姜 曼

(西安交通工程學(xué)院 公共課部，陜西 西安 710300)

0 引言

1965年，Zadeh[1]提出了模糊集，這是一種描述模糊現(xiàn)象的方法.模糊集的提出，對研究代數(shù)結(jié)構(gòu)起著非常重要的作用.在此基礎(chǔ)上，相繼出現(xiàn)了直覺模糊集[2]，區(qū)間值模糊集[3]，雙極值模糊集[4]等理論，這些理論作為研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要工具，使得代數(shù)結(jié)構(gòu)理論更清晰化.特別的，Torra[5]提出了猶豫模糊集概念，猶豫模糊數(shù)在考慮問題全面性上比傳統(tǒng)模糊元更具有優(yōu)勢，在各個數(shù)學(xué)模型中都能得到廣泛應(yīng)用[6-7].

1981年，我國控制論專家曹志強(qiáng)[8]提出了坡代數(shù)，并且在專著中詳細(xì)介紹了坡代數(shù)的理論[9].用模糊集的理論研究坡代數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了很多結(jié)論，比如：Jun等[10]研究了坡代數(shù)的模糊子坡(理想)；趙虎等[11]把坡代數(shù)與模糊軟集相結(jié)合，研究模糊軟坡代數(shù)；王豐效[12-13]把坡代數(shù)與區(qū)間值模糊集相結(jié)合，研究坡代數(shù)區(qū)間值模糊子坡代數(shù)、坡代數(shù)的區(qū)間值模糊理想，有關(guān)坡代數(shù)的其它結(jié)論，可見文獻(xiàn)[14-16].關(guān)于坡代數(shù)和模糊集相結(jié)合的研究，現(xiàn)階段已經(jīng)有了很多成果，但是用模糊集的拓展——猶豫模糊集來研究坡代數(shù)，這在之前的研究中還沒有相關(guān)成果.因此，在現(xiàn)有的模糊集理論研究基礎(chǔ)上，為了填補(bǔ)坡代數(shù)上猶豫模糊子代數(shù)研究的理論空白，本文提出了坡代數(shù)上的反猶豫模糊子坡代數(shù)，研究反猶豫模糊子坡代數(shù)的基本性質(zhì)、反直積以及同態(tài)像等，得出的相關(guān)結(jié)論進(jìn)一步豐富了對坡代數(shù)和猶豫模糊集的研究.

1 預(yù)備知識

定義1[8]設(shè)X是一個非空集合，在X中定義兩個二元運(yùn)算加法(記為“+”)和乘法(記為“*”)，若?x,y,z∈X,都有

(1)x+y=y+x;

(2)(x+y)+z=x+(y+z);

(3)(x*y)*z=x*(y*z);

(4)x*(y+z)=x*y+x*z;

(5)(y+z)*x=y*x+z*x;

(6)x+x=x;

(7)x+x*y=x;

(8)y+x*y=y;

則稱(X,+,*)為坡代數(shù).

若(X,+,*)是一個坡代數(shù)，在X中定義關(guān)系≤如下：對任意x,y∈X,x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x+y=x,則≤是X上的一個偏序關(guān)系.

定義2[9]設(shè)(X,+,*)是一個坡代數(shù)，S是X的非空子集，若S關(guān)于X的兩種運(yùn)算封閉，則稱S是X的子坡.

定義3[5]設(shè)(X,+,*)是一個坡代數(shù)，A是X上的模糊集，若對任意x,y∈X,都有A(x+y)∧A(x*y)≥A(x)∧A(y),則稱A是(X,+,*)的模糊子坡代數(shù).

定義4[5]設(shè)U是一個非空集合，一個U上的猶豫模糊集F的定義如下：

F:{(x,hF(x))|x∈U},

其中，hF(x)是由區(qū)間[0，1]上若干個不同值構(gòu)成的集合，表示U中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度.記U上的猶豫模糊集的全體為HF[U].

