葛 文，何文峰，陳錦林，徐長(zhǎng)虹，李祥龍

（1.寧波市測(cè)繪設(shè)計(jì)研究院，浙江 寧波 315402；2.寧波市阿拉圖數(shù)字有限公司，浙江 寧波 315402）

組合模型的預(yù)測(cè)效果往往取決于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及各單項(xiàng)模型的預(yù)測(cè)精度。各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型都是首先根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合出最佳參數(shù)，然后對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)作出預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)擬合和數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)是組合模型兩個(gè)不同階段，擬合效果的好壞與預(yù)測(cè)效果的好壞并無(wú)絕對(duì)關(guān)系。在中長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)中，預(yù)測(cè)精度能保持多久是一個(gè)現(xiàn)階段研究的熱點(diǎn)，文中稱(chēng)之為穩(wěn)定度。如果一個(gè)模型的數(shù)據(jù)擬合精度能夠保持較長(zhǎng)的時(shí)間，則認(rèn)為該模型具有比較高的穩(wěn)定度[1]，能夠在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中保持很大優(yōu)勢(shì)，提高預(yù)測(cè)精度。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的組合模型[2]的建模準(zhǔn)則大都為誤差平方和最小。近些年來(lái)，對(duì)于穩(wěn)定度的研究越來(lái)越多，本文介紹了基于穩(wěn)定度建模的基本方法，最后利用該模型對(duì)地鐵隧道沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該模型建模簡(jiǎn)單、賦權(quán)合理，能有效預(yù)測(cè)沉降量，優(yōu)于現(xiàn)有的組合預(yù)測(cè)模型。

1 組合模型的構(gòu)建方法

1.1 穩(wěn)定度理論的若干概念

定義1：設(shè)隧道沉降量的時(shí)間序列已知觀測(cè)值為 {xt,t=1,2,3,…,n}，利用m種不同的數(shù)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中yt為第t期的觀測(cè)值或真值，yit=(i=1,2,3,…,m)為第i種數(shù)學(xué)模型在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，則第i種數(shù)學(xué)模型在第t期的擬合誤差為：

則可定義第i種預(yù)測(cè)模型在第t期的預(yù)測(cè)精度：

式中，α和β稱(chēng)為精度因子，且滿(mǎn)足

α和β的取值可以根據(jù)實(shí)際需要選取。在測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)，α通常取0值，β通常取1值。

定義2：

di為第i種單一模型的精度因子量距[3]，預(yù)測(cè)模型對(duì)精度因子的約束程度由di的大小決定。通常，di越大，則模型對(duì)精度因子的定義約束越大；di越小，則模型對(duì)精度因子的定義約束較小。模型的預(yù)測(cè)精度并非直接由di決定，但其可以很好的調(diào)節(jié)模型的擬合以及預(yù)測(cè)過(guò)程，使兩個(gè)不同過(guò)程都能達(dá)到一個(gè)良好的預(yù)測(cè)效果。在組合模型構(gòu)建過(guò)程中，對(duì)單一模型的選擇及預(yù)測(cè)精度的大小至關(guān)重要。

定義3：設(shè)第i種模型首先進(jìn)行N期數(shù)據(jù)訓(xùn)練，然后進(jìn)行T期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，可得：

式中，Ait為第i種模型在第t期的預(yù)測(cè)精度，則稱(chēng)εi為第i種模型的平均訓(xùn)練精度；ηi為第i種模型的平均預(yù)測(cè)精度。

定義4：

則稱(chēng)Pi為第i種模型對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)序列{xt,t= 1,2,3,…,n}的穩(wěn)定度。

一般認(rèn)為ηi≠εi，若ηi=εi，表明該模型的平均訓(xùn)練精度與平均預(yù)測(cè)精度一致，可以認(rèn)為第i種模型對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)xt的穩(wěn)定度趨于無(wú)窮大∞。若|ηi-εi|→∞，則Pi→0，可認(rèn)為第i種預(yù)測(cè)模型對(duì)于觀測(cè)數(shù)據(jù)序列{xt,t=1,2,3,…,n}的穩(wěn)定度趨于無(wú)窮小，表明該模型穩(wěn)定度極差，其擬合精度無(wú)法決定預(yù)測(cè)精度的好壞，即使擬合精度高，模型的預(yù)測(cè)精度并不一定高。

