吳入軍，張曉峰，陳 田，鄭百林，朱靈杰

(1.上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，上海 201306;2.同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092； 3.卓郎江蘇紡織機(jī)械有限公司上海分公司，上海 200240)

0 引言

與傳統(tǒng)的電阻傳感器相比，F(xiàn)BG傳感器具有體積小、抗電磁干擾及質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)，因此在航空航天、土木工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。由于光纖與基體(被測(cè)結(jié)構(gòu))不是直接接觸，造成光纖應(yīng)變(測(cè)量應(yīng)變)與基體真實(shí)應(yīng)變不相等。因此，研究光纖應(yīng)變與基體真實(shí)應(yīng)變之間的應(yīng)變傳遞理論具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外已有眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。1991年，Nanni[1]等在混凝土結(jié)構(gòu)中埋入FBG傳感器，監(jiān)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)應(yīng)變狀態(tài)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)光纖應(yīng)變不等于基體應(yīng)變。1992年，Pak[2]假定基體承受均勻應(yīng)變，推導(dǎo)出基體和FBG傳感器之間的應(yīng)變傳遞關(guān)系，并得出保護(hù)層彈性模量和厚度對(duì)應(yīng)變傳遞的影響。1995年，趙占朝等[3]對(duì)埋入FBG傳感器的混凝土結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生內(nèi)部應(yīng)力集中問(wèn)題進(jìn)行了研究。1998年，Ansari[4]等首先利用剪滯原理，對(duì)FBG傳感器應(yīng)變傳遞機(jī)理進(jìn)行重新分析，并且在等強(qiáng)度梁上對(duì)不同粘結(jié)長(zhǎng)度的FBG傳感器進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。2002年，Li[5]等將保護(hù)層假定為理想彈塑性材料，對(duì)FBG傳感器受拉受壓情況分別進(jìn)行了分析。李東升等[6-8]在Ansari研究基礎(chǔ)上，修正了光纖、保護(hù)層和基體中間處的應(yīng)變相等的假設(shè)，并且提出光纖和保護(hù)層軸向應(yīng)變傳遞率近似相等的假設(shè)。吳永紅等[9-11]對(duì)FBG傳感器光-力轉(zhuǎn)換方程以及光-力轉(zhuǎn)換方程的非線性時(shí)變方程進(jìn)行了研究。劉德華等[12]將FBG傳感器埋入混凝土結(jié)構(gòu)中，用來(lái)研究光纖應(yīng)變與基體應(yīng)變之間的關(guān)系，建立了應(yīng)變傳遞方程；柴敬等[13]將封裝后的FBG傳感器埋入水泥砂漿中，用以監(jiān)測(cè)巖層深部的變形情況以及其發(fā)展?fàn)顩r，并利用FBG傳遞理論進(jìn)行了分析；梁德志等[14]利用有限元方法對(duì)埋入混凝土中的FBG傳感器應(yīng)變傳遞率進(jìn)行計(jì)算和分析；吳入軍等[15]提出多項(xiàng)式形式的剪應(yīng)力表達(dá)式，基于此建立應(yīng)變傳遞方程，經(jīng)驗(yàn)證具有較高精度。

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了較多研究，但都是假定基體應(yīng)變?yōu)楹愣ǎ雎訤BG傳感器對(duì)基體應(yīng)變的影響，但是，當(dāng)FBG傳感器埋入低模量基體材料時(shí)，F(xiàn)BG傳感器的存在會(huì)改變基體的應(yīng)變狀態(tài)，因此，在該情況下建立基體應(yīng)變與光纖應(yīng)變之間的關(guān)系時(shí)，必須考慮兩者之間的耦合作用。

1 理論公式推導(dǎo)

埋入式FBG傳感器結(jié)構(gòu)包括光纖、保護(hù)層、粘結(jié)層和基體，假設(shè)基體軸向預(yù)應(yīng)變?yōu)棣拧?，詳?xì)結(jié)構(gòu)和受力分布如圖1所示。圖1中，rf、rc、rm分別為光纖半徑、保護(hù)層外徑以及粘結(jié)層外徑；σ為軸向應(yīng)力；τ(x,r)為剪切應(yīng)力；粘結(jié)長(zhǎng)度為2L，L為半粘結(jié)長(zhǎng)度；下標(biāo)f、c、a和m分別表示裸光纖、保護(hù)層、粘結(jié)層和基體。

(a)FBG傳感器軸向/橫向截面示意圖

(b)各層應(yīng)力圖圖1 FBG傳感器示意圖

本文理論公式推導(dǎo)基于以下假設(shè)[8]：假定FBG傳感器各層之間的界面為理想界面，無(wú)相對(duì)滑移；所有的材料均為線彈性材料。

對(duì)裸光纖建立平衡微分方程：

(1)

式中τ(x,rf)為光纖與保護(hù)層之間界面上的剪應(yīng)力。

由式(1)得到：

(2)

