劉 坤，杜長(zhǎng)虹，吳 維，盧國(guó)成，苑士華

（1.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京100081；2.重慶長(zhǎng)安汽車股份有限公司，重慶400023）

前言

為了更好地發(fā)揮驅(qū)動(dòng)電機(jī)的性能、減輕車身質(zhì)量，驅(qū)動(dòng)電機(jī)+傳動(dòng)機(jī)構(gòu)形式的電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在電動(dòng)汽車領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛［1］。電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)省略了變矩器和離合器等減振元件，表現(xiàn)為欠阻尼系統(tǒng)，使得輪胎扭轉(zhuǎn)特性對(duì)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響更加突出［2］。為提升電動(dòng)汽車行駛里程，再生制動(dòng)技術(shù)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，再生制動(dòng)過(guò)程中，電磁轉(zhuǎn)矩隨車速變化，在內(nèi)部和外部時(shí)變激勵(lì)綜合影響下，電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)特性更加復(fù)雜。

基于多自由度動(dòng)力學(xué)模型，主要考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中一些非線性因素的影響。Qiao等［3］在考慮時(shí)變嚙合剛度（time varying mesh stiffness，TVMS）的基礎(chǔ)上分析了柔性軸對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，其研究的傳動(dòng)軸太長(zhǎng)，在結(jié)構(gòu)緊湊的電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)上使用并不廣泛。Kubur等［4］給出多級(jí)傳動(dòng)通用的動(dòng)力學(xué)模型，考慮了中間軸上兩個(gè)齒輪位置角的影響，但未考慮中間軸的扭轉(zhuǎn)耦合。有學(xué)者引入分形理論，修正了現(xiàn)有的齒側(cè)間隙模型，得到了計(jì)及齒面微觀特征的齒輪動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［5］。周世華等［6］建立了8自由度的齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承模型，探討了轉(zhuǎn)速和誤差波動(dòng)對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，結(jié)果表明：傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性歸因于內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)的相互作用。胡紀(jì)濱等［7］建立了考慮電磁激勵(lì)的機(jī)電耦合扭振模型，通過(guò)注入諧波電流降低機(jī)電系統(tǒng)的扭振。重慶大學(xué)秦大同教授課題組［8］對(duì)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究比較深入，分析了考慮機(jī)電耦合時(shí)異步驅(qū)動(dòng)電機(jī)和行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的載荷特性，表明在變速變載工況下機(jī)電耦合效應(yīng)不可忽略。劉浩［9］等建立了考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)模型，但未深入分析輪胎扭轉(zhuǎn)特性對(duì)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固有特性的影響。

通過(guò)上述文獻(xiàn)可知，現(xiàn)有研究大多關(guān)注穩(wěn)態(tài)時(shí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)內(nèi)部激勵(lì)對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，對(duì)于瞬態(tài)的分析也只研究了驅(qū)動(dòng)工況。本文中在計(jì)及靜態(tài)傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙、TVMS和支撐軸承的基礎(chǔ)上，建立永磁同步電機(jī)-兩級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)-輪胎的多自由度耦合模型，通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性；分析了再生制動(dòng)工況下輪胎扭轉(zhuǎn)特性和不同再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩對(duì)電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，本研究可為電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)載荷研究和壽命預(yù)測(cè)提供理論指導(dǎo)。

1 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電耦合模型

電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)示意圖如圖1所示，主要包含驅(qū)動(dòng)電機(jī)、兩級(jí)斜齒輪減速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、軸承以及車輪。齒輪一和電機(jī)轉(zhuǎn)子在輸入軸上，齒輪二、三共同在中間軸上，齒輪四在輸出軸上。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)輸出軸與半軸共同使用一根軸。

圖1 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

1.1 驅(qū)動(dòng)電機(jī)模型

電動(dòng)汽車由永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)，采用Clark和Park變換建立交直軸坐標(biāo)系下驅(qū)動(dòng)電機(jī)電壓方程和轉(zhuǎn)矩方程：

式中：u、i和L分別為電壓、電流和電感，下標(biāo)d、q代表交直軸；rs為電樞電阻；θr為轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)角度；ψf為永磁磁鏈；pn為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)；Te為驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩。

只考慮驅(qū)動(dòng)電機(jī)的機(jī)械振動(dòng)，忽略電磁效應(yīng)引起的振動(dòng)，通過(guò)Te將電機(jī)的電磁模型與機(jī)械系統(tǒng)的受迫扭轉(zhuǎn)模型聯(lián)立起來(lái)。電機(jī)轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型為

