(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

0 引言

近年來，為提高交通效率，保證駕駛安全，以自動駕駛技術(shù)為核心的智能車輛成為社會研究的熱點并得到快速發(fā)展[1-2]。越來越多的自動駕駛車輛應(yīng)用在高速行駛的工況，因此保證車輛在高行駛車速下的穩(wěn)定性有著重要意義。四輪轉(zhuǎn)向技術(shù)通過施加后輪輔助轉(zhuǎn)角，能有效避免汽車發(fā)生側(cè)滑，明顯提高車輛高速時行駛穩(wěn)定性和保障行車安全，被越來越多地應(yīng)用于自動駕駛領(lǐng)域[3]。文獻[4]完成了四輪轉(zhuǎn)向車輛軌跡跟蹤控制器的設(shè)計，實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的四輪轉(zhuǎn)向軌跡跟蹤控制器相比前輪轉(zhuǎn)向具有更高的跟蹤精度，但并未考慮高車速下車輛的穩(wěn)定性；文獻[5]基于線性時變模型預(yù)測算法實現(xiàn)自動駕駛車輛路徑跟蹤控制，為防止輪胎側(cè)向力達到飽和，通過對輪胎側(cè)偏角進行約束避免了車輛發(fā)生側(cè)滑，但未對車輛質(zhì)心側(cè)偏角、橫擺角速度等狀態(tài)參數(shù)進行控制，車輛的行駛穩(wěn)定性有待提高。

基于以上分析和目前路徑跟蹤控制研究中的不足，本文以四輪轉(zhuǎn)向車輛作為研究對象，利用模型預(yù)測控制算法設(shè)計四輪轉(zhuǎn)向路徑跟蹤控制器，路徑跟蹤算法中加入輪胎側(cè)偏角約束和車輛狀態(tài)參數(shù)包絡(luò)約束，以保證四輪轉(zhuǎn)向車輛行駛時的穩(wěn)定性，提高車輛路徑跟蹤能力。

圖1 三自由度四輪轉(zhuǎn)向車輛動力學(xué)模型Fig.1 3-DOF Vehicle dynamics model of 4 WS

1 四輪轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型的建立

為實現(xiàn)路徑跟蹤控制，采用三自由度四輪轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型，如圖1所示。圖1中：X-O-Y表示慣性坐標系，x-o-y表示車輛坐標系，a、b分別為車輛質(zhì)心到前、后軸距離；δf和δr分別為前輪轉(zhuǎn)角和后輪轉(zhuǎn)角；vx、vy和ωr為車輛的縱向速度、側(cè)向速度和橫擺角速度；β為質(zhì)心側(cè)偏角，αf和αr為前、后輪胎側(cè)偏角，F(xiàn)li，F(xiàn)ci(i=f,r)分別為前、后輪胎縱向力和輪胎側(cè)偏力。

考慮到行駛中的汽車車輪轉(zhuǎn)角一般較小，假設(shè)輪胎力處于線性區(qū)域，所建立的四輪轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型為

(1)

式中，m為整車質(zhì)量；Iz為車輛轉(zhuǎn)動慣量；Cli、Cci(i=f,r)為前、后輪的縱向剛度和側(cè)偏剛度；Si(i=f,r)分為前后車輪的縱向滑移率。在慣性坐標系下，車輛的運動學(xué)關(guān)系為

(2)

聯(lián)立式(1)和式(2)即可得到四輪轉(zhuǎn)向路徑跟蹤動力學(xué)模型，用狀態(tài)空間表示為

(3)

式中，ξ(t)=[vy，vx，ψ，ωr，Y，X]T為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u(t)=[δf，δr]T為系統(tǒng)輸入的控制量。

2 基于MPC的路徑跟蹤控制器設(shè)計

2.1 模型的線性化

首先將車輛動力學(xué)模型進行線性化，在參考點進行泰勒展開并保留一階項[6]，整理得線性時變方程為

(4)

公式(4)為公式(3)的線性連續(xù)形式，為使控制器具有較好的實時性，本文選用線性時變模型預(yù)測控制算法設(shè)計跟蹤控制器，為此，將公式(4)進行離散化處理，得到離散的狀態(tài)方程為

ξ(k+1)=Ak,tξ(k)+Bk,tu(k)，

(5)

式中，Ak,t=I+TA(t);Bk,t=TB(t)，T為采樣周期。

在模型預(yù)測控制中可引入控制增量以代替控制量，以限制每個周期的控制量，防止出現(xiàn)控制量突變的情況。

做以下變換：

(6)

此時，新的狀態(tài)空間表達式為

(7)

式中，

2.2 二次規(guī)劃問題與求解

車輛的路徑跟蹤可以轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題來求解，其中目標函數(shù)表達式為