建立保護(hù)層和粘結(jié)層微分方程如下：

(3)

(4)

式中：τ(x,rc)為保護(hù)層與粘結(jié)層之間的界面剪切應(yīng)力；τc(x,r)和τa(x,r)分別為保護(hù)層和粘結(jié)層的剪應(yīng)力。

由式(2)～式(4)得到保護(hù)層和粘結(jié)層剪應(yīng)力表達(dá)式：

(5)

為進(jìn)一步提高計(jì)算精度，李東升[6-8]提出以下假設(shè)：

(6)

將式(6)代入式(5)中得到：

(7)

軸向變形是主要的，可以忽略徑向變形[8]，則存在：

(8)

式中：u和v分別為軸向和徑向位移。

將式(7)帶入式(8)并積分，得到：

(9)

式(9)的積分結(jié)果為

(10)

式中：um(x,rm)、uf(x)為基體和光纖的軸向位移。

(11)

對(duì)式(10)求導(dǎo)數(shù)得到：

(12)

式中：εf(x)、εm(x,rm)為光纖應(yīng)變和基體應(yīng)變。

對(duì)式(12)進(jìn)行簡(jiǎn)化為[16]

(13)

式中εm(0，rm)為FBG傳感器與基體粘結(jié)區(qū)域中心處的軸向應(yīng)變值。

對(duì)式(13)求解得到：

εf(x)=c1ekx+c2e-kx+εm(0,rm)

(14)

參數(shù)c1和c2由以下邊界條件決定[3-13]：

εf(L)=εf(-L)=0

求得c1和c2的解為

將參數(shù)c1和c2帶入光纖應(yīng)變方程(14)中，得到FBG傳感器光纖應(yīng)變方程為

(15)

因此，得到FBG傳感器應(yīng)變傳遞率為

(16)

FBG傳感器的測(cè)量應(yīng)變?yōu)楣鈻砰L(zhǎng)度方向上的平均應(yīng)變，因此平均應(yīng)變傳遞率可以表示為

(17)

式中：ε∞為作用于基體上的軸向均勻預(yù)應(yīng)變；εm(0,rm)為基體粘結(jié)中心區(qū)域的軸向應(yīng)變值。

基體內(nèi)側(cè)粘結(jié)區(qū)域的剪應(yīng)力為

(18)

式中Eeq為FBG等效剛度。

對(duì)式(18)進(jìn)行傅里葉變換得到：

(19)

在以下部分將基體看做空間軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，利用傅里葉級(jí)數(shù)和貝塞爾函數(shù)方法，分析基體的應(yīng)力/應(yīng)變狀態(tài)，求解式(16)～式(18)中的εm(0,rm)，由于基體尺寸要比光纖大得多，將基體看做無(wú)限大體，無(wú)限大空間軸對(duì)稱基體邊界條件為：

(20)

取雙調(diào)和函數(shù)為

(21)

為保證r→∞時(shí)有界，貝塞爾函數(shù)I0(r)與I1(x)的系數(shù)為0，即：C1=C3=0；由于是空間軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，所以B2=0；進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：B1=1；利用雙調(diào)和函數(shù)(21)得到應(yīng)力解為：

(22)

利用邊界條件(20)得出：

=V4εm(0,rm)

(23)

=V2εm(0,rm)

(24)

基體軸向應(yīng)變表達(dá)式為

(25)

基體粘結(jié)中心區(qū)域的軸向應(yīng)變值εm(0,rm)為

(26)

利用式(26)獲得解析解仍比較困難，一般是將無(wú)限域轉(zhuǎn)化為有限域，利用離散形式求其數(shù)值解,將式(26)轉(zhuǎn)化為離散形式為

(27)

式中：L0為基體長(zhǎng)度的一半；ζn=nπ/L0；n=1,2,3…。

將式(27)帶入式(16)中，得到應(yīng)變傳遞率表達(dá)式為

(28)

將式(27)帶入式(17)中，得到平均應(yīng)變傳遞率為

(29)

2 理論公式驗(yàn)證和參數(shù)分析

2.1 有限元驗(yàn)證

利用有限元軟件Ansys Workbench對(duì)理論公式進(jìn)行驗(yàn)證，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取一半進(jìn)行分析。所使用材料物理參數(shù)如表1所示，其他參數(shù)為：rf=0.062 5 mm,rc=0.105 mm,rm=0.205 mm,R=10 mm,L=20 mm。圖2為有限元模型圖，采用六面體網(wǎng)格。

表1 材料參數(shù)

