趙吉松，李 暢，王晨曦，王 濤，朱博靈，楊 美

(1. 南京航空航天大學航天學院，南京 210016； 2. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器由于能夠充分利用大氣層內(nèi)的氧，降低了推進劑的攜帶量，能夠大幅度提高推進系統(tǒng)的性能，與火箭推進技術(shù)相比具有顯著優(yōu)勢。吸氣式高超聲速飛行器是未來高超聲速技術(shù)的重要發(fā)展方向[1]。吸氣式或其組合推進高超聲速飛行器具有快速響應(yīng)、突防能力強、廉價便捷進入空間等優(yōu)勢，應(yīng)用前景巨大，潛在應(yīng)用領(lǐng)域包括高超聲速巡航導彈、臨近空間飛行器、高速商業(yè)運輸、空天飛行器等。在航空航天運輸方面，吸氣式高超聲速飛行器可以大幅度縮短目前航空飛行花費的時間，同時可以節(jié)約燃料、降低空天發(fā)射成本。在軍事領(lǐng)域，隨著戰(zhàn)爭目的和戰(zhàn)爭形式的不斷改變，任務(wù)要求不斷提高，傳統(tǒng)的常規(guī)導彈系統(tǒng)已經(jīng)不適合一些遠程快速打擊任務(wù)。吸氣式高超聲速飛行器具有飛行速度快、航程遠、反應(yīng)迅速、命中率高，可以進行全球快速打擊而且不易被攔截的特點，因此成為目前遠程快速打擊任務(wù)的研究熱點[2]。世界主要航空航天大國都花費大量的人力和物力進行吸氣式高超聲速飛行器的相關(guān)研究，增強對關(guān)鍵技術(shù)的研究力度，加快推進吸氣式高超聲速飛行器的實用化。從吸氣式高超聲速飛行器在世界各國的發(fā)展狀況來看，近期的主要應(yīng)用是在武器方面。

軌跡優(yōu)化技術(shù)貫穿吸氣式高超聲速飛行器的全壽命周期，對于吸氣式高超飛行器設(shè)計有著十分重要的科學意義和工程實際價值[3]。軌跡優(yōu)化歷來都被作為飛行器總體設(shè)計與優(yōu)化的一個重要組成部分。在吸氣式高超聲速飛行器方案論證與設(shè)計階段，任何涉及飛行器總體優(yōu)化都離不開經(jīng)過優(yōu)化的軌跡的檢驗。在任務(wù)運營階段，飛行器的設(shè)計狀態(tài)基本已定，軌跡優(yōu)化是提高飛行器性能為數(shù)不多的途徑，在某種程度上也是唯一途徑。因此，軌跡優(yōu)化對吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計具有重要意義，是其總體設(shè)計的核心技術(shù)之一。吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化問題是一個強耦合、高度非線性的復(fù)雜最優(yōu)控制問題，求解難度比較大。吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化問題在本質(zhì)上屬于最優(yōu)控制問題，其求解方法主要分為間接法和直接法[4]。間接法借助變分法或者最大值原理，把泛函優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題求解；直接法通過對控制變量或狀態(tài)變量進行離散把泛函優(yōu)化轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃(Nonlinear programming, NLP)，然后采用各種非線性規(guī)劃算法求解，比如基于序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming，SQP)算法的SNOPT[5]和基于內(nèi)點法的IPOPT[6]。直接法中的配點法[4]由于不需要推導最優(yōu)性必要條件，并且對優(yōu)化初值的敏感性比較低，容易收斂，近年來得到廣泛研究和應(yīng)用。

在吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化方面，目前國內(nèi)的相關(guān)研究[7-9]主要針對空天飛行軌跡，并且采用了比較簡化的優(yōu)化模型。簡化模型雖然容易優(yōu)化，但是并不能準確反應(yīng)飛行器的實際情況。本文以吸氣式高超聲速巡航飛行器為研究對象，開展火箭助推段和吸氣式飛行段軌跡建模與優(yōu)化研究。

