劉家良

[原題再現(xiàn)]

例（2020·江蘇·南通·第21題）如圖1，直線l1：y = x+3與過點(diǎn)A（3，0）的直線l2交于點(diǎn)C（1，m），與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求直線l2的解析式;

（2）點(diǎn)M在直線l1上，MN[?]y軸，交直線l2于點(diǎn)N，若MN = AB，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

[考點(diǎn)剖析]

1.知識點(diǎn)：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法、與坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、與坐標(biāo)軸平行的直線上的兩點(diǎn)間的距離公式、列方程（組）、解方程（組）.

2.思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、待定系數(shù)法.

3.難點(diǎn)：在直線l1上取點(diǎn)M，需考慮其在點(diǎn)C的左右兩側(cè)的情況;用兩點(diǎn)坐標(biāo)的差表示與坐標(biāo)軸平行的直線上兩點(diǎn)間的距離，需要弄清哪一個(gè)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)是被減式，哪一個(gè)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)是減式.

[學(xué)情分析]

（1）求直線l2的解析式，需已知直線l2上的兩點(diǎn)坐標(biāo). 由題意知點(diǎn)A（3，0），C（1，m）是直線l2上的兩點(diǎn)，那么如何求m值呢？這就需要理解兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，即交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)式中的x，y.

解：設(shè)直線l2的解析式為y = kx+b.

∵點(diǎn)C（1，m）是直線l1和l2的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)C（1，m）既在直線l1上，又在直線l2上.

∵點(diǎn)C（1，m）在直線y = x+3上，∴m = 1 + 3 = 4，∴C（1，4）.

∵點(diǎn)A（3，0），C（1，4）在直線y = kx+b上，∴[3k+b=0，k+b=4.]解得[k=-2，b=6.]

∴直線l2的解析式為y =-2x+6.

感悟：求一次函數(shù)的解析式，需已知一次函數(shù)對應(yīng)直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo). 也可以說，求一次函數(shù)的解析式，實(shí)則是解待定系數(shù)為k，b的二元一次方程組.

（2）用字母表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M在直線l1上，求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，類似于列方程解應(yīng)用題時(shí)設(shè)未知數(shù)，用字母表示坐標(biāo)是解函數(shù)問題的常用方法. 根據(jù)與y軸平行的直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同的性質(zhì)，結(jié)合MN[?]y軸，可得點(diǎn)N，M的橫坐標(biāo)相等. 結(jié)合直線l2過點(diǎn)N，求得點(diǎn)N的縱坐標(biāo). 關(guān)于線段MN與點(diǎn)C的位置關(guān)系，需分點(diǎn)C的左右兩側(cè)來思考. 用點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)的差表示MN的長度，哪一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是被減式要視線段MN在點(diǎn)C的左右兩側(cè)而定，有的同學(xué)只想到其中的一種情形，造成了漏解. 求得AB的長，列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：∵點(diǎn)B是直線y = x+3和x軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為0，即x + 3 = 0，解得x = -3，

∴B（-3，0），OB = 3.

∵點(diǎn)A（3，0），∴AB = 3 - （-3） = 6.

∵M(jìn)N = AB，∴MN = 6.

∵點(diǎn)M在直線y = x+3上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m + 3）.

∵M(jìn)N[?]y軸，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m.

∵點(diǎn)N在直線y = -2x+6上，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2m + 6，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-2m + 6）.

當(dāng)線段MN在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖2，∴MN = -2m + 6 - （m + 3），

∴-2m + 6 - （m + 3） = 6，解得m = -1，∴m + 3 = 2，∴M的坐標(biāo)為（-1，2）.

當(dāng)線段MN在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，如圖3，∴MN = m + 3 -（-2m + 6），

∴m + 3 - （-2m + 6） = 6，解得m = 3，

∴m + 3 = 6，∴M的坐標(biāo)為（3，6）.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）或（3，6）.

感悟：數(shù)與形“聯(lián)手”能夠使抽象的函數(shù)問題變得形象、直觀，為問題的切入指路. 雖然已知點(diǎn)M，N分別在直線l1，l2上，但是線段MN的具體位置并不明確. 為了使思維條理化，以點(diǎn)C為分界點(diǎn)，分線段MN在點(diǎn)C的左右兩側(cè)來思考. 分類討論是解函數(shù)問題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想.

[勤于積累]

1.待定系數(shù)法求一次函數(shù)式，分三個(gè)步驟：設(shè)，代，解.

2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)適合兩條直線所對應(yīng)的一次函數(shù)式.

3.與坐標(biāo)軸平行的直線的坐標(biāo)特征及直線上兩點(diǎn)間的距離公式：與x軸平行，直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，直線上兩點(diǎn)間的距離為大橫坐標(biāo)減去小橫坐標(biāo);與y軸平行，直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，直線上兩點(diǎn)間的距離為大縱坐標(biāo)減去小縱坐標(biāo).

4.數(shù)形結(jié)合：有圖象的利用圖象，數(shù)形互化;無圖象的要養(yǎng)成畫圖象的習(xí)慣.

5.分類討論：當(dāng)點(diǎn)、線段位置不明確時(shí)，須分不同情況討論.

[拓展演練]

設(shè)例題中直線l1，l2對應(yīng)函數(shù)的值分別為y1，y2. 當(dāng)y1 = y2時(shí)，求x的值;當(dāng)y1 > y2時(shí)，求x的取值范圍.若直線l1與y軸相交于點(diǎn)D，其他條件均不變，試求四邊形ODCA的面積.

答案：當(dāng)y1 = y2時(shí)，x = 1;當(dāng)y1 > y2時(shí)，x > 1. 四邊形ODCA的面積是7.5.

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）