崔 強(qiáng)，閔莉花，石又新

1.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023

2.北方信息控制研究院集團(tuán)有限公司，江蘇 南京 211153

圖像分割是利用圖像的特征信息將圖像劃分成多個(gè)區(qū)域，進(jìn)而提取出有意義的目標(biāo)區(qū)域?，F(xiàn)今，醫(yī)學(xué)圖像在醫(yī)療診斷過(guò)程中具有重要的作用，但是由于光照和成像設(shè)備的影響，使得醫(yī)學(xué)圖像出現(xiàn)灰度不均勻性，這給醫(yī)生做出正確的診斷造成了一定的干擾。為了提高醫(yī)學(xué)圖像的可讀性，使醫(yī)生可以更有效地觀察和診斷，進(jìn)行有效地醫(yī)學(xué)圖像分割具有重要的意義。

圖像分割技術(shù)經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，涌現(xiàn)出了大量的研究成果，學(xué)者們提出了各種變分方法［1－6］來(lái)進(jìn)行圖像分割，主要有基于邊緣的方法和基于區(qū)域的方法?；谶吘壍姆椒ǎ峭ㄟ^(guò)利用圖像的梯度信息將輪廓移動(dòng)到目標(biāo)邊界來(lái)進(jìn)行圖像分割，例如蛇模型［7］、經(jīng)典GAC模型［8］和GVF蛇模型［9］。這些模型可以獲得較好的分割效果，尤其是對(duì)于具有強(qiáng)邊界的圖像。但是，其分割結(jié)果對(duì)噪聲和初始輪廓線比較敏感?；趨^(qū)域的方法旨在通過(guò)在每個(gè)區(qū)域中使用全局圖像信息進(jìn)行分割。它們對(duì)于初始輪廓具有魯棒性，并且對(duì)強(qiáng)噪聲和弱邊界的圖像可以獲得更好的分割效果。然而，大多數(shù)基于區(qū)域的模型都假設(shè)圖像灰度均勻，因此無(wú)法很好地分割不均勻圖像，例如經(jīng)典CV模型［10］、Mumford-Shah模型［11］及其稱為Cai模型的凸變分模型［12］。

在過(guò)去的幾年中，利用局部灰度信息的方法［13－18］得到廣泛發(fā)展，并且能有效地提高圖像的分割精度。例如，Li等［19－20］通過(guò)將局部圖像信息引入基于區(qū)域的主動(dòng)輪廓模型的能量泛函中進(jìn)行圖像分割，提出了一種局部二值擬合（LBF）方法。LBF模型可以有效地分割灰度不均勻的圖像，但是分割結(jié)果對(duì)初始輪廓非常敏感。后來(lái)，Li等［21］假設(shè)偏移場(chǎng)是局部常數(shù)，提出了一種新的變分水平集模型（Li模型），該模型利用局部灰度聚類標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)來(lái)評(píng)估每個(gè)像素附近的偏移場(chǎng)。Li模型對(duì)初始化更加魯棒，并顯示出很好的圖像分割和偏移校正能力，但迭代過(guò)程中過(guò)多的卷積計(jì)算會(huì)降低分割速度。另外，為了獲得更理想的分割結(jié)果，結(jié)合局部和全局灰度信息的方法已經(jīng)引起了更多的關(guān)注，例如文獻(xiàn)［22－24］。

此外，近年來(lái)眾多學(xué)者提出了一些基于Retinex的方法［25－27］進(jìn)行圖像分割。根據(jù)Retinex理論，灰度不均勻的自然圖像可分為分片光滑的偏移場(chǎng)和分片常數(shù)的反射（結(jié)構(gòu)）部分?；赗etinex理論，Zosso等［27］提出了一個(gè)CVB模型，并建立了一種快速算法，通過(guò)使用交替最小化方法和閾值動(dòng)力學(xué)技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解［28－29］。該模型可以有效地校正偏移場(chǎng)并獲得所需的分割結(jié)果，但在目標(biāo)物體的尖角處CVB模型的分割精度不夠好。CVB模型僅考慮了偏移場(chǎng)的光滑性，校正后的圖像中并未完全消除偏移場(chǎng)，這嚴(yán)重影響了其分割的精度。最近，Jin等［25］提出了一種新的變分模型（Jin模型）用于圖像分割和偏移校正。Jin模型考慮了結(jié)構(gòu)部分的分段常數(shù)特性，將全變分項(xiàng)引入CVB模型以校正和分割輸入圖像，從而獲得相對(duì)精確的分割結(jié)果。

