喻 瑩，徐新卓，羅堯治

(1.汕頭大學(xué)土木與環(huán)境工程系，廣東，汕頭515000；2.浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江，杭州310000)

折紙是一種古老的藝術(shù)，通常由二維紙張經(jīng)過折疊形成各種不同的空間構(gòu)型。由于折紙構(gòu)型能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜的三維形狀[1]、構(gòu)型轉(zhuǎn)換[2]以及傳統(tǒng)材料難以實(shí)現(xiàn)的機(jī)械性能[3]，其蘊(yùn)含的科學(xué)價(jià)值和工程價(jià)值已經(jīng)逐漸被國內(nèi)外研究者重視，在可展天線、超材料、生物醫(yī)學(xué)、可展機(jī)器人[4? 25]等領(lǐng)域均有較好的研究成果出現(xiàn)。

失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在壓力作用下突然發(fā)生大變形或大變位的現(xiàn)象，是結(jié)構(gòu)中常見的破壞模式。一方面，如果能夠?qū)Y(jié)構(gòu)在外荷載下的失穩(wěn)過程和位置進(jìn)行控制，將為智能結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。另一方面，很多折紙構(gòu)型可以通過改變折痕性質(zhì)實(shí)現(xiàn)多剛度、多穩(wěn)定性的變化[26]，Kresling[27]折紙構(gòu)型就是其中的一種，如圖1。這種折紙構(gòu)型是由Birtua Kresling 發(fā)現(xiàn)并命名的，其折痕是薄壁圓柱經(jīng)扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的。該構(gòu)型在折疊過程中會(huì)出現(xiàn)多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)[28]。蔡建國等[29]分析了Kresling 折紙構(gòu)型的邊長和高度對其力學(xué)性能和失穩(wěn)應(yīng)變能的影響；Paulino和Liu[30]使用鉸鏈彈簧模型分析了多層Kresling 模型，發(fā)現(xiàn)折痕剛度對其力學(xué)性能影響很小，并提出結(jié)構(gòu)可能的破壞位置；Li 等[31]則研究了旋轉(zhuǎn)角度和高度比對Kresling折紙構(gòu)型破壞性能的影響。Kresling 折紙構(gòu)型的多穩(wěn)態(tài)失穩(wěn)模式已經(jīng)引起了很多學(xué)者的重視。然而，對于如何控制該類結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)，目前還未見相關(guān)研究。

圖1 兩層Kresling 折紙結(jié)Fig.1 Two-layer Kresling origami

本文基于有限質(zhì)點(diǎn)法研究如何控制Kresling折紙構(gòu)型空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式。首先采用有限質(zhì)點(diǎn)法模擬全桿模型下的Kresling 空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程，計(jì)算其折疊過程中桿件應(yīng)變能的變化，驗(yàn)證有限質(zhì)點(diǎn)法的有效性。然后在該結(jié)構(gòu)中引入索單元和膜單元，研究索桿模型、索桿膜模型、嵌套式模型的失穩(wěn)模式，分析預(yù)應(yīng)力水平和彈性模量對結(jié)構(gòu)剛度的影響，最終實(shí)現(xiàn)對雙層Kresling空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式進(jìn)行控制。

1 基于有限質(zhì)點(diǎn)法的索、桿、膜結(jié)構(gòu)分析

1.1 基本計(jì)算公式

有限質(zhì)點(diǎn)法以向量力學(xué)為基礎(chǔ)，采用離散的質(zhì)點(diǎn)描述結(jié)構(gòu)，用牛頓第二定律描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓第二定律，如下式：

1.2 單元內(nèi)力計(jì)算

有限質(zhì)點(diǎn)法通過逆向轉(zhuǎn)動(dòng)求出單元純變形，進(jìn)而得到單元內(nèi)力[32]。此處簡單介紹桿、索和膜單元的內(nèi)力計(jì)算。

1.2.1桿單元的內(nèi)力計(jì)算

桿單元僅發(fā)生軸向變形產(chǎn)生軸力，并將軸力反向作用到與其相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。質(zhì)點(diǎn)α 的內(nèi)力[33]可表示為：

