陳 峣，譚立國，魏毅寅，段廣仁

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間基礎(chǔ)科學(xué)研究中心，哈爾濱 150001)

0 引 言

高超聲速飛行器具有時(shí)變快、非線性強(qiáng)、耦合強(qiáng)及不確定性大等特點(diǎn)[1-2]。通常采用細(xì)長體外形和輕結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，在發(fā)生彈性形變時(shí)可能會對飛行器的控制量產(chǎn)生影響，進(jìn)而加大了執(zhí)行器發(fā)生故障的概率[3]。另外，高超聲速飛行器主要以超燃沖壓發(fā)動機(jī)作為動力推進(jìn)系統(tǒng)，飛行狀態(tài)變量的變化對其工作性能影響很大，只有當(dāng)飛行狀態(tài)滿足相關(guān)約束條件時(shí)，超燃沖壓發(fā)動機(jī)才可以正常工作。所以，研究執(zhí)行器故障和狀態(tài)約束下的彈性高超聲速飛行器的魯棒控制方法，對提升高超聲速飛行器的可靠性和安全性具有重要意義。

近年來，隨著現(xiàn)代控制理論的快速發(fā)展，非線性控制方法在高超聲速飛行器跟蹤控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，并取得豐富的研究成果。文獻(xiàn)[4-5]利用滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制，針對高超聲速飛行器剛體模型，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破鳌Ｎ墨I(xiàn)[6]采用跟蹤微分器，設(shè)計(jì)了高超聲速飛行器動態(tài)面控制器。文獻(xiàn)[7]針對彈性高超聲速飛行器，將滑?？刂婆c反步法相結(jié)合，設(shè)計(jì)了反步滑?？刂破?。為增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，文獻(xiàn)[8-9]將外界干擾、模型參數(shù)不確定性視為未知有界的系統(tǒng)干擾，利用非齊次觀測器對干擾進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了高超聲速飛行器自適應(yīng)快速終端跟蹤控制器。進(jìn)一步考慮彈性模態(tài)對高超聲速飛行器的影響，文獻(xiàn)[10-11]利用超螺旋滑?？刂评碚?，針對彈性高超聲速飛行器設(shè)計(jì)了自適應(yīng)超螺旋滑模跟蹤控制器。文獻(xiàn)[12-15]利用智能控制算法，對彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題進(jìn)行了研究分析。另外，高超聲速飛行器的動力推進(jìn)系統(tǒng)為超燃沖壓發(fā)動機(jī)，只有當(dāng)飛行狀態(tài)滿足一定約束時(shí)，該發(fā)動機(jī)才能正常工作[12-14]。為解決上述問題，文獻(xiàn)[16-17]通過引入屏障李雅普諾夫函數(shù)，針對非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了滿足狀態(tài)約束條件的自適應(yīng)控制器。文獻(xiàn)[18-19]利用屏障李雅普諾夫函數(shù)、反步法和自適應(yīng)技術(shù)，設(shè)計(jì)了能同時(shí)滿足跟蹤性能和飛行過程中狀態(tài)約束的控制器。

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，由于物理機(jī)構(gòu)的限制使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供的控制力(力矩)是有限大小的，忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和會使得所設(shè)計(jì)的控制器魯棒性降低。因此，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)必須考慮輸入飽和問題。文獻(xiàn)[20-21]通過引入輔助系統(tǒng)，利用滑模控制理論和自適應(yīng)控制算法，設(shè)計(jì)了剛體高超聲速飛行器飽和跟蹤控制器。文獻(xiàn)[22-24]針對彈性高超聲速飛行器設(shè)計(jì)了抗飽和的自適應(yīng)反步跟蹤控制器。文獻(xiàn)[25]在切換控制理論的基礎(chǔ)上，利用線性矩陣不等式方案，設(shè)計(jì)了抗飽和切換控制器。此外，由于一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及高溫，高速等復(fù)雜飛行條件的影響，使得飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)容易發(fā)生飽和，這將進(jìn)一步提高執(zhí)行器發(fā)生故障的頻率，從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。文獻(xiàn)[26]在二階滑模趨近律和有限時(shí)間觀測器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了彈性高超聲速飛行器故障容錯控制器。文獻(xiàn)[27] 針對高超聲速飛行器，根據(jù)被動容錯思想，設(shè)計(jì)了具有容錯功能的控制器。文獻(xiàn)[28-29] 設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)容錯控制器，該控制器可以保證系統(tǒng)模型參數(shù)不確定性和執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障情況下高超聲速飛行器的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[30] 設(shè)計(jì)了抗飽和容錯控制器，該控制器以滑模控制和自適應(yīng)控制器為基礎(chǔ)，可以保證控制輸出滿足執(zhí)行器的物理約束條件。