1.2 組合模型權(quán)系數(shù)確定方法

設(shè)wi為第i種模型在組合模型中所占的權(quán)重，則以穩(wěn)定度為建模準(zhǔn)則的組合模型權(quán)系數(shù)確定方法可以表示為如下的形式：

在組合模型構(gòu)建過(guò)程中，單一模型的穩(wěn)定度是其賦權(quán)的依據(jù)。穩(wěn)定度好的模型賦予較大權(quán)重，穩(wěn)定度差的模型賦予較小的權(quán)重。當(dāng)組合模型的平均訓(xùn)練精度εi和平均預(yù)測(cè)精度ηi具有較強(qiáng)的一致性時(shí)，組合模型的訓(xùn)練精度將能很好的延伸下去，從而使該目標(biāo)函數(shù)確定的組合模型具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，使其不僅能夠用于短期預(yù)測(cè)，也可以很好的確保中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)精度。

2 組合模型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

在前面的章節(jié)中，已經(jīng)闡述了穩(wěn)定度以及模型的權(quán)重概念。

則組合模型在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為：

此時(shí)我們可以根據(jù)穩(wěn)定度公式得到組合模型的穩(wěn)定度[4]為：

定義

式中，Pmin為所有參與組合模型中穩(wěn)定度最小的模型；Pmax為所有參與組合模型中穩(wěn)定度最大的模型[5]。

若P組合< pmin，則此時(shí)的組合模型為劣性模型；

若pmin< p組合

若P組合> Pmax，則此時(shí)的組合模型為優(yōu)性性模型[6]。

只有當(dāng)組合模型的穩(wěn)定度大于任何參與組建的單一模型時(shí)，才可認(rèn)為該組合模型為優(yōu)性模型。

3 實(shí)例分析

為了保障地鐵列車(chē)安全運(yùn)營(yíng)，施工期間及運(yùn)營(yíng)通車(chē)后均需要對(duì)隧道結(jié)構(gòu)沉降進(jìn)行監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)頻率為一個(gè)星期一次。沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)布設(shè)在隧道外側(cè)的道床上，測(cè)點(diǎn)在不同區(qū)段間距不同，沉降嚴(yán)重區(qū)段較密，點(diǎn)之間的距離平均為15m，沉降較小區(qū)段較疏，約為（20～50m）。在相對(duì)穩(wěn)定的車(chē)站軌道道床上布設(shè)水準(zhǔn)測(cè)量的工作基點(diǎn)。

監(jiān)測(cè)外業(yè)工作按照城市軌道交通規(guī)范中的二等水準(zhǔn)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，實(shí)際觀測(cè)時(shí)將各車(chē)站的工作基點(diǎn)連接成閉合水準(zhǔn)路線施測(cè)。內(nèi)業(yè)處理時(shí)，對(duì)監(jiān)測(cè)網(wǎng)進(jìn)行最小二乘平差，以國(guó)家基準(zhǔn)點(diǎn)為起算基準(zhǔn)，計(jì)算閉合水準(zhǔn)路線得到各工作基點(diǎn)的高程，根據(jù)相鄰兩期高程差值采用平均間隙法對(duì)工作基點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，最后將車(chē)站區(qū)間的工作基點(diǎn)和隧道區(qū)間的監(jiān)測(cè)點(diǎn)組成符合水準(zhǔn)路線計(jì)算隧道沉降測(cè)點(diǎn)的高程，并進(jìn)行監(jiān)測(cè)成果的分析。

本文選取監(jiān)測(cè)點(diǎn)的40期觀測(cè)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，其中30期為數(shù)據(jù)擬合建模的依據(jù)，根據(jù)所建立的模型對(duì)后10期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)比。原始數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 隧道監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降觀測(cè)值