1.2.2索單元的內(nèi)力計(jì)算

根據(jù)索單元能夠受拉不能受壓的特點(diǎn)，其內(nèi)力求解[34]如下：

1.2.3膜單元的內(nèi)力計(jì)算

求解膜單元內(nèi)力需要先估算一段時(shí)間內(nèi)薄膜元的剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，利用虛擬逆向運(yùn)動(dòng)估算節(jié)點(diǎn)變形位移，然后在變形坐標(biāo)系下計(jì)算單元的內(nèi)力。三角形膜單元的內(nèi)力計(jì)算公式[35]為：

2 Kresling 空間結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)研究

本節(jié)研究基于Kresling 構(gòu)型的空間桁架結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程。結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，其中底邊長a=1000 mm，側(cè)向斜邊長b=1500 mm，結(jié)構(gòu)高h(yuǎn)=1440 mm。所有構(gòu)件均為彈性模量為2.1×105MPa的桿件，桿的橫截面積為393 mm2。

圖2 Kresling 純桿空間結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Bar model of Kresling spatial structure

采用有限質(zhì)點(diǎn)法模擬該純桿模型在均布荷載P作用下的折疊過程，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程如圖3所示，在均布荷載P作用下，該結(jié)構(gòu)向下折疊，結(jié)構(gòu)高度從初始的1440 mm 變化到完全折疊的0 mm，此過程中構(gòu)件的應(yīng)變能變化如圖4所示。隨著該空間結(jié)構(gòu)折疊下壓，構(gòu)件的應(yīng)變能從零增大到一個(gè)最大值然后又逐漸減小到零。這種現(xiàn)象即為Kresling折紙構(gòu)型失穩(wěn)過程的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。圖4將本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[28]的計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了有限質(zhì)點(diǎn)法在研究基于Kresling構(gòu)型的空間結(jié)構(gòu)失穩(wěn)過程的有效性和準(zhǔn)確性。

圖3 Kresling 空間結(jié)構(gòu)折疊過程Fig.3 Folding processof Kresling spatial structure

圖4 Kresling 空間結(jié)構(gòu)折疊過程應(yīng)變能變化Fig.4 Strain energy variation in folding processof Kresling spatial structure

3 Kresling 空間結(jié)構(gòu)的可控失穩(wěn)模式研究

本節(jié)采用有限質(zhì)點(diǎn)法對Kresling 空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)行為進(jìn)行研究，共分析了四種不同的結(jié)構(gòu)布置：索桿模型、索桿膜模型、嵌套式模型和雙層模型。通過分析材料彈性模量和拉索預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)豎向荷載下結(jié)構(gòu)剛度和應(yīng)變能的影響，尋找結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模式的控制方式。

3.1 索桿模型模擬

索桿模型分為兩種：一種是斜框線AH、BI、CJ、DK、EL為索，其余單元均為桿件，如圖5；另一種是豎框線AG、BH、CI、DJ、EK、FL為索，其余單元均為桿件，如圖6。兩種模型均由12個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中桿單元的數(shù)量為18，索單元的數(shù)量為6。頂部6個(gè)質(zhì)點(diǎn)G、H、I、J、K、L作用相同的荷載P=1500 N，采用斜坡加載的方式進(jìn)行加載，考察索的預(yù)應(yīng)力和桿的彈性模量對結(jié)構(gòu)豎向剛度的影響，取質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線進(jìn)行分析。

圖5 斜框線為索的索桿模型Fig.5 Cable rod model with inclined cable

圖6 豎框線為索的索桿模型Fig.6 Cable rod model with vertical cable

3.1.1斜框線為索的索桿模型模擬

當(dāng)AH、BI、CJ、DK、EL為索時(shí)(如圖5)，首先找到結(jié)構(gòu)在預(yù)應(yīng)力的作用下的自平衡狀態(tài)，然后再施加荷載P。不同預(yù)應(yīng)力(0.001 MPa，0.01 MPa，0.1 MPa)對質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)的影響如圖7所示。由于該結(jié)構(gòu)在較大預(yù)應(yīng)力下難以維持穩(wěn)定狀態(tài)，區(qū)別于Kresling 結(jié)構(gòu)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的失穩(wěn)模式，結(jié)構(gòu)會(huì)整體逆向轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生破壞，因此本文中索的預(yù)應(yīng)力都比較小。隨著預(yù)應(yīng)力的增大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)并沒有明顯的變化，結(jié)構(gòu)剛度變化規(guī)律一致。