式中：Ir為電機(jī)轉(zhuǎn)子和軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和；θg1為齒輪一的扭轉(zhuǎn)角度；ktin、ctin分別為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)輸入軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼。

1.2 斜齒輪嚙合力模型

齒輪的TVMS是導(dǎo)致傳動(dòng)機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的重要因素，目前主要使用能量法［10］、接觸線法［11］和有限元法［12］計(jì)算TVMS。能量法包含積分項(xiàng)計(jì)算較慢，不適用于長(zhǎng)時(shí)間的動(dòng)力學(xué)分析，而有限元法與動(dòng)力學(xué)模型耦合復(fù)雜。因此，使用接觸線法計(jì)算TVMS。

設(shè)第i條接觸線與斜齒輪前端面交點(diǎn)到進(jìn)入端的距離為u：

式中：θm為齒距角，θm=2π/Zg1，Zg1為齒輪一齒數(shù)；pbt為端面基圓齒距。

第i條接觸線長(zhǎng)度為

式中：βb為基圓螺旋角；εα為端面重合度；εβ為軸向重合度；εγ為總重合度。

可求得綜合嚙合剛度為

式中：Nb為同時(shí)嚙合的接觸線數(shù)目；Ki()θg1為沿接觸線單位長(zhǎng)度的嚙合剛度［11］。

式中：kmax為單齒最大嚙合剛度，可由ISO 6336—1獲得；αk為材料系數(shù)。

可定義嚙合線方向上的相對(duì)位移δm和嚙合力Fm為

式中：θg2為齒輪二扭轉(zhuǎn)角度；Rg1和Rg2分別為齒輪一、二的基圓半徑；x1、y1、z1、x2、y2和z2分別為齒輪一、二的切向、徑向和軸向位移；em（θg1）為靜態(tài)傳動(dòng)誤差；αt為端面分度圓壓力角；αm為兩個(gè)齒輪副中心連線與垂直方向的夾角；βd為分度圓螺旋角；cm為嚙合阻尼；b為一半的齒側(cè)間隙。

將嚙合力分解到切向（x）、徑向（y）和軸向（z）：

1.3 兩級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

兩級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，ktmid、ktout、ctmid、ctout分別為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中間軸和輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；kbi1x、cbi1x分別為輸入軸軸承切向支承剛度和阻尼，其他軸命名方式類似。

圖2 傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

結(jié)合前面計(jì)算的嚙合力模型，由拉格朗日方程推導(dǎo)出系統(tǒng)的平移運(yùn)動(dòng)方程為

式中：mg1~mg4為齒輪一~四質(zhì)量；kbix、kbmx和kbox分別為輸入軸、中間軸和輸出軸齒輪原點(diǎn)處切向的等效支承剛度。kbix=kbi1x+kbi2x，同理可得y、z方向和其他軸的等效支承剛度和阻尼。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

式中：Ig1~Ig4為齒輪一~四的旋轉(zhuǎn)慣量；θg3、θg4、Rg3和Rg4分別為齒輪三、四的扭轉(zhuǎn)角度和基圓半徑；θa為輪轂轉(zhuǎn)動(dòng)角度；Fm1為一級(jí)嚙合力；Fm2為二級(jí)嚙合力。

1.4 輪胎模型

作用在車輪上的道路阻力由滾動(dòng)阻力、坡道阻力和空氣阻力組成：

式中：f為滾動(dòng)摩擦因數(shù)；mt為車輛總質(zhì)量；g為重力加速度；α為坡度角；CD為空氣阻力系數(shù)；A為汽車迎風(fēng)面積；v為汽車行駛速度。

為充分考慮車輛的縱向運(yùn)動(dòng)，忽略輪胎的側(cè)向和垂向運(yùn)動(dòng)，借鑒“刷子”模型，將輪胎模型處理為剛性的輪轂和彈性的胎體，輪胎模型如圖3所示。輪胎的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型見(jiàn)式（15）。

圖3 輪胎動(dòng)力學(xué)模型

式中：θb為胎體轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；ktire為輪胎的扭轉(zhuǎn)剛度；ctire為輪胎的扭轉(zhuǎn)阻尼；Rt為輪胎的滾動(dòng)半徑；Ia為輪轂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；λ為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量換算系數(shù)。

2 模型驗(yàn)證

TVMS難以實(shí)際測(cè)量，因此與齒輪有限元接觸模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。解析計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好，兩種方法的均值和幅值變化規(guī)律基本相同。