J(χ(t),ΔU(t))=(P(t)-Pref(t))TQ(P(t)-Pref(t))+ΔU(t)TRΔU(t)+ρε2，

(8)

式中，ΔU(t)=[Δu(t),Δu(t+1),…,Δu(t+Nc-1)]T;Nc為控制時域;P=[η(t),η(t+2),…,η(t+Np)]T;Np為預(yù)測時域;Q、R表示權(quán)重矩陣;ε為松弛因子;ρ表示權(quán)重系數(shù)。由于約束條件的數(shù)量較多，加入了松弛因子，防止出現(xiàn)無最優(yōu)解的情況[7]。

分別對控制量U，控制增量ΔU，輸出量P進行約束：

(9)

式中，Umax、Umin為控制量的上下邊界，控制量為控制時域內(nèi)的車輪轉(zhuǎn)角，對它進行約束可以防止控制器求出的車輪轉(zhuǎn)角超過車輪的物理限制；ΔUmax、ΔUmin為控制增量的上下邊界，限制每個周期的控制增量，避免出現(xiàn)控制量突變的情況；Pmax、Pmin為輸出量的上下邊界，對輸出量的路徑信息加以約束保證實際的路徑信息和參考路徑信息偏差不能過大，此項保證控制器準確跟隨參考路徑的能力[8]。

3 基于包絡(luò)線的穩(wěn)定性控制策略

3.1 輪胎側(cè)偏角約束

當(dāng)側(cè)偏角處于線性區(qū)域時，輪胎側(cè)偏力隨側(cè)偏角的增大而線性增加。側(cè)偏角繼續(xù)增加，進入非線性區(qū)域范圍，輪胎側(cè)偏力達到飽和導(dǎo)致車輛產(chǎn)生側(cè)向滑移，從而失去路徑跟蹤能力。因此，本文在路徑跟蹤算法中加入側(cè)偏角約束。前后輪胎側(cè)偏角與狀態(tài)變量和控制量的關(guān)系為

(10)

式(10)可表示為以下形式

α(k)=C1χ(k)-u(k)。

(11)

設(shè)置車輪側(cè)偏角約束條件如下：

-αp≤α(k)≤αp。

(12)

附著條件較好時，車輪側(cè)偏角不超過3°，輪胎處于線性區(qū)域，式中，側(cè)偏角取3°。路面附著條件為0.3時，側(cè)偏角約束可取1.5°。

3.2 相平面穩(wěn)定域邊界的設(shè)計

(a) μ=0.8

(b) μ=0.4

(13)

式中,A和B為邊界系數(shù)，分別表示線性穩(wěn)定邊界的斜率和截距。

表1 不同路面附著系數(shù)下的邊界系數(shù)Tab.1 Boundary coefficient under different road adhesion coefficient

根據(jù)表1擬合邊界系數(shù)和路面附著系數(shù)的關(guān)系，得到如下關(guān)系：

(14)

由此得到的穩(wěn)定區(qū)域邊界可以適用于不同附著系數(shù)的路面。為防止車輛在運動過程中處于失穩(wěn)狀態(tài)，需要在路徑跟蹤算法中設(shè)計約束條件，將車輛的狀態(tài)參數(shù)約束到穩(wěn)定域內(nèi)部。首先分析質(zhì)心側(cè)偏角速度和狀態(tài)變量的關(guān)系，并由狀態(tài)變量表示，如式(15)所示。

(15)

將式(15)的穩(wěn)定域邊界作為路徑跟蹤算法的輸出量約束，然后求解目標函數(shù)，即可得到滿足條件的車輪轉(zhuǎn)角。

3.3 基于包絡(luò)線的穩(wěn)定性控制

四輪轉(zhuǎn)向車輛可以通過施加后輪輔助轉(zhuǎn)角的方式，使車輛的質(zhì)心側(cè)偏角接近為零[11]，改善汽車的高速行駛時的穩(wěn)定性，提升循跡能力。

根據(jù)質(zhì)心側(cè)偏角和狀態(tài)變量χ的關(guān)系，將質(zhì)心側(cè)偏角作為輸出量輸出，如式(16)所示。

(16)

將質(zhì)心側(cè)偏角的值限制到零的附近，如式(17)所示。

-β0≤C3χ≤β0，

(17)

式中，β0為使質(zhì)心側(cè)偏角貼近零的限制值，可取1°以下。利用上述關(guān)系，將質(zhì)心側(cè)偏角的控制轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)輸出量的約束，求解目標函數(shù)即可得到滿足約束條件的前輪轉(zhuǎn)角和后輪轉(zhuǎn)角，從而實現(xiàn)車輛的零質(zhì)心側(cè)偏角控制。