為進(jìn)一步解決帶有多種約束條件下的彈性高超聲速飛行器跟蹤控制問題，本文采用被動容錯控制的思想，結(jié)合自適應(yīng)控制、反步控制、設(shè)計(jì)了跟蹤控制器。與上述相關(guān)文獻(xiàn)相比，本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)如下：

1) 在控制器設(shè)計(jì)過程中，通過引入新型正切型屏障李雅普諾夫函數(shù)來確保所設(shè)計(jì)的控制器能夠滿足高超聲速飛行器的狀態(tài)約束和跟蹤性能。

2) 與文獻(xiàn)[8]相比，本文通過引入雙曲正切函數(shù)處理輸入飽和問題，保證高超聲速飛行器在實(shí)際控制系統(tǒng)執(zhí)行過程中滿足執(zhí)行器機(jī)構(gòu)物理約束條件。

3)與文獻(xiàn)[20]相比，本文同時(shí)考慮了輸入飽和、執(zhí)行器故障、狀態(tài)約束等條件，使得所設(shè)計(jì)的控制策略，具有更好的工程意義。

本文的主要內(nèi)容如下：首先，給出了彈性高超聲速飛行器控制模型；其次，利用反步法、雙曲正切函數(shù)和自適應(yīng)控制技術(shù)，分別針對速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)抗飽和故障容錯跟蹤控制器，且借助Lyapunov理論證明了所設(shè)計(jì)的跟蹤控制器的速度和高度有限時(shí)間收斂性；再次，結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)分析了所設(shè)計(jì)控制器的性能；最后，給出本文的結(jié)論。

1 模型描述及相關(guān)引理

1.1 彈性高超聲速飛行器模型

考慮到高超聲速飛行器剛體動力學(xué)和彈性動力學(xué)氣動耦合，系統(tǒng)模型[2]：

(1)

推力T、阻力D、升力L、俯仰角力矩M和廣義力Ni表達(dá)式為:

(2)

式中:氣動力和氣動力矩系數(shù)CT,φ(α,Δτ1,M∞)、CT(α,Δτ1,M∞,Ad)、CD(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CL(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CM(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)、CNi(α,δe,δc,Δτ1,Δτ2)為關(guān)于M∞、Ad、α、Δτ1和Δτ2的非線性函數(shù)，具體的表達(dá)式如下所示:

(3)

1.2 控制面模型

考慮氣動參數(shù)的不確定性，可得到如下的氣動力、氣動力矩以及廣義力的不確定部分的表達(dá)式:

(4)

其中:ΔCT,φ、 ΔCT、 ΔCD、 ΔCL、 ΔCM及ΔCNi的表達(dá)式如下:

(5)

在高超聲速飛行器剛體模型中將彈性模態(tài)部分視為系統(tǒng)擾動進(jìn)行處理,考慮到空氣參數(shù)的不確定性,則進(jìn)一步控制模型為:

(6)

其中:dV、dγ、dα和dq為氣動參數(shù)和彈性模態(tài)引起的系統(tǒng)不確定項(xiàng),則dV、dγ、dα和dq的具體表述式如下所示:

其中,S為參數(shù)特征面積。

同時(shí)考慮輸入飽和及執(zhí)行器故障模型如下:

φ=ρVsat(φ),δe=ρhsat(δe)

(7)

其中:ρV和ρh為失效故障因子，且滿足0<ρV<1, 0<ρh<1, sat(φ)為飽和函數(shù)。

注1：在執(zhí)行器故障模型(8)中，φ和δe分別高超聲速飛行器控制系統(tǒng)中的發(fā)動機(jī)節(jié)流閥和舵偏角的參考輸入;ρV和ρh分別表示為速度及高度執(zhí)行機(jī)構(gòu)中發(fā)生的故障，且滿足于0≤ρi<1(i=V,h)。