圖4 基于不同方法的TVMS對(duì)比

建立了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型試驗(yàn)臺(tái)架，如圖5所示。二級(jí)減速器中齒輪齒數(shù)分別為16、52、23、71。將SAEC00X5型加速度傳感器放置在一級(jí)齒輪軸承處，使用PCI?4716采集卡及配套軟件將采集得到的振動(dòng)加速度導(dǎo)出分析。試驗(yàn)工況設(shè)定為輸出轉(zhuǎn)速230 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩10 N·m。

圖5 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)

輸入軸軸承處振動(dòng)加速度的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖6所示，試驗(yàn)結(jié)果中時(shí)域信號(hào)為原始試驗(yàn)信號(hào)，頻域信號(hào)為濾波后的結(jié)果。

圖6 試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對(duì)比

計(jì)算結(jié)果中主要頻率成分為一級(jí)齒輪嚙頻fm1（fm1=615 Hz）、二級(jí)齒輪嚙頻fm2（fm2=272 Hz）、2fm1、3fm1和4fm1，這與試驗(yàn)結(jié)果基本相符。但實(shí)際運(yùn)行中還可能存在齒輪偏心、軸不對(duì)中、負(fù)載波動(dòng)和噪聲干擾等因素，計(jì)算得到的振動(dòng)加速度幅值小于實(shí)際測(cè)量得到的結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果頻域中也包含一些噪聲成分。一級(jí)齒輪嚙頻及其倍頻成分占比較高，這是由于測(cè)點(diǎn)位置與一級(jí)齒輪距離較近，振動(dòng)信號(hào)衰減較少。所建解析模型能夠反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，可進(jìn)一步用于電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析。

3 結(jié)果與討論

輪胎和車身參數(shù)見(jiàn)表1，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表2。利用Runge?Kutta法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解。

表1 輪胎/車身參數(shù)

表2 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

3.1 輪胎扭轉(zhuǎn)特性影響規(guī)律

易引起驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)共振的主要為前幾階固有頻率，計(jì)算得到的是否考慮輪胎扭轉(zhuǎn)剛度的前5階固有頻率見(jiàn)表3。

表3 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)固有頻率

不考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的0階模態(tài)為剛體運(yùn)動(dòng)，考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性后，受輪胎扭轉(zhuǎn)剛度約束作用，系統(tǒng)增加了1階新模態(tài)，且1階固有頻率也有所增加。圖7為系統(tǒng)0階和1階振型圖，考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性后，0階模態(tài)主要為扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，各構(gòu)件相對(duì)振幅從電機(jī)轉(zhuǎn)子按高速級(jí)向低速級(jí)遞減。1階振型中，輪轂相對(duì)扭轉(zhuǎn)振幅增大，各齒輪振幅不同程度減小，齒輪四減小了0.031 18，齒輪三減小了0.023 1，齒輪二減小了0.010 6，齒輪一減小了0.006 6，振幅減小程度從低速級(jí)向高速級(jí)遞減，表明在1階模態(tài)下，輪胎能夠分擔(dān)一部分傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的載荷。

圖7 電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)振型圖

車輛初速度為80 km/h，在2 s時(shí)驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出20 N·m再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，是否考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性的一級(jí)齒輪載荷如圖8所示。兩種情況下一級(jí)齒輪載荷基本相同。動(dòng)載荷呈隨車速減小而逐漸減小的趨勢(shì)，但在67.2、41.3、33.2、16.7和11.2 km/h處出現(xiàn)了數(shù)個(gè)共振區(qū)，由圖8（b）可知，主要是由二級(jí)齒輪嚙頻fm2、fm2邊頻、2fm2、4fm2、6fm2激發(fā)了2階固有頻率產(chǎn)生。電磁轉(zhuǎn)矩頻率fe、一級(jí)齒輪嚙頻fm1和fm2的其他倍頻也激發(fā)了2階固有頻率產(chǎn)生了幅值較小的共振區(qū)。一級(jí)齒輪中受到二級(jí)齒輪嚙頻影響較大，可能是由于齒輪二、三振動(dòng)位移相同，而齒輪三主要受二級(jí)齒輪載荷影響。

