馬慶華 鄭啟佳

（1，廣東外語外貿(mào)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510006，2.廣東外語外貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510006）

截至目前，我國(guó)銅期貨期權(quán)研究有關(guān)文獻(xiàn)非常少。而期權(quán)定價(jià)作為期權(quán)交易中最關(guān)鍵的一部分，其重要性也不言而喻。在定價(jià)模型上，最為經(jīng)典的有BS期權(quán)定價(jià)模型，我國(guó)很多文獻(xiàn)也都簡(jiǎn)單地使用BS模型對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。BS模型中涉及的假設(shè)條件在真實(shí)市場(chǎng)往往很難實(shí)現(xiàn)。因此，從波動(dòng)率的角度綜合定價(jià)模型來對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)可能使得定價(jià)結(jié)果有更好的表現(xiàn)。

一、文獻(xiàn)綜述

我國(guó)現(xiàn)有文獻(xiàn)幾乎沒有關(guān)于滬銅期貨期權(quán)的定價(jià)研究，而且學(xué)者通常是定價(jià)模型上進(jìn)行優(yōu)化從而得出更優(yōu)的定價(jià)效果。甚少有對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行研究的，而波動(dòng)率是期權(quán)定價(jià)模型中的最核心的參數(shù)之一。因此，從波動(dòng)率的角度出發(fā)，研究不同的波動(dòng)率模型擬合并預(yù)測(cè)得到波動(dòng)率序列，并通過蒙特卡羅法進(jìn)行模擬定價(jià)可能會(huì)得出更好定價(jià)結(jié)果，具有較大的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用價(jià)值。

二、波動(dòng)率模型構(gòu)建與期權(quán)定價(jià)實(shí)證分析

1.GARCH族模型

本文采取的是對(duì)數(shù)收益率的方式對(duì)銅期貨日收益率進(jìn)行分析，由對(duì)數(shù)收益率的時(shí)序圖可以看到銅期貨日收益率存在明顯的波動(dòng)率聚集現(xiàn)象。

由表1結(jié)果得知，誤差服從自由度為6的t分布的GARCH模型具有最小的AIC與SC值，因此GARCH-t（6）擬合效果更好，因此下文中我們將默認(rèn)所有GARCH族模型的誤差項(xiàng)都服從自由度為6的t分布。

表1 誤差項(xiàng)分從不同分布GARCH模型參數(shù)p值及AIC，SC值

接下對(duì)GARCH模型進(jìn)行定階，即確定GARCH（p，q）模型中的p、q的最優(yōu)值。通過建立GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）模型，對(duì)AIC與SC值大小做一個(gè)比較，得出最優(yōu)階模型。

由于GARCH模型在實(shí)際的應(yīng)用中存在著局限性，模型中對(duì)正面的消息與負(fù)面的消息所帶來的的影響視為相同的，它只能解釋金融資產(chǎn)收益率序列波動(dòng)中的對(duì)稱現(xiàn)象，而無法處理非對(duì)稱的波動(dòng)。現(xiàn)實(shí)的銅期貨市場(chǎng)通常收益率波動(dòng)并非對(duì)稱的，由于投資者的避險(xiǎn)心理，同等程度的利空沖擊往往比利好能帶來更大的方差波動(dòng)。因此本文也考慮了用T-GARCH來描述銅期貨收益率波動(dòng)中的非對(duì)稱效應(yīng)。

同樣，我們也對(duì)T-GARCH模型進(jìn)行定階處理，建立T-GARCH（1，1）、T-GARCH（1，2）和T-GARCH（2，1）并與上述所得GARCH（p，q）做整合對(duì)比。

由表2可以得到，只有GARCH（1，1）與T-GARCH（1，1）方程的參數(shù)都通過了顯著性檢驗(yàn)，杠桿系數(shù)γ1在10%的顯著性水平上顯著，說明滬銅期貨市場(chǎng)存在杠桿現(xiàn)象。

表2 t（6）分布下GARCH族模型參數(shù)估計(jì)p值

根據(jù)表3的結(jié)果可得T-GARCH（1，1）模型為：

表3 T-GARCH（1，1）模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

對(duì)T-GARCH（1，1）構(gòu)造的方差方程的殘差序列進(jìn)行ARCHLM檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示，說明T-GARCH構(gòu)建的方差方程消除了殘差序列的條件異方差，利用T-GARCH對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模是可行的。

表4 T-GARCH（1，1）的ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

下面考慮使用T-GARCH模型來預(yù)測(cè)2019年1月2日后的122個(gè)交易日的波動(dòng)率序列{δi}，由于122個(gè)交易日時(shí)間較長(zhǎng)，考慮到較遠(yuǎn)日期的波動(dòng)率預(yù)測(cè)結(jié)果可能會(huì)不準(zhǔn)確，本文對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)采取每隔一個(gè)月滾動(dòng)一次的方式進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體步驟為：首先，采用的銅期貨價(jià)格數(shù)據(jù)期間為2016年1月4號(hào)到2019年1月02號(hào)，估計(jì)出模型參數(shù)，建立T-GARCH模型并估計(jì)出未來一個(gè)月的波動(dòng)率；第一次估計(jì)完成后，對(duì)銅期貨價(jià)格序列進(jìn)行更新，將該月的價(jià)格數(shù)據(jù)納入原樣本，并重新進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)時(shí)間的起點(diǎn)為新一月的首個(gè)交易日；整個(gè)過程不斷重復(fù)直到最后一個(gè)月的首個(gè)交易日結(jié)束，總共滾動(dòng)估計(jì)模型6次。