根據(jù)式(7)，式(6)可重寫為:

(8)

控制目標(biāo)：針對彈性高超聲速飛行控制系統(tǒng)式(8)，在控制限幅、執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效的情況下，在所設(shè)計(jì)的抗飽和故障容錯控制策略作用下，能夠控制飛行器對速度參考信號Vd和高度參考信號hd進(jìn)行快速穩(wěn)定高精度跟蹤，同時(shí)保證攻角、俯仰角、俯仰角速率滿足給定狀態(tài)約束條件。

2 控制器設(shè)計(jì)

針對速度和高度兩個子系統(tǒng)，根據(jù)被動容錯思想、結(jié)合反步法和自適應(yīng)控制方法，分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)抗飽和的故障容錯控制器，通過引入新型屏障李雅普諾夫函數(shù)，能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在飛行過程中滿足狀態(tài)約束條件。

為方便控制器的設(shè)計(jì)，給出以下引理。

引理1[27].對于任意實(shí)數(shù)x和非零實(shí)數(shù)y，下面不等式成立:

0≤|x|(1-tanh(|x/y|))≤α|y|

(9)

其中:α>0，其最小值α*滿足α*=x*(1-tanhx*)，則x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

定義速度跟蹤誤差zV:

zV=V-Vd

(10)

其中:Vd為速度參考信號。

對式(10)求導(dǎo):

(11)

為處理執(zhí)行器輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數(shù)如下:

sat(φ)=h(φ)=φ+Δφ

(12)

h(φ)=φmaxtanh(φ/φmax)

(13)

其中:φmax為正常數(shù)。

根據(jù)式(12)，則(11)可重寫為:

(14)

假設(shè)1：在系統(tǒng)(14)中，干擾gVρVΔφ+dV(t)存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gVρVΔφ+dV(t)|≤εV

(15)

其中:εV為未知正常數(shù)。

為了保證速度期望的跟蹤性能|zV|≤AzV，其中AzV>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(16)

對式(16)求導(dǎo)可得:

(17)

根據(jù)式(17)，利用反步法和自適應(yīng)算法，設(shè)計(jì)了帶有狀態(tài)約束的自適應(yīng)飽和故障容錯控制器:

(18)

(19)

(20)

其中:kV1、ξV、λV1和λV 2為正常數(shù)。

定理1.考慮系統(tǒng)(8)，且滿足假設(shè)條件1，在控制器(18)和自適應(yīng)律(19)～(20)作用下，則跟蹤誤差變量zV收斂到如下區(qū)域:

(21)

其中:cV和cV 0是與控制器參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)如下:

(22)

利用式(18)對V1求導(dǎo)整理可得:

(23)

由引理1可知，下列不等式成立:

(24)

將式(24)代入式(23)整理可得:

(25)

令

cV=min{kV1,λV1,λV 2}

(26)

(27)

根據(jù)式(26)～(27)，式(25)可以整理為:

(28)

對式(28)求解可得:

(29)

由式(29)可得V1(t)≤V1(0)，即V1(t)是有界的，聯(lián)合屏障李雅普諾夫函數(shù)式(16)，可得不等式如下:

(30)

進(jìn)一步可得:

(31)

定理1證畢。

2.2 高度子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

高度誤差變量zh定義為:

zh=h-hd

(32)

其中:hd為速度參考信號。

對式(32)求導(dǎo):

(33)

進(jìn)一步可得期望的航跡角信號:

(34)

其中:kh1>0是常數(shù)。

為了系統(tǒng)的反饋形式，下式將式(8)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:

(35)

假設(shè)2.在高度系統(tǒng)模型(35)中，總的干擾項(xiàng)dγ和dα有界，且滿足式:

|dγ|≤εγ, |dα|≤εα

(36)

其中:εγ>0和εα>0且未知。

Step1：航跡角跟蹤誤差變量zγ定義:

zγ=γ-γc

(37)