圖8 齒輪載荷對(duì)比

是否考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性載荷不同點(diǎn)主要在電磁轉(zhuǎn)矩反向時(shí)刻，見(jiàn)圖8（c）。在反向時(shí)刻除受外部和內(nèi)部激勵(lì)影響產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)外，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)載荷還受轉(zhuǎn)矩突變激勵(lì)產(chǎn)生了瞬態(tài)自由衰減振動(dòng)，不考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性時(shí)，自由振動(dòng)fn1頻率成分對(duì)應(yīng)的幅值較大，對(duì)應(yīng)1階固有頻率。考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性后，自由振動(dòng)的頻率增加了fn0頻率成分，對(duì)應(yīng)由輪胎扭轉(zhuǎn)特性產(chǎn)生的0階固有頻率，表明系統(tǒng)瞬時(shí)響應(yīng)主要由輪胎產(chǎn)生的0階模態(tài)和電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的1階模態(tài)主導(dǎo)，兩種固有頻率產(chǎn)生的振動(dòng)使電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)載荷瞬間增大。由輪胎扭轉(zhuǎn)特性參數(shù)改變（0.5ktire~2ktire）帶來(lái)的固有頻率和振型改變很小，導(dǎo)致載荷變化也很小。

結(jié)合圖7（b）可知，轉(zhuǎn)矩突變后，輪轂和齒輪四反向扭振，可能在半軸上產(chǎn)生較大的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，考慮輪胎扭轉(zhuǎn)特性能夠?yàn)闇?zhǔn)確計(jì)算半軸疲勞損傷提供幫助。

3.2 再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩影響規(guī)律

驅(qū)動(dòng)電機(jī)分別輸出再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩5、40、80和120 N·m，一級(jí)齒輪載荷的時(shí)域響應(yīng)和頻域響應(yīng)如圖9所示。圖9（a）為載荷分布的上下包絡(luò)線，圖9（b）為自由振動(dòng)時(shí)的頻域響應(yīng)。再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩為5 N·m時(shí)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)持續(xù)發(fā)生齒輪雙側(cè)拍擊現(xiàn)象，且齒背側(cè)的拍擊力大于齒面?zhèn)鹊呐膿袅?，直到車速降?0 km/h后，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)載荷減小，只在共振區(qū)發(fā)生拍擊。

圖9 不同再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩下齒輪載荷

再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩為40 N·m時(shí)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)對(duì)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)施加的外力增大到齒輪能夠保持齒背嚙合，只在共振區(qū)出現(xiàn)拍擊現(xiàn)象。再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩增加至80和120 N·m時(shí)，67.2和33.2 km/h共振區(qū)的動(dòng)載荷顯著增大。再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩為80 N·m時(shí)，67.2 km/h處載荷幅值為5 534 N，33.2 km/h處的載荷幅值為7 393 N；再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩為120 N·m時(shí)，67.2 km/h處載荷幅值為7 722 N，33.2 km/h處的載荷幅值為6 733 N。再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩增加到一定程度后，動(dòng)載荷幅值不再隨轉(zhuǎn)矩的增加而增加。但自由振動(dòng)的持續(xù)時(shí)間和動(dòng)載荷幅值隨再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩的增加而持續(xù)增加。由圖9（b）可知，是由于fn0和fn1對(duì)應(yīng)載荷的持續(xù)時(shí)間和幅值增大。

再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩較小時(shí)，發(fā)生齒輪拍擊現(xiàn)象，可能會(huì)產(chǎn)生較大噪聲，而再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩較大時(shí)動(dòng)載荷較大，降低了電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)使用壽命。應(yīng)盡量避免使用較小的再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，在共振區(qū)通過(guò)減小再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩、增加機(jī)械制動(dòng)轉(zhuǎn)矩維持制動(dòng)力不變的同時(shí)減小傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)載荷。

4 結(jié)論

在考慮靜態(tài)傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度等因素的基礎(chǔ)上，建立了多自由度的永磁同步電機(jī)-斜齒輪二級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)-輪胎耦合動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。研究結(jié)果表明：

（1）輪胎扭轉(zhuǎn)特性使得系統(tǒng)剛性模態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榕まD(zhuǎn)模態(tài)，并減小了系統(tǒng)1階模態(tài)相對(duì)振幅；

（2）輪胎扭轉(zhuǎn)特性影響電磁轉(zhuǎn)矩反向時(shí)刻傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)載荷，再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩較小時(shí)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在高速時(shí)發(fā)生長(zhǎng)時(shí)間齒輪拍擊現(xiàn)象；

（3）隨著再生制動(dòng)轉(zhuǎn)矩的增加，拍擊現(xiàn)象逐漸消失，但自由振動(dòng)時(shí)的動(dòng)載荷和持續(xù)時(shí)間逐漸增大。