圖7 不同預(yù)應(yīng)力下G 點(diǎn)Z 軸坐標(biāo)變化Fig.7 Variation of Z-axis coordinate of G-point under different prestresses

圖8為桿的彈性模量(2.1×103MPa，2.1×104MPa，2.1×105MPa)對質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)的影響。此處選擇的彈性模量是為了考察材料對結(jié)構(gòu)性能的影響，并不與具體的物理材料對應(yīng)。隨著桿件彈性模量的增大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)因?yàn)闂U件的彈性模量不同出現(xiàn)了明顯的變化。桿件的彈性模量越大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸位移越小，結(jié)構(gòu)的剛度越大。以上分析說明索的預(yù)應(yīng)力變化時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛度變化規(guī)律相同；桿的彈性模量越大，結(jié)構(gòu)的剛度越大。

圖8 不同彈性模量下G 點(diǎn)Z 軸坐標(biāo)變化Fig.8 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

圖9為不同彈性模量和預(yù)應(yīng)力下的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化情況，當(dāng)索預(yù)應(yīng)力變化時(shí)，結(jié)構(gòu)桿的彈性模量取2.1×103MPa，當(dāng)桿的彈性模量變化時(shí)，索的預(yù)應(yīng)力取0.001 MPa。從圖中可以看到，隨著桿的彈性模量不斷增大，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能峰值不斷變大。桿的彈性模量越小，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能越快達(dá)到峰值。而隨著索的預(yù)應(yīng)力的變化，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能變化規(guī)律一致。

圖9 不同彈性模量和預(yù)應(yīng)力的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化Fig.9 Energy variation of structures with different elastic moduliand prestresses

3.1.2豎框線為索的索桿模型模擬

當(dāng)AG、BH、CI、DJ、EK、FL為索時(shí)(如圖6)，預(yù)應(yīng)力對外荷載作用下的質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化的曲線如圖10所示。隨著預(yù)應(yīng)力的增大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)僅有細(xì)微的變化，結(jié)構(gòu)剛度變化規(guī)律一致。預(yù)應(yīng)力過大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)G、H、I、J、K、L會(huì)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)以維持結(jié)構(gòu)平衡，結(jié)構(gòu)會(huì)整體逆向轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生破壞。

圖10 不同預(yù)應(yīng)力下G 點(diǎn)Z 軸坐標(biāo)變化Fig.10 Variation of Z-axis coordinate of point G under different prestresses

圖11為桿的彈性模量(2.1×103MPa，2.1×104MPa，2.1×105MPa)對質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)的影響。隨著桿件彈性模量的增大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)因?yàn)闂U件的彈性模量的不同出現(xiàn)了明顯區(qū)別。桿件的彈性模量越大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸位移越小，結(jié)構(gòu)的剛度越大。以上分析說明不同索預(yù)應(yīng)力對下，該構(gòu)型剛度變化規(guī)律相同，然而彈性模量的不同對該結(jié)構(gòu)的剛度變化影響較大。桿的彈性模量越大，該構(gòu)型的結(jié)構(gòu)剛度也越大。

圖11 不同彈性模量下G 點(diǎn)Z 軸坐標(biāo)變化Fig.11 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

圖12為不同彈性模量和預(yù)應(yīng)力下的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化情況，從圖中可以看到，桿的彈性模量對結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的影響與純桿結(jié)構(gòu)相同。而隨著索的預(yù)應(yīng)力的變化，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能變化規(guī)律一致。對比圖9，相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，可以看到第一種索桿的布置方式下結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能大于第二種布置方式。索的預(yù)應(yīng)力對第二種索桿模型剛度的影響大于第一種索桿模型，但在預(yù)應(yīng)力水平較小的情況下，無法通過設(shè)置預(yù)應(yīng)力明顯地調(diào)控結(jié)構(gòu)的豎向剛度。桿的彈性模量的不同對第一種索桿模型剛度的影響大于第二種索桿模型，在預(yù)應(yīng)力相同的情況下，不同彈性模量引起的第一種結(jié)構(gòu)的剛度變化更加明顯。

圖12 不同彈性模量和預(yù)應(yīng)力的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化Fig.12 Energy variation of structures with different elastic moduli and prestresses