分別采用時(shí)間序列模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及組合模型對(duì)地鐵隧道結(jié)構(gòu)運(yùn)營(yíng)期的沉降量進(jìn)行建模預(yù)測(cè)并分析比較其結(jié)果。

時(shí)間序列模型[7]：原始觀測(cè)數(shù)據(jù)具有明顯的趨勢(shì)性。構(gòu)建模型時(shí)，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次差分，使其滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件。對(duì)差分后的數(shù)列進(jìn)行自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算及分析后初步判斷為ARMA(1,2)模型。利用最小二乘原理計(jì)算各階的參數(shù)估計(jì)值。序列由原始時(shí)間序列的二次差分構(gòu)造出來(lái)，故模型表達(dá)式 如下：

根據(jù)上述表達(dá)式可以得到預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)結(jié)果

由上述預(yù)測(cè)結(jié)果可知，時(shí)間序列模型能很好地反映沉降數(shù)據(jù)的發(fā)展規(guī)律，實(shí)際預(yù)測(cè)時(shí)具有較高的 精度。

對(duì)隧道沉降的原始數(shù)據(jù)配置網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如下所示：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[8]的結(jié)構(gòu)2×18×1 表明輸入層為2層，隱含層為18層，1個(gè)輸出層。輸入層分別為期數(shù)和沉降量，輸出層為沉降量。學(xué)習(xí)速率參數(shù) Eita=1.5，平滑因子參數(shù)Alfa=0.7，訓(xùn)練控制誤差Error=0.01 分級(jí)迭代級(jí)數(shù)stepE=14。訓(xùn)練值為前30期沉降數(shù)據(jù)，后10期數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)樣本。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型處理后的預(yù)測(cè)值及誤差如表3所示。

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)穩(wěn)定度的定義以及建模理論，對(duì)沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理?？傻脮r(shí)間序列及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定度的表達(dá)式為：

兩種模型的權(quán)重為：

根據(jù)式（7），可得基于穩(wěn)定度理論的組合模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表4所示。

表4 組合模型預(yù)測(cè)結(jié)果

計(jì)算時(shí)間序列模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、組合模型的數(shù)據(jù)精度及穩(wěn)定度如表5所示。

由上述表格中的數(shù)據(jù)繪制各模型的預(yù)測(cè)值曲線如圖1所示。

由表1～4和圖1可知，組合模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值最接近，殘差曲線在零值附近波動(dòng)，相對(duì)于單一預(yù)測(cè)模型，更加符合實(shí)際情況。由表5模型的中誤差可知，組合模型的擬合、預(yù)測(cè)以及全體中誤差均小于時(shí)間序列模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，表明組合模型的預(yù)測(cè)精度要高于任意單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)性能更加良好。

由表中的穩(wěn)定度可知，組合模型的穩(wěn)定度比任意單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定度都大，從而根據(jù)最優(yōu)組合模型的判定準(zhǔn)則可知，該模型為優(yōu)性組合。

表5 各模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果精度比較表

圖1 模型預(yù)測(cè)曲線圖

4 結(jié) 語(yǔ)

1）組合模型相對(duì)于各單一模型，能有效的提高數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度，實(shí)踐證明，組合模型是科學(xué)合理的，能充分集合各預(yù)測(cè)模型的有效信息，同時(shí)由預(yù)測(cè)結(jié)果可知組合模型在地鐵隧道沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中得到了良好的應(yīng)用，可以為類(lèi)似數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)提供借鑒。

2）基于穩(wěn)定度建模準(zhǔn)則的組合模型通常能避免實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中誤差值的影響，可使模型的穩(wěn)定性和精度的延續(xù)性得到良好的保持，是一種科學(xué)合理的權(quán)系數(shù)確定方法。

3）本文通過(guò)對(duì)組合模型相關(guān)理論的闡述，引入了穩(wěn)定度定義，并提出了基于穩(wěn)定度的組合模型構(gòu)建函數(shù)以及優(yōu)性組合判定方法。實(shí)例證明該方法切實(shí)可行，能有效提高預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的精度，可廣泛應(yīng)用于相關(guān)工程項(xiàng)目的數(shù)據(jù)處理中。