將式(15)和式(17)作為車輛狀態(tài)參數(shù)的約束，形成如圖3所示封閉的包絡(luò)線。本文設(shè)計的包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略通過在模型預(yù)測路徑跟蹤算法中添加約束，將車輛的狀態(tài)參數(shù)限制到包絡(luò)線的內(nèi)部，以改善四輪轉(zhuǎn)向車輛行駛時的穩(wěn)定性，同時對輪胎側(cè)偏角進行約束，避免輪胎側(cè)向力達到飽和產(chǎn)生側(cè)滑。

圖3 車輛狀態(tài)參數(shù)的包絡(luò)線示意圖Fig.3 Diagram of envelope of sideslip angle of vehicle

4 仿真分析

在Simulink和CarSim平臺上搭建模型進行聯(lián)合仿真，采用的車輛參數(shù)見表2。

表2 車輛參數(shù)Tab.2 Vehicle parameters

為了驗證本文提出的基于包絡(luò)線的穩(wěn)定性控制策略(方案二)的有效性，將本文提出的控制策略分別與無控制及穩(wěn)定域控制策略(方案一)進行對比。穩(wěn)定域控制策略將車輛系統(tǒng)的狀態(tài)限制到相平面穩(wěn)定域內(nèi)，同時含有輪胎側(cè)偏角約束避免輪胎力達到飽和產(chǎn)生滑移。無穩(wěn)定性控制的路徑跟蹤控制器不添加任何動力學(xué)約束。以雙移線為參考路徑，對車速為110 km/h、路面附著系數(shù)為0.8以及車速為50 km/h、路面附著系數(shù)為0.3兩種工況進行仿真，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

從圖4中可以看出，當(dāng)車輛以110 km/h車速在附著系數(shù)為0.8的路面行駛時，未控制的車輛通過第三個彎道后嚴重偏離了參考路徑，在仿真時間為1.5～2.8 s和3.1 s以后其輪胎側(cè)偏角進入飽和區(qū)域，輪胎側(cè)向力達到飽和，車輛因產(chǎn)生較大的側(cè)向滑移而失去了路徑跟蹤能力。而采用穩(wěn)定域控制和基于包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略的車輛，對參考路徑具有較好的跟蹤能力，其輪胎側(cè)偏角始終處在線性區(qū)域，避免了輪胎側(cè)向力達到飽和。相比穩(wěn)定域控制，采用包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略車輛的質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度都有進一步降低，質(zhì)心側(cè)偏角最大值為1°，可以認為達到了質(zhì)心側(cè)偏角基本為零的控制目標。從圖4(d)中可以看到，它的相軌跡在仿真末尾回歸到原點。相軌跡閉環(huán)區(qū)域越小，表示系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。因此，基于包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略在3個方案中車輛的行駛穩(wěn)定性最好。

圖5表示車輛車速為50 km/h的在路面附著系數(shù)為0.3時路徑跟蹤仿真結(jié)果。由圖5(a)可知，未控制的車輛與參考路徑有嚴重的偏離，在仿真時間3 s以后輪胎側(cè)偏角繼續(xù)增大進入飽和區(qū)，車輪無法提供足夠的反力支持車輛轉(zhuǎn)向行駛，此時車輛產(chǎn)生側(cè)滑而失去路徑跟蹤能力。采用穩(wěn)定域控制和基于包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略的車輛都可以完成對參考路徑的跟蹤，由于算法中含有輪胎側(cè)偏角約束，車輛的輪胎側(cè)偏角處在1.5°以下，此時輪胎側(cè)偏力處在線性區(qū)域，避免了因輪胎側(cè)向力不足產(chǎn)生側(cè)滑，保證了車輛的路徑跟蹤能力。跟蹤路徑過程中，采用包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略車輛的質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度較小，車輛的狀態(tài)較為穩(wěn)定。采用基于包絡(luò)線穩(wěn)定性控制策略的車輛質(zhì)心側(cè)偏角近似為零。從圖5(d)中可以看出，其相軌跡范圍相比穩(wěn)定域控制車輛更小，進一步提高了車輛的行駛穩(wěn)定性。

(a) 軌跡

(c) 橫擺角速度

(d) 相軌跡

(e) 前輪側(cè)偏角

(f) 后輪側(cè)偏角

(a) 軌跡

(b) 質(zhì)心側(cè)偏角

(c) 橫擺角速度

(d) 相軌跡

(e) 前輪側(cè)偏角

(f) 后輪側(cè)偏角

5 結(jié)論

① 本文提出了一種考慮行駛穩(wěn)定性的四輪轉(zhuǎn)向車輛路徑跟蹤控制方法，通過在路徑跟蹤算法中加入輪胎側(cè)偏角約束和車輛狀態(tài)參數(shù)包絡(luò)約束，使車輛在高速行駛時具有穩(wěn)定跟蹤參考路徑的能力，此方法同樣適用于低附著路面行駛工況。