1 吸氣式高超聲速飛行器的飛行剖面

在本文研究中，吸氣式高超聲速飛行器的軌跡任務(wù)剖面如圖1所示，助推火箭將吸氣式高超聲速飛行器從地面加速至高度18.3 km以上、速度Ma4.5以上[10]，然后助推器分離，吸氣式飛行器無動力滑翔飛行一段時間，主要進行狀態(tài)調(diào)整等。當吸氣式飛行器滑翔減速至Ma4.5時，超燃沖壓發(fā)動機點火，將巡航飛行器加速至巡航速度Ma5.1，同時爬升到某個特定的高度，然后以等高等速方式巡航飛行。由此帶來的軌跡優(yōu)化問題是如何設(shè)計吸氣式飛行器的飛行剖面，使得其飛行總航程最大。

圖1 吸氣式高超聲速飛行器的飛行剖面

2 吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化模型

2.1 運動學與動力學模型

根據(jù)飛行剖面的特點，吸氣式高超聲速飛行器的飛行軌跡可以分為火箭助推段、無動力滑翔段、吸氣式爬升段和吸氣式巡航段。在各個階段，描述飛行器質(zhì)心運動的微分方程組是相同的，不同之處是其中的升力、阻力、推力等參數(shù)取值不同。

本文研究吸氣式高超聲速飛行器在縱向平面內(nèi)運動特性，可簡化為二維問題。在地心固連極坐標系中，描述飛行器質(zhì)心運動的微分方程組為:

(1)

式中：r是飛行器距地心的距離;θ是航程角;v是速度;γ是航跡角;m是飛行器質(zhì)量;g是重力加速度，g=μ/r2;μ為地球引力常數(shù)，μ= 3.98603195×1014m3/s2;T是飛行器的推力;α為攻角;L為升力;D為阻力;Isp為發(fā)動機的比沖;g0為海平面重力加速度。

為了使得攻角在各飛行階段之間連續(xù)并且能夠?qū)ソ堑淖兓俾蔬M行限制，本文引入攻角斜率作為虛擬控制變量，即引入以下新的微分方程:

(2)

式中：u為攻角隨時間變化的角速率。

2.2 端點條件

火箭助推段的初始條件為:

(3)

式中：t0為初始時間；r0、θ0、v0、γ0、m0為飛行器的狀態(tài)變量各分量的初值;α0為攻角初值。

在火箭助推段的終點，助推器與巡航飛行器分離，分離時要求狀態(tài)變量滿足如下約束:

m(t1,f)=mdry+mCruiser

(4)

γ(t1,f)≥γ1f，min

(5)

α(t1,f)≥α1f，min

(6)

式中：t1,f為助推段的終端時間;mdry為火箭助推器的干質(zhì)量;mCruiser為巡航飛行器的質(zhì)量;γ1f, min、α1f, min分別為助推器分離時航跡角和攻角的下限。

無動力滑翔段的終端約束為:

Ma(t2, f)=Ma2f

(7)

γ2f，min≤γ(t2, f)≤γ2f，max

(8)

α2f，min≤α(t2, f)≤α2f，max

(9)

h(t2,f)≥h2f

(10)

式中：t2,f為滑翔段的終端時間;Ma2f為滑翔段的終端馬赫數(shù);γ2f,min和γ2f, max為滑翔段的終端航跡角的下限和上限;α2f, min和αf2, max為滑翔段的終端攻角的下限和上限;h2f為滑翔段終端高度的下限。

吸氣式加速爬升階段的終端約束為:

Ma(t3,f)=MaCruise

(11)

γ(t3,f)=γCruise

(12)

式中：t3,f為吸氣式爬升段的終端時間;MaCruise為巡航馬赫數(shù);γCruise為巡航狀態(tài)的航跡角。

由于超燃沖壓發(fā)動機的比沖隨馬赫數(shù)增大而減小，為了避免最優(yōu)軌跡的加速爬升段時間過長，本文對加速爬升段的總時間進行限制，即:

t3,f-t3,0≤t3, max

(13)