3.2 索桿膜模型

根據(jù)以上的分析，在圖5基礎(chǔ)上加上膜單元，構(gòu)成索桿膜模型。整個(gè)模型由12個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，其中桿單元的數(shù)量為18，索單元的數(shù)量為6，膜單元的數(shù)量為12。模型如圖13所示，頂部6個(gè)質(zhì)點(diǎn)G、H、I、J、K、L作用相同的荷載P，采用斜坡加載的方式進(jìn)行加載，考察膜的彈性模量和桿的彈性模量對結(jié)構(gòu)豎向剛度的影響，取質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線進(jìn)行分析。

圖13 索桿膜模型Fig.13 Cable rod membrane model

圖14為膜的彈性模量(1.0×104MPa，1.0×106MPa，1.0×107MPa)對質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)的影響。從圖14、圖15可以看出隨著膜的彈性模量的增大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸位移出現(xiàn)了較大的差別。膜的彈性模量越大，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸位移越小，結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能越大，結(jié)構(gòu)的剛度越大。

圖14 不同彈性模量下質(zhì)點(diǎn)G 的Z 軸坐標(biāo)變化Fig.14 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

圖15 不同彈性模量下結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能變化Fig.15 Energy variation of structureunder different elastic moduli

圖16為膜的彈性模量EM(膜的彈性模量依次為102MPa、106MPa)和桿的彈性模量EB(桿的彈性模量依次為103MPa、104MPa、105MPa)對質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)的影響。從圖16所示的索桿膜結(jié)構(gòu)剛度的曲線變化可知：1)膜的彈性模量不變的情況下，桿的彈性模量越大，結(jié)構(gòu)剛度越大；2)桿的彈性模量不變的情況下，膜的彈性模量越大，結(jié)構(gòu)剛度越大；3)當(dāng)膜的彈性模量較小時(shí)，桿的彈性模量的改變對結(jié)構(gòu)剛度的影響很大，當(dāng)膜的彈性模量較大時(shí)，桿的彈性模量的改變對結(jié)構(gòu)剛度的影響很小。

圖16 不同彈性模量下質(zhì)點(diǎn)G 的Z 軸坐標(biāo)變化Fig.16 Variation of Z-axiscoordinate of point G under different elastic moduli

3.3 嵌套式Kresling 空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式研究

本節(jié)對嵌套式Kresling 空間結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式進(jìn)行分析。嵌套式Kresling 結(jié)構(gòu)由內(nèi)部較小的Kresling結(jié)構(gòu)和外部較大的Kresling 結(jié)構(gòu)組合而成，根據(jù)內(nèi)外兩個(gè)結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)方向的不同，分為內(nèi)外自旋方向相反(圖17，模型A)和內(nèi)外自旋方向相同(圖18，模型B)兩種。如圖17，從上向下看，外部大的空間結(jié)構(gòu)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，內(nèi)部小的空間桁架結(jié)構(gòu)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，二者旋轉(zhuǎn)方向相反。如圖18，從上向下看，外部大的空間桁架結(jié)構(gòu)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，內(nèi)部小的空間桁架結(jié)構(gòu)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，二者旋轉(zhuǎn)方向相同。兩種模型均由24個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，其中桿單元數(shù)量為72，索單元數(shù)量為12。頂部6個(gè)質(zhì)點(diǎn)G、H、I、J、K、L作用相同的荷載P，采用斜坡加載的方式進(jìn)行加載，考察內(nèi)外自旋方向和內(nèi)部Kresling 結(jié)構(gòu)尺寸對結(jié)構(gòu)豎向剛度的影響，取質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線進(jìn)行分析。h為內(nèi)部Kresling 的高度，aa為內(nèi)部Kresling 的邊長。外部Kresling 尺寸與第2部分模型的尺寸相同。

圖17 內(nèi)外自旋方向相反嵌套模型(模型A)Fig.17 Nested model with opposite spin directions(Model A)

圖18 內(nèi)外自旋方向相同嵌套模型(模型B)Fig.18 Nested model with same spin direction (Model B)

3.3.1內(nèi)外自旋方向相反的嵌套結(jié)構(gòu)

