摘?要：在線教學(xué)便于教師展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，學(xué)生間獨特的解題思路和方法成為同儕學(xué)習(xí)的資源。賞析同伴分析問題的不同觀點與角度，有助于拓寬學(xué)生的視野，獲得豁然開朗的學(xué)習(xí)體驗。教師引導(dǎo)學(xué)生賞析不同的解題方法，體會這些方法之間的數(shù)學(xué)原理和聯(lián)系，有助于學(xué)生將零散知識結(jié)成知識網(wǎng)絡(luò)，獲得思維層次的躍升。

關(guān)鍵詞：圓;一題多解;線上教學(xué)

線上教學(xué)與在校教學(xué)的物理空間不相同，師生之間的語言交流、情感交流相對難以實現(xiàn)。但線上教學(xué)所存在的時空靈活性、資源迭代性、過程留痕性等特點，為學(xué)生儲備終身學(xué)習(xí)的能力有所幫助。筆者在線上教學(xué)時，注重分享學(xué)生豐富多彩的思考結(jié)果，以同伴的智慧激勵更多同學(xué)積極思考，收到較好的教學(xué)效果?，F(xiàn)以一道圓的綜合問題為例，呈現(xiàn)學(xué)生的多種解法，學(xué)生思考的多樣性為線上教學(xué)提供了豐富資源。

學(xué)生對一個問題的不同解法是學(xué)生思維多樣性的體現(xiàn)，有助于挖掘數(shù)學(xué)問題的潛在價值，揭示問題的本質(zhì)。分享交流學(xué)生的解題智慧，學(xué)生對問題分析的觀點與角度越豐富，越有助于學(xué)生拓寬視野，打開解題思路，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度分析問題、解決問題的能力。用多種方法解決問題，這些方法之間存在著可相互轉(zhuǎn)化的聯(lián)系，有助于知識生成從零散變得系統(tǒng)，思維從淺層走向深刻。

一、 問題呈現(xiàn)

如圖1，P是⊙O外的一點，PA是⊙O的切線，A是切點，PO與弦AB交于點F，且PA=PB，延長AO交⊙O于點C，交PB的延長交于點Q。

（1）求證：PB是⊙O的切線;

本題是基于四川省樂山市2018年中考數(shù)學(xué)試卷第24題改編而成的。根據(jù)SOLO分類理論，改編時圍繞著直線與圓的關(guān)系設(shè)置難度不同的三個小題，問題（1）考查學(xué)生是否掌握圓的切線的證明問題，考查的思維水平處于單點結(jié)構(gòu)水平;問題（2）考查學(xué)生是否能夠關(guān)聯(lián)三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理綜合解決問題，考查的思維水平處于多點結(jié)構(gòu)水平或關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平;問題（3）考查學(xué)生是否理解平行線分線段成比例的基本事實，三角形的中位線定理是平行線分線段成比例定理的特例，考查的思維水平處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平或抽象擴展結(jié)構(gòu)水平。

二、 答題分析

對于問題（1），筆者分析了所教兩個班87位學(xué)生在線提交的答案，正確率約為94.25%。其中56位學(xué)生采取證明三角形全等的方法解決問題，25位學(xué)生分別利用△OAB、△PAB為等腰三角形，根據(jù)等邊對等角的原理，證明∠PAO與∠PBO相等。1位學(xué)生根據(jù)OA=OB說明點O在AB的垂直平分線上，根據(jù)PA=PB說明點P也在AB的垂直平分線上，由PO垂直平分AB進一步展開證明。全部學(xué)生中，有5位學(xué)生做錯或者放棄作答。其中，放棄作答者1位。直接根據(jù)PA=PB，錯用“切線長定理”推出∠PBO=∠PAO=90°的學(xué)生有3位。作輔助線出錯，認(rèn)為連接OB的同時也可直接作OB⊥PQ，這樣出錯的學(xué)生有1位。

問題（1）解題思路如下：如圖2，連接OB，由PA=PB、OA=OB、PO=PO，證得△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO。因為PA是⊙O的切線，則∠PAO=90°，從而推出∠PBO=90°，又OB是⊙O的半徑，所以PB是⊙O的切線。