設(shè)F為U中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0，1]的冪集.稱集合

U(F,γ):={x∈U|γ?hF(x)},

為F的猶豫水平集，其中γ?P([0,1]).

定義5[5]設(shè)U是一個非空集合，F(xiàn)和G是U上的猶豫模糊集，且具有如下形式：

F:{(x,hF(x))|x∈U},
G:{(x,hG(x))|x∈U}.

規(guī)定如下運(yùn)算：

(1)補(bǔ)：對于F,它的補(bǔ)元Fc定義為：

補(bǔ)運(yùn)算滿足對合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F和G的并F∪G定義為：

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)=
{h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))},

(3)交：F和G的交F∩G定義為：

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)=
{h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF(x),hG(x))}

.

2 反猶豫模糊子坡代數(shù)

本文若無特殊說明，均用X表示坡代數(shù).

定義6設(shè)X是一個坡代數(shù)，A∈HF[X],若對于?x,y∈X,都有

hA(x+y)∩hA(x*y)?hA(x)∩hA(y),

則稱A是X的猶豫模糊子坡代數(shù).

記X上的全體猶豫模糊子坡代數(shù)為HFSL[X].

定義7設(shè)X是一個坡代數(shù)，A∈HF[X],若對于?x,y∈X,都有

hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y),

則稱A是X的反猶豫模糊子坡代數(shù).

記X上的全體反猶豫模糊子坡代數(shù)為AHFSL[X].

定理1設(shè)A∈HF[X],則A∈AHFSL[X]當(dāng)且僅當(dāng)?ε∈[0,1],X(A,ε)≠?是X的子坡代數(shù).

證明如果A∈AHFSL[X],則對?x,y∈X,由hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y),因為X(A,ε)≠?,則對?x,y∈X(A,ε),有hA(x)?ε,hA(y)?ε.因此hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y)?ε∪ε=ε,因此hA(x+y)?ε,hA(x*y)?ε,從而可得x+y∈X(A,ε),x*y∈X(A,ε),故X(A,ε)是X的子坡代數(shù).

反之，假定?a,b∈X,使得hA(a+b)∪hA(a*b)?hA(a)∪hA(b).令s∈[0，1],且滿足hA(a+b)∪hA(a*b)?s?hA(a)∪hA(b),即hA(a)?s,hA(b)?s,因此a,b∈X(A,s).因為X(A,s)是X的子坡代數(shù)，所以a+b∈X(A,s),a*b∈X(A,s),因此hA(a+b)?s,hA(a*b)?s,故hA(a+b)∪hA(a*b)?s,這與hA(a+b)∪hA(a*b)?s矛盾.因此，對任意x,y∈X,有hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y).所以A∈AHFSL[X].

定理2設(shè)A∈HF[X],則A∈AHFSL[X]當(dāng)且僅當(dāng)

是X的子坡代數(shù).

證明同定理1.

證明必要性.如果A∈AHFSL[X],則對?x,y∈X,即有hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y).因此

定義9設(shè)A、B∈HF[X],?x∈X,定義A與B的并為(A∪B)(x)=A(x)∪B(x),其中hA∪B(x)=hA(x)∪hB(x).

定理4設(shè)A,B∈AHFSL[X],?x∈X,則A∪B∈AHFSL[X].

證明因為A,B∈AHFSL[X],所以?x,y∈X,都有

hA(x+y)∪hA(x*y)?hA(x)∪hA(y),
hB(x+y)∪hB(x*y)?hB(x)∪hB(y).
hA∪B(x+y)∪hA∪B(x*y)=
(hA(x+y)∪hB(x+
y))∪(hA(x*y)∪hB(x*y))=
(hA(x+y)∪hA(x*y))∪(hB(x+
y)∪hB(x*y))?
(hA(x)∪hA(y))∪(hB(x)∪hB(y))=
(hA(x)∪hB(x))∪(hA(y)∪hB(y))=
hA∪B(x)∪hA∪B(y)

因此，A∪B∈AHFSL[X].

證明同定理4.

