劉家良

[真題呈現(xiàn)]

例（2020·天津·第25題）已知點(diǎn)A（1，0）是拋物線y=ax2 + bx + m（a，b，m為常數(shù)，a ≠ 0，m < 0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn).

（1）當(dāng)[a=1]，[m=-3]時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）若拋物線與[x]軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（m，0），與[y]軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作直線[l]平行于x軸，E是直線[l]上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF=[22].

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且AE=EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo);

②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是[22]？

[學(xué)情分析]

第（1）題：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式并用配方法（或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式）求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo). 此問起點(diǎn)低，面向全體.

解：y=x2 + 2x - 3=（x + 1）2 - 4，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）.

第（2）題①問：由拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)得到含待定常量a，b，m的兩個(gè)方程，兩個(gè)方程組成方程組，但發(fā)現(xiàn)其中含有三個(gè)待定常量a，b，m. 通過觀察，發(fā)現(xiàn)此方程組有其特殊性，利用因式分解可得a=1. 然后將b的值用含m的式子表示，這樣二次函數(shù)的解析式可簡化到只含待定常量m的式子. 再將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)用含m的式子表示，由勾股定理建立方程求得m值，至此問題的閘門打開.

解：∵拋物線y=ax2 + bx + m經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和M（m，0），

∴a + b + m=0，am2 + bm + m=0. 整理得（a - 1）（m - 1） = 0，

∵m < 0，∴a=1，∴b=-1 - m. ∴拋物線的解析式為y=x2 -（1 + m）x + m.

根據(jù)題意，知點(diǎn)C（0，m）. ∵l[?]x軸，∴CE[?]x軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m.

令y=m，得x2 -（1 + m）x + m=m. 解得x=0或x=m + 1. ∴E（m + 1，m）.

過點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，如圖1. 由點(diǎn)A（1，0），得點(diǎn)H（1，m）.

在Rt△EAH中，EH=1-（m + 1）=-m，HA=0 - m=- m，由勾股定理得AE2=EH2 + AH2=2m2.

∵AE=EF=[22]，∴2m2=8. 解得m=2或-2.

∵m < 0，∴m=-2. ∴點(diǎn)E（-1，-2），C（0，-2），∴EC=1.

∵CE[?]x軸，點(diǎn)F在y軸上，∴∠ECF = 90°.

在Rt△EFC中，CF=[EF2-EC2]=[7]，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，[7] - 2）或（0，-2 - [7]）.

第（2）題②問：由于E，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，N為EF的中點(diǎn)，所以N也是動(dòng)點(diǎn). 但E，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離是定值，即EF = [22]. 由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，得CN=[12EF]=[2]，即動(dòng)點(diǎn)N到點(diǎn)C的距離是定值，加之點(diǎn)C為定點(diǎn)，由圓的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)C為圓心，[2]為半徑的⊙C. 由MN的最小值是[22]，聯(lián)想到“點(diǎn)到圓的最近距離”模型，此時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離MC=[22] + [2]=[322]或MC=[2] - [22] = [22]. 接下來由勾股定理得方程即可求解.

解：由N是EF的中點(diǎn)，得CN=[12EF]=[2].

∴動(dòng)點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心，[2]為半徑的⊙C上.

由點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)C（0，m），得MO=-m，CO=-m.

在Rt△MOC中，MC=[MO2+CO2]=-[2m].

如圖2，當(dāng)MC > [2]，即m < -1時(shí)，點(diǎn)M在⊙C外.

欲使點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離最小，需點(diǎn)N落在線段MC上，

此時(shí)，MC=[22] + [2]=[322]，∴[322] = -[2m]. 解得m=[-32];

如圖3，當(dāng)MC < [2]，即-1 < m < 0時(shí)，點(diǎn)M在⊙C內(nèi).

欲使點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離最小，需點(diǎn)N落在線段CM的延長線上，

此時(shí)，MC = [2] - [22] = [22]，∴[22] = -[2m]. 解得m = [-12].

綜上，當(dāng)m的值為[-32]或[-12]時(shí)，MN的最小值是[22].

[勤于積累]

1. 配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)則是完全平方公式的應(yīng)用.

2. 函數(shù)圖象經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式，即點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式中的x，y. 這是將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式的依據(jù).

3. 直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，是構(gòu)造輔助圓常用的依據(jù).