對式(37)求導(dǎo)可得:

(38)

為了保證航跡角期望的跟蹤性能|zγ|≤Azγ，其中:Azγ>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(39)

對式(39)求導(dǎo)可得:

(40)

根據(jù)式(40)，設(shè)計(jì)虛擬控制器αc如下:

(41)

(42)

其中:kγ1、ξγ和λγ為正常數(shù)。

為了克服對虛擬控制器αc多次微分所導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜問題，引入一階命令濾波器如下:

(43)

其中:αc和αd分別為一階命令濾波器的輸入及輸出信號，且τ1為正常數(shù)。

定義濾波器微分跟蹤誤差yα為:

yα=αd-αc

(44)

將虛擬控制器式(41)代入式(40)整理可得:

(45)

Step2：定義攻角誤差zα=α-αc，并求導(dǎo)得:

(46)

為保證攻角期望的跟蹤性能|zα|≤Azα，其中Azα>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(47)

對式(47)求導(dǎo)可得:

(48)

根據(jù)式(46)，設(shè)計(jì)虛擬控制器qc如下:

(49)

(50)

其中:kα1,ξα和λα為正常數(shù)。

為克服對虛擬控制器qc多次微分所導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜，引入一階命令濾波器如下:

(51)

其中:qc和qd分別為命令濾波器的輸入和輸出信號，且τ2為正常數(shù)。

定義濾波器微分跟蹤誤差yq為:

yq=qd-qc

(52)

將式(49)代入(48)整理可得:

(53)

Step3：定義俯仰角速率跟蹤誤差zq=q-qd，并求導(dǎo)可得:

(54)

為了處理執(zhí)行輸入飽和問題，引入光滑雙曲正切函數(shù)如下:

sat(δe)=h(δe)=δe+Δδe

(55)

h(δe)=δemaxtanh(δe/δemax)

(56)

其中:δemax為正常數(shù)。則式(54)可重寫為:

(57)

假設(shè)3：在系統(tǒng)(57)中，干擾gqρhΔδe+dq存在未知上界，則滿足下列不等式:

|gqρhΔδe+dq|≤εh

(58)

其中，εh為未知正常數(shù)。

為保證俯仰角速率期望的跟蹤性能|zq|≤Azq，其中Azq>0，定義屏障李雅普諾夫函數(shù)如下:

(59)

對式(59)求導(dǎo)可得:

(60)

根據(jù)式(57)，結(jié)合自適應(yīng)控制算法，設(shè)計(jì)了帶有狀態(tài)約束的飽和故障容錯控制器如下:

(61)

(62)

(63)

其中:kq1、ξq、λq1和λq2為正常數(shù)。

定理2.考慮系統(tǒng)(35)且滿足假設(shè)條件2，在控制器式(61)和自適應(yīng)律式(62)～(63)作用下為制導(dǎo)律，誤差變量zh、zγ、zα和zq漸近收斂到如下區(qū)域。

(64)

其中：ch0和ch是與控制器參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。

證明.考慮李雅普諾夫函數(shù)

(65)

利用式(40)、(53)、(60)、(61)對式(65)求導(dǎo)可得:

(66)

由引理1可知，下列不等式成立:

(67)

將式(67)代入式(66)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(68)

根據(jù)：

(69)

(70)

將式(69)和式(70)代入式(68)整理可得:

0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(71)

令

(72)

0.2785ξγδγ+0.2785ξαδα+0.2785ξqδq

(73)

利用式(72)和式(73)，式(71)可整理為：

(74)

對式(72)求解可得:

(75)

由式(75)可得V2(t)≤V2(0)，即V2(t)是有界的，聯(lián)合屏障李雅普諾夫函數(shù)式(39)、(47)和(59)，可得不等式如下:

(76)

(77)

(78)

進(jìn)一步可得:

(79)

(80)

(81)

定理2證畢。

3 仿真分析

為了定量分析本文所設(shè)計(jì)控制策略的性能，對非線性運(yùn)動方程(1)和氣動模型(2)～(3)進(jìn)行仿真，參考文獻(xiàn)[2]中氣動參數(shù),見表1。

表1 高超聲速飛行器參數(shù)