式中：t3,0為吸氣式爬升段的初始時間，t3, max為吸氣式加速爬升段允許的最長時間。

吸氣式巡航段的終端約束條件為:

m(t3,f)=mCruiser-mFuel

(14)

式中：mCruiser為巡航飛行器的燃料質(zhì)量。

2.3 結(jié)點連接條件

在軌跡的各段之間，狀態(tài)變量應(yīng)該保持連續(xù)(當存在級間分離時，質(zhì)量除外)，即:

x(ti+1,0)-x(ti,f)=δxi,i=1,2,3

(15)

式中：x=[r,θ,v,γ,m,α]T為狀態(tài)向量，當i=1時，δxi=[0, 0, 0, 0, -mdry, 0]T，其中mdry為火箭助推器的干質(zhì)量，當i=2或3時，δxi=0。

2.4 控制變量邊界約束

在各個飛行階段，攻角均為控制變量之一。攻角及其角速率的變化范圍受到如下約束:

αmin≤α(t)≤αmax

(16)

umin≤u(t)≤umax

(17)

式中：αmin和αmax分別為攻角的下限和上限，umin和umax分別為攻角角速度的下限和上限。在不同飛行階段，這些限制參數(shù)可以取不同值。

在吸氣式飛行階段，發(fā)動機燃料當量比ηEQR(t)是另一個控制變量，其變化范圍的約束如下:

ηEQR，min≤ηEQR(t)≤ηEQR，max

(18)

式中：ηEQR, min和ηEQR, max分別為當量比的邊界。

2.5 路徑約束

在火箭助推段和無動力滑翔段，飛行器結(jié)構(gòu)強度要求動壓不能過大，即滿足如下約束:

q(t)≤qS, max

(19)

式中：qS, max為飛行器結(jié)構(gòu)允許的動壓上限。

在超燃沖壓發(fā)動機工作期間，要求動壓必須在合適范圍內(nèi)，即滿足如下約束:

qR, min≤q(t)≤qR, max

(20)

式中：qR, min和qR, max分別為吸氣式飛行器的超燃沖壓發(fā)動機正常工作要求的動壓下限和上限。

在吸氣式巡航段，本文采用等高、等速巡航方式，因此還需要滿足如下路徑約束:

(21)

(22)

(23)

2.6 氣動力模型

在軌跡的各段，升力和阻力計算方法如下:

(24)

(25)

式中：CL和CD分別為飛行器的升力系數(shù)和阻力系數(shù)，含有助推器情況下和助推器分離后飛行器的氣動力系數(shù)的取值不同;Sref為氣動參考面積;ρ為大氣密度，為了提高模型的精度，本文采用美國1976版本的標準大氣密度模型[11]插值計算。

飛行器的氣動力系數(shù)采用基于修正牛頓流模型的面元法[12]計算，即氣流撞擊到飛行器表面之后，法向動量損失，切向動量不變。據(jù)此可計算出飛行器表面壓強分布，將表面壓強累加并進行黏性修正可得到氣動力系數(shù)。圖2給出助推器和巡航器組合體的升力系數(shù)、阻力系數(shù)隨馬赫數(shù)和攻角變化特性(參考面積Sref=0.154 m2)。由于組合體飛行器在上升段主要以小攻角和負攻角飛行，因而圖中主要給出小攻角和負攻角的氣動力數(shù)據(jù)。在圖2中，攻角α=0°時，升力系數(shù)為負值，這是由于吸氣式飛行器的進氣道下唇口下傾造成的，反應(yīng)了計算結(jié)果的合理性。目前沒有對亞聲速的氣動特性進行仿真，在軌跡仿真計算時，亞聲速采用Ma1.1的氣動數(shù)據(jù)。在未來研究中，可補充亞聲速氣動數(shù)據(jù)，進一步提高火箭助推段軌跡優(yōu)化模型的精度。