2. SV族模型

本文將使用OpenBUGS軟件與R語言通過MCMC法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并預(yù)測(cè)出未來的122個(gè)交易日的波動(dòng)率，在使用MCMC法前，需要進(jìn)行幾個(gè)待定參數(shù)的先驗(yàn)分布假設(shè)，先驗(yàn)分布的設(shè)置影響參數(shù)估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，由于在GARCH模型中，我們知道采用非對(duì)稱模型的擬合效果更好，因此這里我們直接采用帶杠桿效應(yīng)的SV-L模型進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，這里先驗(yàn)分布的設(shè)置采取Yu（2005）的方法。

由于極端值總是成聚類存在，因此在剩余的10w次結(jié)果中每100個(gè)數(shù)取一個(gè)數(shù)作為模擬結(jié)果，這樣可以降低部分極端值對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，并對(duì)模擬后的結(jié)果進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)。具體結(jié)果如表5所示。

表5 帶杠桿的SV模型參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表5上述參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知，SV-L模型可以表達(dá)為：

3.定價(jià)表現(xiàn)

前面小節(jié)模擬了不同模型所預(yù)測(cè)得到的未來122日的波動(dòng)率，在該小節(jié)中將使用蒙特卡羅法結(jié)合預(yù)測(cè)所得的波動(dòng)率序列對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。具體的理論已經(jīng)在第二節(jié)中闡述，其過程可以在MATLAB中實(shí)現(xiàn)。在蒙特卡羅定價(jià)中，本文采用路徑次數(shù)為60000，步數(shù)1500，此時(shí)期權(quán)的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)相對(duì)穩(wěn)定且可信。

為了評(píng)價(jià)不同波動(dòng)率模型的定價(jià)表現(xiàn)，我們將通過兩個(gè)損失函數(shù)：平均絕對(duì)百分比定價(jià)誤差（MAPE）與相對(duì)均方根定價(jià)誤差（RMSEr）、對(duì)定價(jià)效率進(jìn)行定量分析。兩種衡量誤差的指標(biāo)具體計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)如下：

將T-GARCH模型與SV-L模型預(yù)測(cè)所得的波動(dòng)率采用蒙特卡羅法進(jìn)行定價(jià)的結(jié)果與傳統(tǒng)的BS模型的模擬定價(jià)結(jié)果使用EXCEL進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并與現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，所得的折線如圖1所示。

圖1 cu1908C44000期權(quán)定價(jià)結(jié)果

圖2 cu1908C45000期權(quán)定價(jià)結(jié)果

由定價(jià)折線圖我們可以看出2個(gè)波動(dòng)率模型與基于常數(shù)波動(dòng)率的B-S模型的估計(jì)價(jià)格走勢(shì)都能較為準(zhǔn)確的描述出實(shí)際價(jià)格走勢(shì)，從圖形上看，三個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果都高估了期權(quán)價(jià)格，且T-GARCH（1，1）模型與B-S模型的定價(jià)結(jié)果相比SV-L模型更差。并且隨著定價(jià)窗口的滾動(dòng)，SV-L模型的定價(jià)結(jié)果越來越接近實(shí)際價(jià)格。由誤差指標(biāo)分析表6可以看出，三種模型的定價(jià)效率都相當(dāng)準(zhǔn)確。在平均絕對(duì)百分比定價(jià)誤差與相對(duì)均方根定價(jià)誤差標(biāo)準(zhǔn)下，指標(biāo)結(jié)果都與上文圖例觀察結(jié)果相同。即SV-L模型無論從定價(jià)效率還是定價(jià)穩(wěn)定性比T-GARCH（1，1）和B-S模型更高。

表6 實(shí)值期權(quán)指標(biāo)分析結(jié)果

三、結(jié)論

本文采用了數(shù)值定價(jià)方法——蒙特卡羅法，并結(jié)合了GARCH族模型與SV族模型兩個(gè)波動(dòng)率模型，使用波動(dòng)率模型擬合并預(yù)測(cè)出波動(dòng)率結(jié)合蒙特卡羅法進(jìn)行定價(jià)。實(shí)證結(jié)果表明：通過隨機(jī)波動(dòng)率模型模擬所得的期權(quán)價(jià)格相比于傳統(tǒng)的B-S模型具有更精確且穩(wěn)定的定價(jià)結(jié)果，但GARCH族模型的定價(jià)結(jié)果則效果較差。這說明了隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)于滬銅期貨期權(quán)定價(jià)的重要性。