本文提出一個(gè)新的兩階段圖像分割方法。在第一階段，考慮到反射部分的光滑性，提出一個(gè)基于Retinex理論的變分模型，用來(lái)獲得圖像的結(jié)構(gòu)部分。在第二階段，將第一階段獲得的結(jié)構(gòu)部分作為輸入圖像，考慮到偏移場(chǎng)的局部常數(shù)特性，提出全變差的圖像分割模型，獲得比較精確的分割結(jié)果。此外，通過(guò)使用交替極小化方法，設(shè)計(jì)了一種有效的算法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值求解。最后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的兩階段分割方法與已有的CVB模型［27］、Cai模型［12］、Li模型［21］和Jin模型［25］相比能夠得到更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。同時(shí)，本文模型不依賴初始輪廓線的選擇，并且對(duì)合成圖像，醫(yī)學(xué)灰度不均勻圖像等均能進(jìn)行有效地分割。

1 圖像分割方法

1.1 相關(guān)模型

給定一副灰度不均勻圖像i，根據(jù)Retinex理論［30－31］，其可以分解成物體反射（結(jié)構(gòu)）部分s和光照（偏移場(chǎng)）部分b的乘積，即

i＝b·s

通過(guò)對(duì)數(shù)變換I＝lni，B＝lnb，S＝lns，有

I＝B＋S

其中，B一般認(rèn)為是光滑函數(shù)，S為分片常數(shù)。

Li等在文獻(xiàn)［21］中提出了一種變分水平集方法分割灰度不均勻的圖像，該方法統(tǒng)稱為L(zhǎng)i模型。他們假設(shè)偏移場(chǎng)在整個(gè)圖像區(qū)域是緩慢變化的（即：局部常數(shù)），并且真實(shí)圖像的灰度值在不同區(qū)域內(nèi)近似為常數(shù)。具體地，Li模型如下

其中，K為截?cái)嗟母咚购撕瘮?shù)

c＝（c1，c2，…，cN）表示不同區(qū)域的平均灰度，φ為水平集函數(shù)，H（φ）為Heaviside函數(shù)，Mk（φ）為區(qū)域的隸屬函數(shù)，函數(shù)P（x）＝（x－1）2/2。

2017年，Zosso等［27］基于Retinex理論提出了如下的CVB模型分割灰度不均勻圖像

其中，α，λ1，λ2為正參數(shù)，u為松弛的Heaviside函數(shù)。該模型可以較好地分割灰度不均勻圖像，但是對(duì)于目標(biāo)物體的尖角區(qū)域，其分割效果不理想，如圖1（c）所示。事實(shí)上，CVB模型僅考慮了偏移場(chǎng)B的光滑性，矯正圖像和分割結(jié)果仍然受到偏移場(chǎng)的干擾。

圖1 不同模型的分割結(jié)果

1.2 本文的分割模型

注意到結(jié)構(gòu)部分S是分片常數(shù)，故S∈BV（Ω）［32］。 此外，偏移場(chǎng)B不僅是空間光滑的，而且是局部常數(shù)。因此，為了得到更精確的分割結(jié)果，本文提出一個(gè)新的兩階段圖像分割方法用于分割灰度不均勻圖像。第一階段，利用結(jié)構(gòu)部分和偏移場(chǎng)的光滑性，提取圖像的結(jié)構(gòu)部分S。第二階段，利用偏移場(chǎng)的局部常數(shù)特性，對(duì)提取出的S進(jìn)行圖像分割。具體說(shuō)來(lái)，本文所提的模型如下：