3 坡代數(shù)的反猶豫模糊子坡代數(shù)的反直積

定義10若S1,S2為非空集合，且A∈HF[S1]和B∈HF[S2].則對?(x,y)∈S1×S2,定義如下映射A?B:S1×S2→P([0,1])：A?B(x,y)=A(x)∪B(y).其中hA?B(x,y)=hA(x)∪hB(y),則稱A?B是S1×S2的猶豫模糊子集，并稱A?B為猶豫模糊集A與B的反直積.

引理1[9]設(shè)(X,+,*)和(Y,+,*)是兩個坡代數(shù).在X×Y上定義兩種加法+和乘法*運(yùn)算如下：對?(x1,y1)，(x2,y2)∈X×Y,規(guī)定(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),(x1,y1)*(x2,y2)=(x1*x2,y1*y2).則X×Y關(guān)于上述運(yùn)算構(gòu)成一個坡代數(shù).

定理5若A∈AHFSL[X],B∈AHFSL[Y],則A?B∈AHFSL[X×Y].

證明?(x1,y1)，(x2,y2)∈X×Y,因為A∈AHFSL[X],B∈AHFSL[Y],所以有

hA(x1+x2)∪hA(x2*x2)?
hA(x1)∪hA(x2),hB(y1+y2)∪hB(y1*y2)?
hB(y1)∪hB(y2).

因此可得

hA?B((x1,y1)+(x2,y2))=
hA?B(x1+x2,y1+y2)=hA(x1+
x2)∪hB(y1+y2).

hA?B((x1,y1)*(x2,y2))=
hA?B(x1*x2,y1*y2)=
hA(x1*x2)∪hB(y1*y2).
hA?B((x1,y1)+
(x2,y2))∪hA?B((x1,y1)*(x2,y2))=
(hA(x1+x2)∪hB(y1+
y2))∪(hA(x1*x2)∪hB(y1*y2))=
(hA(x1+x2)∪hA(x1*x2))∪(hB(y1+
y2)∪hB(y1*y2))?
(hA(x1)∪hA(x2))∪(hB(y1)∪hB(y2))=
(hA(x1)∪hB(y1))∪(hA(x2)∪hB(y2))=
hA?B(x1,y1)∪hA?B(x2,y2)

綜上，A?B∈AHFSL[X×Y].

證明因為f：X→Y為同態(tài)滿射，則對?y1,y2∈Y,?x1,x2∈X,有f(x1)=y1,f(x2)=y2.因此可得：

hf(A)(y1+y2)=∪{hA(x)|f(x)=
y1+y2}=∪{hA(x1+x2)|f(x1+x2)=
y1+y2}=∪{hA(x1+x2)|f(x1)+f(x2)=

hf(A)(y1*y2)=∪{hA(x)|f(x)=y1*y2}=
∪{hA(x1*x2)|f(x1*x2)=y1*y2}=
∪{hA(x1*x2)|f(x1)*f(x2)=

因為A∈AHFSL[X],所以對?x1,x2∈X,都有

綜上，f(A)∈AHFSL[Y].

定理7設(shè)X和Y是兩個坡代數(shù).f：X→Y為同態(tài)滿射.若B∈AHFSL[Y],則f-1(B)∈AHFSL[X].其中hf-1(B)(x)=hB(f(x)).

證明?x1,x2∈X,因為f：X→Y為同態(tài)滿射，所以?y1,y2∈Y,有f(x1)=y1,f(x2)=y2.因為B∈AHFSL[Y],所以hB(y1+y2)∪hB(y1*y2)?hB(y1)∪hB(y2).因此

hf-1(B)(x1+x2)∪hf-1(B)(x1*x2)=
hB(f(x1+x2))∪hB(f(x1*x2))=
hB(f(x1)+f(x2))∪hB(f(x1)*f(x2))=
hB(y1+y2)∪hB(y1*y2)?hB(y1)∪hB(y2)=
hB(f(x1))∪hB(f(x2))=
hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(x2).

綜上，f-1(B)∈AHFSL[X].