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        注重函數(shù)性質(zhì)交匯 明晰函數(shù)圖象判別

        2022-03-12 09:42:36黃雅蘭
        數(shù)理化解題研究 2022年4期
        關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)奇偶性

        黃雅蘭

        (廣東省東莞市第一中學(xué) 523000)

        基本初等函數(shù)的性質(zhì)是高考試題中最為常考的一種題型之一,通過函數(shù)圖象去研究函數(shù)性質(zhì)是數(shù)學(xué)方法中常見的一種研究手段,本文立足函數(shù)性質(zhì),分析了函數(shù)圖象的相關(guān)問題.

        1 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

        例1 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+1)為偶函數(shù),若f(-1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( ).

        A.4 B.2 C.0 D.-2

        解法1f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

        所以-f(x)=f(-x).

        因為f(x+1)為偶函數(shù),

        所以f(-x+1)=f(x+1).

        在②式中,用x+1替代x,

        則f(-x)=f(x+2).

        所以f(x)=-f(x+2).

        在①式中,令x+2替代x,

        則-f(x+2)=f(-x-2).

        因為f(-x-2)=f[-(x+3)+1],

        再根據(jù)②式關(guān)系,得

        f(-x-2)=f[-(x+3)+1]=f[(x+3)+1]=f(x+4).

        綜上所述,得f(x)=f(x+4).

        所以f(x)的周期為4.

        由已知得,f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則

        f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,

        f(2)=f(1+1)=f(-1+1)=f(0)=0,

        f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,

        f(4)=f(0+4)=f(0)=0,

        所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

        所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

        解法2 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+1)為偶函數(shù),可知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

        又f(-1)=2,取f(x)=-2x,x∈[-1,1],

        則f(1)=-2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=2,f(4)=f(0)=0.

        所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

        點評已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù),求函數(shù)值常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.

        2 函數(shù)圖象的識別

        圖1

        所以f(x)是偶函數(shù).

        所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故排除C,D.

        即f(x)<0,故排除B,選A.

        例3(2021年廣東湛江模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖2所示,則f(x)可以為( ).

        圖2

        點評函數(shù)圖象與解析式之間的4種對應(yīng)關(guān)系:

        (1)從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置,從函數(shù)的值域(或有界性),判斷圖象的上下位置;

        (2)從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的升降變化趨勢;

        (3)從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反;

        (4)從函數(shù)的周期性判斷圖象是否具有循環(huán)往復(fù)特點.

        3 函數(shù)圖象的變換

        例4已知定義在區(qū)間[0,4]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖3所示,則y=-f(2-x)的圖象為( ).

        圖3

        圖4

        解法1先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象,得到y(tǒng)=f(-x)的圖象;然后將y=f(-x)的圖象向右平移2個單位,得到y(tǒng)=f(2-x)的圖象;再作y=f(2-x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象,得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象.故選D.

        解法2先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點的對稱圖象,得到y(tǒng)=-f(-x)的圖象;然后將y=-f(-x)的圖象向右平移2個單位,得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象.故選D.

        點評通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點:

        (1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象);

        (2)了解一些常見的變換形式,如平移變換、翻折變換.

        4 函數(shù)圖象的應(yīng)用

        圖5

        故方程2f2(x)-3f(x)+1=0有5個解.

        點評利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題,如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題,函數(shù)的零點、方程根的問題,有關(guān)不等式的問題等,當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時,可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo),方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標(biāo).

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