圖2 助推器和巡航器組合體的氣動力系數(shù)

表1給出為巡航飛行器的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升阻比。在攻角α= 10°附近，巡航飛行器的升阻比達到最大值，對應(yīng)的最大升阻比為(CL/CD)max= 2.96。當攻角α= 0°時，升力系數(shù)為負值，同樣是由于吸氣式發(fā)動機進氣道下唇口下傾造成的。

表1 巡航飛行器的氣動力系數(shù)

2.7 發(fā)動機推力模型

在火箭助推段，假設(shè)火箭發(fā)動機的燃料秒流量保持不變，那么助推段的推力為[13]:

(26)

火箭發(fā)動機尾噴管出口面積采用如下方法折算:

Aexit=ηIncrease·TBooster,SL/pSL

(27)

在吸氣式飛行段，本文根據(jù)超燃沖壓發(fā)動機進氣道捕獲的空氣流動計算發(fā)動機的推力，即:

(28)

進氣道捕獲的空氣流量為:

(29)

式中：ρ為飛行高度對應(yīng)的大氣密度;v為飛行速度;SInlet為進氣道的捕獲面積;ηNonDedign為在非設(shè)計點狀態(tài)的情況下進氣道流量變化因子。

當發(fā)動機進氣道不在設(shè)計點工作時，捕獲的空氣流量會發(fā)生變化。在設(shè)計點附近，進氣道流量隨馬赫數(shù)和攻角的變化特性可采用如下線性描述:

(30)

式中：Ma和α為分別為巡航器的飛行馬赫數(shù)和攻角，攻角α的單位為度(°)，MaDedign為進氣道的設(shè)計馬赫數(shù)，αDedign為進氣道的設(shè)計攻角。

根據(jù)進氣道捕獲的空氣量，可采用如下方法計算出超燃沖壓發(fā)動機的燃料秒流量:

(31)

式中：ηQGR表示燃油空氣比(燃料為煤油);ηEQR表示燃料當量比;ηEQR為控制變量，通過軌跡優(yōu)化確定，其變化范圍受到式(18)約束。

超燃沖壓發(fā)動機的燃料比沖由理論比沖經(jīng)過校正得到。其中，理論比沖取自文獻[12]給出的平均比沖。校正方法是使得理論比沖曲線在校準點(Ma6.0)的比沖與試驗數(shù)據(jù)一致，如圖3所示。

圖3 超燃沖壓發(fā)動機的比沖

2.8 目標函數(shù)

軌跡優(yōu)化的目標函數(shù)是總航程最遠，即:

minJ=-θ(tf)

(32)

式中：θ(tf)為軌跡終端時刻飛行器的航程角。

可見，該軌跡優(yōu)化問題是一個復(fù)雜的多段多約束最優(yōu)控制問題，并且飛行器的氣動力模型和發(fā)動機推力模型都比較復(fù)雜，求解難度比較大。

3 高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化方法

3.1 基于Hermite-Simpson格式的離散方法

軌跡優(yōu)化問題本質(zhì)上屬于最優(yōu)控制問題。以Bolza型最優(yōu)控制問題為例，可描述為：求解控制變量u(t)?Rm，使得如下目標函數(shù)最小化:

(33)

式中:M:Rn×R×Rn×R→R,L:Rn×Rm×R→R,x∈Rn,u∈Rm,t∈[t0,tf]?R。

狀態(tài)方程為:

(34)

端點條件為:

E(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(35)

路徑約束為:

C(x(t),u(t),t)≤0,t∈[t0,tf]

(36)

式中：f:Rn×Rm×R→Rn,E:Rn×R×Rn×R→Re,C:Rn×Rm×R→Rc。式(33)～(36)所描述的問題稱為連續(xù)Bolza型最優(yōu)控制問題。