圖19為內(nèi)部不同高度，不同底邊尺寸的內(nèi)外自旋方向相反的嵌套空間結(jié)構(gòu)在豎向荷載下質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線。從圖可以看出：1)內(nèi)部結(jié)構(gòu)高度不變的情況下，邊長越大，該結(jié)構(gòu)的剛度越大；2)內(nèi)部結(jié)構(gòu)邊長不變的情況下，高度越小，該結(jié)構(gòu)的剛度越大。

圖19 模型A 質(zhì)點(diǎn)G 的Z 軸坐標(biāo)變化Fig.19 Z-axiscoordinatevariation of point G of Model A

3.3.2內(nèi)外自旋方向相同的嵌套結(jié)構(gòu)

圖20為內(nèi)部結(jié)構(gòu)在不同高度，不同底邊尺寸時(shí)，內(nèi)外自旋方向相同的嵌套空間結(jié)構(gòu)在外部荷載下，質(zhì)點(diǎn)G的Z軸坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線。從圖中可以看出：其變化規(guī)律與內(nèi)外自旋方向相反的嵌套空間結(jié)構(gòu)相同。

圖20 模型B質(zhì)點(diǎn)G 的Z 軸坐標(biāo)變化Fig.20 Z-axiscoordinatevariation of point G of Model B

如圖21所示，對比相同結(jié)構(gòu)尺寸下，不同旋轉(zhuǎn)方向的嵌套結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)G豎向荷載下的Z軸位移基本相同，因此內(nèi)外結(jié)構(gòu)的相對自旋方向?qū)Y(jié)構(gòu)剛度沒有影響。

圖21 模型A 與B質(zhì)點(diǎn)G 的Z 軸坐標(biāo)變化對比Fig.21 Comparison of Z-axiscoordinateof point G between Models A and B

為進(jìn)一步研究內(nèi)部結(jié)構(gòu)尺寸的變化對結(jié)構(gòu)性能的影響，以模型A 為例，分別考察內(nèi)部結(jié)構(gòu)高度和底邊長對結(jié)構(gòu)應(yīng)變能在豎向荷載作用下變化過程的影響。如圖22所示，內(nèi)部結(jié)構(gòu)高度h不變時(shí)，隨著底邊長aa的增大，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能逐漸越大，并且均表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。然而，當(dāng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)底邊長不變時(shí)，隨著結(jié)構(gòu)高度的增加，內(nèi)部結(jié)構(gòu)不再發(fā)生失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象消失(圖23)。因此對于內(nèi)外嵌套結(jié)構(gòu)，無論旋轉(zhuǎn)方向如何變化，調(diào)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)與外部結(jié)構(gòu)的相對尺寸，能有效調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能變化趨勢。

圖22 內(nèi)部結(jié)構(gòu)邊長對模型A 應(yīng)變能的影響Fig.22 Energy variation of model A with different side lengths of internal structure

圖23 內(nèi)部結(jié)構(gòu)高度對模型A 應(yīng)變能的影響Fig.23 Energy variation of Model A with different heightsof internal structure

3.4 雙層Kresling 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式分析

本節(jié)對雙層Kresling 索桿膜結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式進(jìn)行控制。為實(shí)現(xiàn)雙層Kresling 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模式可控，必須定量的調(diào)整兩層之間的相對剛度。如果要實(shí)現(xiàn)下層結(jié)構(gòu)失穩(wěn)上層結(jié)構(gòu)維持不變，則上層結(jié)構(gòu)的剛度必須大于下層結(jié)構(gòu)剛度，反之亦然。經(jīng)過以上對索桿結(jié)構(gòu)、索桿膜結(jié)構(gòu)、嵌套式結(jié)構(gòu)的分析發(fā)現(xiàn)，調(diào)整桿和膜的彈性模量，能夠有效達(dá)到調(diào)控結(jié)構(gòu)剛度的目的。

