操作所需的計(jì)算量O(N2lbN)，以及式（11）所需的計(jì)算量O(N2)，因此CITAF-HAF所需總的計(jì)算量為O(N2lbN)。

根據(jù)以上性能分析，綜合考慮參數(shù)估計(jì)分辨率、抗噪聲性能和計(jì)算量，所提出的方法CITAF-HAF更適合于立方調(diào)頻信號的參數(shù)估計(jì)。

4 結(jié)束語

本文對于立方調(diào)頻信號的參數(shù)估計(jì)，提出一種新的方法CITAF-HAF。該方法首先利用相位微分對相位進(jìn)行降階處理，然后利用CITAF實(shí)現(xiàn)信號能量的二維相參積累，并根據(jù)積累后的能量尖峰位置得到信號的參數(shù)估計(jì)值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明所提方法在參數(shù)估計(jì)分辨率方面得到了改進(jìn)，而且保持較好的抗噪聲性能和較低計(jì)算量。