本文采用局部配點法求解軌跡優(yōu)化問題。首先利用積分變換τ=(t-t0)/(tf-t0)將軌跡優(yōu)化問題(式(33)～(36))的時間區(qū)間變換至歸一化的時間區(qū)間τ?[0, 1]。假設(shè)單位區(qū)間[0, 1]上的N個離散節(jié)點為:

G={τi:τi∈[0,1],i=0,1,…,N;τ0=0,

τN=τf=1;τi<τi+1,i=0,1,…,N-1}

(37)

式中：τi稱為離散節(jié)點或網(wǎng)格節(jié)點，τi在[0, 1]上可以均勻分布，也可以非均勻分布。

本文采用Hermite-Simpson格式(簡記HS格式)對動力學方程進行離散，該格式需要用到區(qū)間中點的變量和函數(shù)值，為此將區(qū)間中點的控制量也作為優(yōu)化變量并且在區(qū)間中點添加路徑約束，即:

(38)

(39)

約束條件為:

(40)

(41)

(42)

E(x0,t0,xf,tf)=0

(43)

其中:

在數(shù)值優(yōu)化時，為了使軌跡優(yōu)化問題具有實際物理意義，還需要添加時間差約束:

Δt=tf-t0>0

(44)

3.2 序列二次規(guī)劃算法

由軌跡優(yōu)化問題離散得到的NLP問題為稀疏問題，含有的約束比較多，存在一直處于激活狀態(tài)的等式約束(狀態(tài)方程離散格式約束)，并且目標函數(shù)和約束條件的計算量較大。SQP算法對目標函數(shù)和約束條件的計算次數(shù)較少，對約束問題的處理能力強。目前，國際上基于SQP算法已經(jīng)開發(fā)出多款優(yōu)秀的軟件模塊，比如SOCS的內(nèi)部算法[4]，SNOPT[14]等。因此，本研究采用SQP算法求解NLP。

3.3 稀疏差分算法

采用基于梯度的方法(比如SQP算法)求解NLP時，提供其目標函數(shù)和約束對優(yōu)化變量的偏導數(shù)能夠顯著提高求解效率。研究表明[15-16]，由軌跡優(yōu)化問題離散得到的NLP問題的偏導數(shù)矩陣(目標函數(shù)和全部約束對全部自變量的偏導數(shù))是非常稀疏的，其中大多數(shù)元素為零(大約占比90%占以上，離散節(jié)點數(shù)越多偏導數(shù)矩陣越稀疏)。本研究采用稀疏差分算法[16]為SNOPT提供NLP問題的一階偏導數(shù)矩陣(即雅克比矩陣，定義為目標函數(shù)和全部約束對全部自變量的一階偏導數(shù)矩陣)。稀疏差分法通過分析偏導數(shù)矩陣的稀疏特性，將其中占絕大多數(shù)的零元素識別出來，然后將非零元素的值通過矩陣鏈式求導運算分解為原始軌跡優(yōu)化問題的偏導數(shù)，最后采用有限差分法計算。此外，本文還對NLP進行了規(guī)范化處理，以降低問題的病態(tài)性。

4 仿真結(jié)果

4.1 軌跡優(yōu)化結(jié)果

吸氣式高超聲速飛行器各段軌跡的初始條件和終端條件見表2，其中橫線表示無約束；控制變量邊界約束的參數(shù)取值為：umin= -1 (°)/s，umax=1 (°)/s，αmin=-6°(助推段)、0°(滑翔段)、2°(吸氣式段)，αmax= 0°(助推段)、10°(滑翔段和吸氣式段)，ηEQR, min=0.2，ηEQR,max= 0.8；路徑約束的參數(shù)取值為：qS, max=150 kPa，qR, min=30 kPa，qR,max=100 kPa；火箭發(fā)動機參數(shù)取值為：TBoostter,SL=35.01 kN，ηIncrease= 0.18，Isp1= 240 s，pSL= 1.013×105Pa，g0= 9.8 N/s2；超燃沖壓發(fā)動機參數(shù)取值為：MaDedign= 5.1，αDedign=8.5°，SInlet=0.058 m2，ηQGR=14.81；吸氣式爬升段的最長時間t3, max=120 s。