圖2 有限元模型圖

圖3中為光纖應(yīng)變對(duì)比圖,FEM解是利用Ansys Workbench軟件計(jì)算的結(jié)果，理論解1是利用本文應(yīng)變傳遞理論公式得出的結(jié)果，理論解2是根據(jù)文獻(xiàn)[8]中相關(guān)內(nèi)容得到的計(jì)算結(jié)果。從圖3中可以看出：應(yīng)變傳遞率的分布趨勢(shì)是中間最大，逐漸減小至兩端，兩端的應(yīng)變傳遞率最小為0；理論解1、理論解2和FEM解分布趨勢(shì)完全相同，但是理論解1與FEM的之間的誤差要小一些，理論解1更接近FEM解，兩者之間的誤差在5%以內(nèi)。該算例中基體彈性模量較小，F(xiàn)BG傳感器的存在改變了基體應(yīng)變狀態(tài)，由于文中理論模型考慮了基體與FBG傳感器之間的相互作用，因此具有更高的精度。

圖3 有限元解與理論解的對(duì)比

2.2 參數(shù)分析

利用式(28)和式(29)進(jìn)行參數(shù)分析，研究FBG傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)FBG傳感器應(yīng)變測(cè)量的影響,參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4和圖5分別為基體彈性模量對(duì)應(yīng)變傳遞率和平均應(yīng)變傳遞率的影響。由圖4可知，應(yīng)變傳遞率隨基體彈性模量的增大而逐漸增大。由圖5可知，平均應(yīng)變傳遞率隨基體彈性模量和半粘結(jié)長(zhǎng)度的增大而逐漸增大。當(dāng)基體模量較低時(shí)，不僅是光纖與基體之間的中間層傳遞造成應(yīng)變損失，而且FBG傳感器的存在會(huì)改變基體局部結(jié)構(gòu)，改變了基體應(yīng)變狀態(tài)，會(huì)進(jìn)一步造成光纖應(yīng)變偏小。因此，在低模量基體時(shí)，必須考慮基體與FBG傳感器之間的耦合作用，利用本文理論對(duì)測(cè)量應(yīng)變進(jìn)行校正。

圖4 基體彈性模量對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響

圖5 基體彈性模量對(duì)平均應(yīng)變傳遞率的影響

圖6和圖7分別為粘結(jié)層厚度對(duì)應(yīng)變傳遞率和平均應(yīng)變傳遞率的影響。由圖6和圖7可知，應(yīng)變傳遞率和平均應(yīng)變傳遞率均隨著粘結(jié)層厚度的增加而逐漸減小，這主要是因?yàn)?，隨著粘結(jié)層變厚，會(huì)增加基體與光纖之間的應(yīng)變傳遞損失。

圖6 粘結(jié)層厚度對(duì)應(yīng)變傳遞率的影響

圖7 粘結(jié)層厚度對(duì)平均應(yīng)變傳遞率的影響

圖8為半粘結(jié)長(zhǎng)度為10 mm時(shí)FBG傳感器各層結(jié)構(gòu)的應(yīng)變傳遞率曲線。由圖8可知，粘結(jié)層的應(yīng)變傳遞效果最好，其次是保護(hù)層，最后是光纖，即越靠近基體傳遞效果越好，因此在設(shè)計(jì)FBG傳感器時(shí)，盡量減小保護(hù)層和粘結(jié)層的厚度，以提高FBG傳感器的應(yīng)變測(cè)量精度。

圖8 FBG傳感器各層結(jié)果應(yīng)變傳遞效果對(duì)比

圖9為半粘結(jié)長(zhǎng)度為10 mm時(shí)，F(xiàn)BG傳感器各層界面剪應(yīng)力分布規(guī)律。由圖9可知，剪應(yīng)力關(guān)于FBG傳感器中心呈奇函數(shù)分布，兩側(cè)剪應(yīng)力最大逐漸到中心變?yōu)?，其中基體與粘結(jié)層之間的界面剪切應(yīng)力最大，其次是粘結(jié)層與保護(hù)層之間的界面剪切應(yīng)力，最小的是保護(hù)層與光纖之間的界面剪切應(yīng)力。

圖9 FBG傳感器層間剪切應(yīng)力分布曲線

3 結(jié)論

本文利用彈性力學(xué)方法，對(duì)埋入低模量基體材料的FBG傳感器應(yīng)變傳遞問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論：

(1)將基體結(jié)構(gòu)看作空間軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)來(lái)處理，基于傅里葉級(jí)數(shù)和貝塞爾函數(shù)，推導(dǎo)了基于雙向耦合的埋入式FBG傳感器應(yīng)變傳遞理論公式，得出了光纖應(yīng)變與基體預(yù)應(yīng)變之間的關(guān)系，與現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)中的內(nèi)容有根本的區(qū)別。

(2)由于考慮了基體與FBG傳感器之間的相互作用，文中應(yīng)變傳遞理論模型具有更高的精度，特別是當(dāng)基體彈性模量較小時(shí)。

(3)隨著基體彈性模量的增加或粘結(jié)層厚度的減小，應(yīng)變傳遞率和平均應(yīng)變傳遞率都逐漸增大,因此，測(cè)量應(yīng)變需要校正以提高測(cè)量精度，特別是在低模量基體時(shí)。