其中

圖1給出了本文模型對(duì)一個(gè)灰度不均勻的簡(jiǎn)單圖像的分割結(jié)果。為方便比較，Li模型和CVB模型相應(yīng)的分割結(jié)果也一并給出，并用Hausdorff距離（HD）［33］來(lái)定量評(píng)估不同方法的分割性能。在圖1中，圖1（a）是待分割的灰度不均勻圖像（初始輪廓線用紅色標(biāo)出），圖1（b）是真實(shí)圖像，圖1（c）是CVB模型的分割結(jié)果，圖1（d）是Li模型的分割結(jié)果，圖1（e）是本文模型的分割結(jié)果。在圖1（c）中，CVB模型在目標(biāo)區(qū)域的尖角處（綠色框內(nèi)）出現(xiàn)了錯(cuò)誤的分割結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的HD值為0.20。觀察Li模型的分割結(jié)果圖1（d），發(fā)現(xiàn)在綠色框區(qū)域亦出現(xiàn)了錯(cuò)誤的分割結(jié)果，其對(duì)應(yīng)的HD值為0.10。而本文模型充分利用了圖像的各種先驗(yàn)信息，同時(shí)考慮了B和S的光滑性，以及偏移場(chǎng)的局部常數(shù)特性，因此視覺(jué)上獲得了比較精確的分割結(jié)果（見(jiàn)圖1（e）），其對(duì)應(yīng)的HD值也更理想。

2 模型的理論分析及求解算法

2.1 理論分析

由于本文模型第一階段所提取圖像的結(jié)構(gòu)部分S，是第二階段進(jìn)一步圖像分割的基礎(chǔ)，因此第一階段變分模型的解是否存在是非常重要的問(wèn)題。事實(shí)上，有下面的理論結(jié)果。

定理1設(shè)Ω?R2是具有Lipschitz邊界的有界圖像區(qū)域，I∈BV（Ω），則對(duì)固定的正常數(shù)α和β，變分問(wèn)題（2）存在一個(gè)極小解。

根據(jù)定義，存在正常數(shù)C，使得E1（Sn，Bn）≤C，即

Step7 迭代終止條件‖cl＋1－cl‖＜ε2，停止迭代。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)分別對(duì)合成圖像、醫(yī)學(xué)MR圖像和真實(shí)圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)與CVB模型［27］、Cai模型［12］、WLZL模型［26］、Li模型［21］和Jin模型［25］對(duì)比，驗(yàn)證本文模型對(duì)于灰度不均勻圖像的分割性能。本實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行環(huán)境為：PC機(jī)的CPU為Inter（R）Core（TM）i5-4200CPU@2.50 GHz，內(nèi)存為16 GB，操作系統(tǒng)為64位Win7，Matlab版本為R2015b。本文實(shí)驗(yàn)參數(shù)選取方式如下：圖像I至IV中，β＝5，ρ1＝ρ2＝1，λ1＝λ2＝45，γ＝0.01；圖像V至VIII中，β＝6，ρ1＝10，ρ2＝0.5，λ1＝7，λ2＝1，γ＝0.01。 具體地，參數(shù)α的取值見(jiàn)表1。

表1 參數(shù)的取值

此外，選取量化指標(biāo)DSC值［35］和HD值［33］作為分割結(jié)果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其定義分別為

其中，n為目標(biāo)邊界集的總數(shù)，A為分割的二值圖像，B為二值圖像對(duì)應(yīng)的真實(shí)圖像。HD值越低，表明分割結(jié)果越精確。

首先，對(duì)一幅合成圖像進(jìn)行分割，并選取4種不同的初始輪廓線驗(yàn)證本文算法對(duì)初始輪廓的魯棒性。圖2中，第一行圖2（a）是灰度不均勻的合成圖像和其對(duì)應(yīng)的真實(shí)圖像圖2（b），第二行圖2（c）至（f）是本文算法的分割結(jié)果（紅色）和初始輪廓線（藍(lán)色），第三行是分割結(jié)果對(duì)應(yīng)的二值圖像，其HD值全等于0。這些結(jié)果表明了該模型對(duì)于初始輪廓線的魯棒性。