分析模型如圖24所示，模型中單層Kresling模型的尺寸與第2部分模型相同。上下層索的預(yù)應(yīng)力均取0.01 MPa。為實(shí)現(xiàn)下層結(jié)構(gòu)失穩(wěn)上層結(jié)構(gòu)維持不變，上層桿的彈性模量為2.1×105MPa，膜的彈性模量為1.0×105MPa，下層桿的彈性模量為2.1×103MPa，膜的彈性模量為1.0×103MPa。在上層質(zhì)點(diǎn)作用相同荷載P=1500 N，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程如圖25所示。為實(shí)現(xiàn)雙層Kresling 結(jié)構(gòu)上層結(jié)構(gòu)失穩(wěn)下層結(jié)構(gòu)不變，上層桿的彈性模量為2.1×103MPa，膜的彈性模量為1.0×103MPa，下層桿的彈性模量為2.1×105MPa，膜的彈性模量為1.0×105MPa。在上層質(zhì)點(diǎn)作用相同荷載P=1500 N，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程如圖26 所示。由兩種不同的失穩(wěn)模式可見，通過調(diào)節(jié)兩層結(jié)構(gòu)構(gòu)件的彈性模量，成功實(shí)現(xiàn)了對該雙層Kresling 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)過程的控制。

圖24 兩層Kresling 空間結(jié)構(gòu)模型圖Fig.24 Two-layer spatial structure model based on Kresling pattern

圖25 兩層Kresling 空間結(jié)構(gòu)下層失穩(wěn)Fig.25 Instability process of lower story of two-layer Kresling spatial structure

圖26 兩層Kresling 空間結(jié)構(gòu)上層失穩(wěn)Fig.26 Instability process of upper story of two-l ayer Kresling spatial structure

圖27為兩層Kresling空間結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)過程中結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能變化。從圖中可以看出，隨著上層結(jié)構(gòu)壓縮量的增大，應(yīng)變能逐漸達(dá)到峰值，當(dāng)上層結(jié)構(gòu)達(dá)到最大下壓高度時(shí)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能從峰值回落到一個(gè)低值，隨后下層結(jié)構(gòu)開始?jí)嚎s，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能又繼續(xù)變大。整個(gè)能量變化過程體現(xiàn)了每層Kresling 結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)失穩(wěn)疊加后的特點(diǎn)。

圖27 兩層Kresling 空間結(jié)構(gòu)應(yīng)變能變化Fig.27 Energy variation of two-layer Kresling spacial structure

4 結(jié)論

本文采用有限質(zhì)點(diǎn)法對基于Kresling 折紙構(gòu)型的空間結(jié)構(gòu)豎向荷載下的失穩(wěn)過程進(jìn)行了模擬。研究了不同結(jié)構(gòu)布置下，結(jié)構(gòu)彈性模量和預(yù)應(yīng)力水平對該結(jié)構(gòu)豎向剛度、失穩(wěn)模式和結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的影響，研究發(fā)現(xiàn)：

(1)對于Kresling 索桿結(jié)構(gòu)和索桿膜結(jié)構(gòu)，斜方向布索的索桿模型比豎方向布索的索桿膜性失穩(wěn)過程中的應(yīng)變能更大。在較低預(yù)應(yīng)力水平下，索的預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)失穩(wěn)過程的影響較小。桿和膜的彈性模量對結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程的影響較大。隨著彈性模量的增加，結(jié)構(gòu)剛度變大，結(jié)構(gòu)變形速率降低，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后存儲(chǔ)在結(jié)構(gòu)中的應(yīng)變能增大。

(2)對于嵌套Kresling 空間結(jié)構(gòu)，內(nèi)外結(jié)構(gòu)的相對大小對結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程有明顯影響，內(nèi)部結(jié)構(gòu)高度不變的情況下，底邊長越大，該結(jié)構(gòu)的剛度越大。內(nèi)部結(jié)構(gòu)底邊長不變的情況下，高度越小，該結(jié)構(gòu)的剛度越大。通過調(diào)節(jié)內(nèi)外結(jié)構(gòu)的相對尺寸，可以大幅調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)過程中應(yīng)變能的發(fā)展，在單調(diào)遞增和雙穩(wěn)態(tài)變化兩種模式之間調(diào)節(jié)。然而，內(nèi)外結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)方向?qū)Y(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程影響不大。

(3)通過調(diào)節(jié)單層Kresling 索桿膜結(jié)構(gòu)構(gòu)件的彈性模量，本文實(shí)現(xiàn)了雙層Kresling 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模式的控制，為設(shè)計(jì)可控失穩(wěn)模式的智能結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。雙層Kresling 結(jié)構(gòu)整個(gè)失穩(wěn)過程中的能量變化體現(xiàn)了每層Kresling 結(jié)構(gòu)雙穩(wěn)態(tài)失穩(wěn)相疊加的特點(diǎn)。