表2 各段軌跡的初始條件和終端條件

圖4給出優(yōu)化的攻角和燃料當量比隨時間變化曲線。其中，圓圈等符號表示離散最優(yōu)解，細實線為插值結(jié)果。圖5給出最優(yōu)軌跡對應(yīng)的飛行高度、馬赫數(shù)、航跡角和質(zhì)量隨時間變化曲線。其中，圓圈等符號表示離散最優(yōu)解，細實線為根據(jù)圖4所示的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當量比對狀態(tài)方程進行數(shù)值積分得到的結(jié)果。圖中已經(jīng)看不出二者差異；在巡航段的終端時刻，各個狀態(tài)變量的離散最優(yōu)解和數(shù)值積分結(jié)果的差異分別為3.49 m，-15.07 m，-0.16 m/s，0.0041°，-0.018 kg?？梢姡鳡顟B(tài)變量的終端差異都非常小，反應(yīng)了本文的優(yōu)化方法具有較高的精度。圖4中的攻角曲線表明，飛行器在火箭助推段垂直起飛，然后以較小的負攻角(-6°)轉(zhuǎn)彎，最后快速恢復(fù)到零攻角，這一特征符合工程要求。攻角在巡航段之前變化較為復(fù)雜，但是保持連續(xù)并且變化的角速度不超過設(shè)定的1 (°)/s。由圖4和圖5可知，在無動力滑翔段的終端，攻角為4.1°，航跡角為1.5°，馬赫數(shù)為4.5，高度為18.3 km，滿足超燃沖壓發(fā)動機在啟動時對這些參數(shù)的要求。

由圖4可知，在吸氣式加速爬升段，巡航器以最大燃料當量比工作；在吸氣式巡航飛行段，攻角從7.4°附近逐漸降低至6.5°附近，該攻角與巡航器的最大升阻比攻角存在一些差異(巡航器的最大升阻比攻角在8°～11°附近)。這是因為最優(yōu)軌跡除了考慮巡航飛行器的升阻力特性，還需要考慮超燃沖壓發(fā)動機的推阻特性，追求整體性能最優(yōu)。雖然巡航段是等高等速飛行，但是隨著燃料的消耗，飛行器質(zhì)量減小，需要的平衡升力也相應(yīng)減小，相應(yīng)的攻角會減小，對應(yīng)的阻力會減小，因而使得用于平衡阻力的推力也減小(即燃料當量比減小)。

圖4 最優(yōu)控制隨時間變化曲線

由圖5可知，飛行器在火箭助推器的推力作用下加速至一定的高度和速度，助推器分離；然后巡航飛行器滑翔一段距離，進行飛行狀態(tài)的調(diào)整；接著超燃沖壓發(fā)動機啟動，飛行器在超燃沖壓發(fā)動機的推力作用下繼續(xù)加速爬升；達到巡航條件之后飛行器按照等高等速方式持續(xù)巡航飛行，巡航馬赫數(shù)為5.1，嚴格滿足要求，巡航高度為25.7 km(該飛行高度為軌跡優(yōu)化搜索得到的最優(yōu)高度)。

圖5 最優(yōu)狀態(tài)隨時間變化曲線

圖6給出最優(yōu)軌跡的航程高度曲線?？梢?，飛行器的全段最大航程為1040.1 km。圖7給出最優(yōu)軌跡對應(yīng)的動壓隨時間變化曲線。在助推段和無動力滑翔段，最大動壓不超過150 kPa，并且持續(xù)時間較短，滿足飛行器的結(jié)構(gòu)承載能力要求，在超燃沖壓發(fā)動機工作期間，動壓介于41.6 kPa和100 kPa之間，符合超燃沖壓發(fā)動機對動壓的要求。