3.1 執(zhí)行器無故障的仿真分析

高超聲速飛行器期望速度指令為Vd=4650.3 m/s，期望高度指令為hd=34328 m，控制參數(shù)選取如下：AzV=3、kV1=0.54、ξV=0.01、λV1=0.02、λV 2=0.02、kh1=0.1、kγ1=0.5、ξγ=ξq=ξα=0.01、λγ=λα=λq1=λq2=0.02、τ1=τ2=0.02、kα1=0.3、kq1=0.46和Azγ=Azα=Azq=0.15。則仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1 速度跟蹤曲線

圖2 高度跟蹤曲線

圖3 控制輸入φc和δe曲線

圖4 狀態(tài)變量γ,α和q曲線

圖5 彈性模態(tài)η1和η2曲線

從圖1～圖2分別給出了速度和高度的跟蹤曲線仿真結(jié)果可知，即使存在外界干擾、模型參數(shù)不確定性和輸入飽和情形下，速度誤差和高度誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零的附近區(qū)域，能夠滿足跟蹤性能。從圖3給出控制輸入曲線可知，控制輸入在整個控制過程中是有界的。由圖4給出飛行器的其他狀態(tài)曲線可知，航跡角、攻角和俯仰率在短時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)態(tài)值且滿足預(yù)期的狀態(tài)約束條件。圖5描述了彈性模型的曲線，表明彈性模態(tài)變量η1和η2在經(jīng)歷較短暫態(tài)后趨于穩(wěn)定值。

3.2 帶有執(zhí)行器故障的仿真分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器對執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)的有效性，控制參數(shù)和參考信號與3.1節(jié)相同，在仿真中，假設(shè)故障形式如式(82)所示，其仿真結(jié)果如圖6～圖11所示。

圖6 速度跟蹤曲線

圖7 高度跟蹤曲線

圖8 控制輸入φc和δe曲線

圖9 狀態(tài)變量γ和α曲線

圖10 俯仰角速率q曲線

圖11 彈性模態(tài)η1和η2曲線

(82)

圖6～圖7分別給出了兩個狀態(tài)的跟蹤結(jié)果，從圖中可以看出，當(dāng)飛行器發(fā)生執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效故障時(shí)，所設(shè)計(jì)的容錯控制器能夠快速自動調(diào)整控制增益，以實(shí)現(xiàn)對故障影響的有效處理，使得速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均在較短時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，且其精度達(dá)到了控制系統(tǒng)的性能要求。圖8所產(chǎn)生的控制變化曲線，從圖中可以看出，輸入曲線變化平緩，并能夠滿足執(zhí)行器物理受限的要求。從圖9～圖10所示的高超聲速飛行器其它狀態(tài)量的變化曲線可知，當(dāng)控制器發(fā)生故障時(shí)，由于控制器對故障進(jìn)行有效處理，使得較短的時(shí)間內(nèi)航跡角γ，攻角α和俯仰角θ迅速趨于穩(wěn)定，且各個誤差變量zγ、zθ和zq分別快速的收斂至|zγ|≤0.15、|zθ|≤0.15和|zq|≤0.15。圖11為執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障下的彈性狀態(tài)變化曲線，彈性模態(tài)變量η1和η2在較短時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)態(tài)值，并能保持在一定范圍內(nèi)變化。

4 結(jié)論

本文針對帶有狀態(tài)約束的高超聲速飛行器跟蹤控制問題進(jìn)行了深入的研究，同時(shí)考慮到彈性耦合、執(zhí)行器輸入受限和執(zhí)行器故障的工程實(shí)際需求，在構(gòu)造一種新型屏障李雅普諾夫函數(shù)基礎(chǔ)上，利用反步法、雙曲正切函數(shù)、一階濾波器和自適應(yīng)控制技術(shù)，提出了一種自適應(yīng)抗飽和故障容錯控制策略，通過屏障李雅普諾夫函數(shù)的有界性，使得所設(shè)計(jì)的控制策略在滿足飛行狀態(tài)約束的同時(shí)具有良好的控制性能。借助李雅普諾夫函數(shù)對所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了穩(wěn)定性證明，并通過仿真分析進(jìn)一步驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制策略的性能。