對于問題（2），87位學(xué)生正確率不足79.31%。其中64位學(xué)生運用三角函數(shù)（或相似三角形的性質(zhì)）、勾股定理，準(zhǔn)確計算得AP=6。另有5位學(xué)生在解答的思路上與上述同學(xué)一致，但因為計算出錯未能得到準(zhǔn)確結(jié)果。因為解題時間限制或者沒有解答思路，有13位學(xué)生放棄作答。另外還有5位學(xué)生圍繞已知條件堆砌結(jié)論，而這些結(jié)論對于最終結(jié)論的推導(dǎo)沒有關(guān)聯(lián)作用。

三、 解法分享

問題（3）要求學(xué)生具備合理的分析問題的能力及化歸的思想，適合一題多解，不同類型的解答反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于不同水平。若為本題賦分值為10分，筆者所任教年級全體學(xué)生的平均分是3.9分，說明多數(shù)學(xué)生僅僅能夠提取出熟悉的數(shù)學(xué)情境，并在這個情境中完成一定的計算和推理，但無法完成整個題目的解答。有的學(xué)生運用了較多的知識，做了大量具體的計算，完全或基本上解決了問題，但是解法計算煩瑣，同時解法只能處理題目的特殊情況。有的學(xué)生應(yīng)用了平行線分線段成比例的事實解答問題。有的學(xué)生用了面積法，只需做較少的計算，解答過程更為簡潔，解題過程揭示問題本質(zhì)，解法可以處理一般情況或?qū)栴}進行推廣。下述5種解法，體現(xiàn)了學(xué)生不同的思考路徑。

方法1：本法由欣銘、觀坤、詩湲、華南等同學(xué)提供。

方法2：本法由彥緯、宇森、梓灝等同學(xué)提供。

方法3：面積法，本法由彥宇等同學(xué)提供。

方法4：直接計算法，本法由吳洋、志邦等同學(xué)提供。

方法5：建立坐標(biāo)軸法，本法由杜理同學(xué)提供。

四、 教學(xué)反思

教學(xué)的立足點是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，增強學(xué)生對知識理解及應(yīng)用的能力，切不可只是為了解題而教題。對本題的分析應(yīng)展現(xiàn)思索的過程，分析知識點的來龍去脈，歸納內(nèi)在的思想方法，啟發(fā)學(xué)生的聯(lián)想。重視定理的理解性學(xué)習(xí)經(jīng)歷，有助于提高學(xué)生的聯(lián)想類比及應(yīng)用的能力，提高學(xué)生的綜合分析問題的能力。一題多解，可讓學(xué)生認(rèn)識到解法的本質(zhì)，分析解法的一般性、特殊性及內(nèi)在聯(lián)系。

學(xué)生在線上提交各自的解答，有助于教師透過數(shù)據(jù)及時、準(zhǔn)確地分析學(xué)情，有助于教師發(fā)掘?qū)W生多種方法的智慧瞬間，給予學(xué)生展示自己精彩想法的機會，在相互賞識中拓寬學(xué)生的思維，讓學(xué)生感受不同的思考角度。學(xué)生豐富多樣的思考結(jié)果是寶貴的學(xué)習(xí)資源，能鼓勵學(xué)生提升思維品質(zhì)，有助于開拓學(xué)生的思維，是全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)舉措。

參考文獻：

[1]鄭定磊.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀下中考壓軸題評價功能及備考建議[J].福建教育學(xué)院學(xué)報，2019（6）.

作者簡介：

陳燕，廣東省湛江市，湛江一中培才學(xué)校。

①文章是廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃2020年度教育科研一般項目課題“追本溯源：基于數(shù)學(xué)史的單元主題教學(xué)研究”（立項編號：2020YQJK384）的研究成果;文章是廣東省教育研究院教育研究課題“提升初中生數(shù)學(xué)語言能力的教學(xué)實驗研究”（立項編號：GDJY-2020-A-s094）的研究成果。