圖6 最優(yōu)高度-航程曲線

圖7 最優(yōu)動壓隨時間變化曲線

在計算效率方面，本研究采用MATLAB 2017編程，在微型桌面工作站上(操作系統(tǒng)Win 7，CPU Intel i5 3.4 GHz，單核參與運算，內(nèi)存4 GB)，優(yōu)化一條最大航程軌跡耗時約2.3 s。可見，本研究建立的軌跡優(yōu)化方法具有較高的優(yōu)化效率。

4.2 參數(shù)影響分析

本文首先以巡航飛行器的升阻比為例，研究典型設(shè)計參數(shù)變化對最大航程的影響。圖8給出不同升阻比情況下(其它參數(shù)不變)的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當量比隨時間變化曲線對比，圖9給出不同升阻比情況下的高度航程曲線。其中，基準升阻比取上一節(jié)仿真采用的升阻比，升阻比增加或者減小通過將升力系數(shù)和阻力系數(shù)同步縮放得到?？梢?，不同升阻比對應(yīng)的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)軌跡的變化趨勢類似，但是具體取值差異明顯。表3給出升阻比變化對最優(yōu)飛行高度和最大航程的影響?？梢?，升阻比變化使得最大航程近似按比例變化。

表3 升阻比對最大航程的影響

圖8 不同升阻比情況下最優(yōu)控制隨時間變化曲線

圖9 不同升阻比情況下最優(yōu)高度-航程曲線

采用類似的方法，本文還研究了超燃沖壓發(fā)動機的比沖變化對最優(yōu)軌跡的影響。圖10給出不同比沖情況下的最優(yōu)攻角和最優(yōu)燃料當量比隨時間變化曲線，圖11給出不同比沖情況下的高度航程曲線。其中，基準比沖取上一節(jié)仿真采用的比沖(參見圖3)。由圖10可知，不同比沖對應(yīng)的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)軌跡的變化趨勢類似。表4給出比沖變化對最優(yōu)飛行高度和最大航程的影響?？梢姡S著比沖增加，最優(yōu)飛行高度和最大航程都增加，因為比沖增加意味著超燃沖壓發(fā)動機在相同的空氣流量情況下可以產(chǎn)生更大的推力。此外，由表4可知，比沖降低時飛行器的航程變化更為敏感。

表4 比沖對最大航程的影響

圖10 不同比沖情況下最優(yōu)控制隨時間變化曲線

圖11 不同比沖情況下最優(yōu)高度-航程曲線

可見，本文的軌跡優(yōu)化方法能夠快速、方便地分析設(shè)計參數(shù)變化對飛行性能指標的影響。

5 結(jié) 論

軌跡優(yōu)化技術(shù)是吸氣式高超聲速飛行器總體設(shè)計的核心技術(shù)之一，對于充分發(fā)揮飛行器的總體性能具有重要意義。本文以吸氣式高超聲速巡航飛行器為研究對象，建立了比較詳細的火箭助推段和吸氣式飛行段的軌跡優(yōu)化模型；基于配點法建立了吸氣式高超聲速巡航飛行器軌跡優(yōu)化方法，即將軌跡優(yōu)化問題通過配點法離散轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，然后借助于規(guī)范化處理、稀疏分析和SQP算法求解非線性規(guī)劃得到最優(yōu)軌跡；對吸氣式高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化進行了仿真研究，給出了全段最大航程軌跡的優(yōu)化結(jié)果，并檢驗了軌跡優(yōu)化方法的精度；最后研究了升阻比和比沖等設(shè)計參數(shù)變化對最優(yōu)飛行軌跡的影響。仿真結(jié)果表明：本文建立的軌跡優(yōu)化方法能夠快速(在桌面計算機上耗時2～3 s)求解吸氣式高超聲速飛行器多段軌跡優(yōu)化問題，具有較好的優(yōu)化能力和通用性，并且具有較高的精度，此外還能夠快速分析設(shè)計參數(shù)變化帶來的影響，展示了方法在吸氣式飛行器設(shè)計中的應(yīng)用潛力。