圖2 本文算法對(duì)具有不同初始輪廓線的合成圖像進(jìn)行分割的結(jié)果

其次，將本文模型用于分割四幅合成圖像。圖3中，圖3（a）為帶初始輪廓線的輸入圖像，圖3（b）至（g）分別為Cai模型、CVB模型、WLZL模型、Li模型、Jin模型以及本文模型的分割結(jié)果。對(duì)于合成圖像，Cai模型、CVB模型和WLZL模型的分割結(jié)果不夠好，而Li模型、Jin模型和本文模型均能得到精確的分割結(jié)果。事實(shí)上，通過(guò)觀察圖像I、III、IV，Cai模型和WLZL模型的結(jié)果在右下角有明顯的錯(cuò)誤。對(duì)于圖像II，Cai模型的分割結(jié)果與目標(biāo)邊界之間存在間隙。對(duì)于圖像I、II、III，CVB模型的分割結(jié)果在綠色框區(qū)域內(nèi)欠佳。此外，為了定量地評(píng)估不同方法的分割性能，我們?cè)诒?中給出各個(gè)模型所得分割結(jié)果的DSC值和HD值。從表2中可以看到，本文模型、Li模型和Jin模型均得到了最高的DSC和最低的HD值。這些結(jié)果證實(shí)本文方法可以很好地分割合成圖像并得到理想的分割精度。

表2 圖3中不同模型分割結(jié)果的DSC值和HD值比較

圖3 不同模型對(duì)合成圖像分割結(jié)果比較

將本文模型用于醫(yī)學(xué)圖像分割，并選取四幅腦部MR圖像進(jìn)行比較。圖4中，圖4（a）為帶初始輪廓線的輸入圖像，圖4（b）至（g）分別為Cai模型、CVB模型、WLZL模型、Li模型、Jin模型以及本文模型的分割結(jié)果。觀察圖4，由于腦部圖像的白質(zhì)區(qū)域與灰質(zhì)區(qū)域的灰度相似，Cai模型、CVB模型和WLZL模型幾乎不能將其分開(kāi)，Li模型和Jin模型可以將其較好地分開(kāi)，但在綠色框區(qū)域內(nèi)欠佳，而本文模型能得到更精確的分割結(jié)果。表3給出各個(gè)模型對(duì)于四幅MR圖像所得分割結(jié)果的DSC值和HD值?？梢钥闯?，與其他模型相比，本文模型充分利用了圖像的各種先驗(yàn)信息，得到了最高的DSC值和最低的HD值。這些結(jié)果表明本文模型對(duì)于醫(yī)學(xué)圖像分割的有效性。

表3 圖4中不同模型分割結(jié)果的DSC值和HD值比較

圖4 不同模型對(duì)MR圖像分割結(jié)果比較

最后，將本文模型用于分割真實(shí)圖像。圖5展示了四幅真實(shí)圖像以及各個(gè)模型的分割結(jié)果，其中圖5（a）給出了初始輪廓線（紅色）。觀察圖5，Cai模型和CVB模型對(duì)真實(shí)圖像（IX至XII）的分割結(jié)果不夠準(zhǔn)確。WLZL模型對(duì)于真實(shí)圖像IX的分割結(jié)果較好，但是對(duì)于真實(shí)圖像（X至XII）的分割結(jié)果不夠好。對(duì)于真實(shí)圖像IX、X和XI，Li模型得到了較好的分割結(jié)果，但對(duì)于圖像XII，Li模型的分割結(jié)果不準(zhǔn)確。對(duì)于真實(shí)圖像IX、X和XII，Jin模型可以分割出目標(biāo)物體，但對(duì)于圖像XI，Jin模型不能分割出圖像邊緣的目標(biāo)物體。觀察圖5（g），可以看出，本文模型可以獲得較好的分割結(jié)果。這些結(jié)果表明本文模型對(duì)于分割真實(shí)的灰度不均勻圖像的有效性。

圖5 不同模型對(duì)真實(shí)圖像分割結(jié)果比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)灰度不均勻的圖像分割問(wèn)題，提出了一個(gè)基于Retinex理論和局部灰度信息的兩階段圖像分割方法。論文提出的方法充分利用了圖像的結(jié)構(gòu)部分和偏移場(chǎng)的各種先驗(yàn)信息，并且結(jié)合了交替極小化方法。通過(guò)與已有的CVB模型、Cai模型、WLZL模型、Li模型和Jin模型相比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文模型能夠得到更準(zhǔn)確的分割結(jié)果。然而本文的模型僅考慮了圖像的兩相分割，對(duì)于多相分割適用性不強(qiáng)。因此，在后續(xù)的研究中，將基于本文模型，對(duì)多相分割做進(jìn)一步研究。