吳恢鑾 施嬌娥

【摘? ?要】思維水平是一個(gè)人的思維過(guò)程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果不同層次的反映。以“2的倍數(shù)特征”教學(xué)為例，構(gòu)建五步法實(shí)證研究路徑，分析學(xué)生對(duì)“2的倍數(shù)特征”理解的思維水平，并依據(jù)學(xué)生對(duì)該核心內(nèi)容理解的思維水平層次，設(shè)計(jì)個(gè)性化學(xué)習(xí)方案，實(shí)施差異化教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】2的倍數(shù)特征;思維水平;層次分析;差異教學(xué)

思維水平是一個(gè)人思維過(guò)程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果不同層次的反映。教師常常憑教學(xué)經(jīng)驗(yàn)去分析學(xué)生的思維水平層次，這種基于經(jīng)驗(yàn)的分析主觀性很強(qiáng)，得出的結(jié)論不一定科學(xué)。而對(duì)學(xué)生思維水平層次開(kāi)展實(shí)證研究，也就是用數(shù)據(jù)說(shuō)話，雖然顯得冰冷，但得出的結(jié)論可能更加接近學(xué)生思維水平層次的真實(shí)狀態(tài)。

個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除，能被2整除的數(shù)個(gè)位上必定是0、2、4、6、8中的一個(gè)，也就是說(shuō)，“個(gè)位上是0、2、4、6、8”是2的倍數(shù)的充分必要條件，稱為“2的倍數(shù)特征”。學(xué)生理解這樣的互逆特征，其思維水平會(huì)存在一定差異。

本文試圖構(gòu)建五步法，針對(duì)學(xué)生對(duì)2的倍數(shù)特征理解水平與課堂干預(yù)進(jìn)行實(shí)證研究。所謂的五步法指的是：水平假設(shè)—問(wèn)卷調(diào)查—修訂假設(shè)—層次劃分—差異教學(xué)。

一、思維水平假設(shè)

思維水平假設(shè)是基于對(duì)教材與學(xué)情的了解而做出的一種經(jīng)驗(yàn)分析，具有較強(qiáng)的主觀性。新授課前，學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容的理解水平處于何種狀態(tài)，專(zhuān)家型教師往往能根據(jù)學(xué)生的學(xué)情給出不同層次的界定，其實(shí)這種界定就是一種假設(shè)。如人教版教材五年級(jí)下冊(cè)“2、5的倍數(shù)的特征”中的例1，給出的是百數(shù)圖，根據(jù)學(xué)生構(gòu)建概念從淺表到深度，逐步數(shù)學(xué)化的思維過(guò)程，結(jié)合認(rèn)知維度的五個(gè)層次（不會(huì)、了解、理解、掌握、應(yīng)用）劃分學(xué)生思維水平，如表1所示。

五個(gè)水平層次的假設(shè)是否符合學(xué)生理解該知識(shí)的思維水平？每個(gè)水平層次的學(xué)生數(shù)情況怎么樣？需要通過(guò)實(shí)證調(diào)查做出進(jìn)一步的分析。

二、問(wèn)卷調(diào)查設(shè)計(jì)

根據(jù)以上五個(gè)思維水平層次，設(shè)計(jì)相匹配的問(wèn)題，以求證學(xué)生理解該特征的真實(shí)思維水平。問(wèn)卷設(shè)計(jì)3個(gè)大題，7個(gè)小問(wèn)題，具體如下。

1.觀察百數(shù)表，完成下列問(wèn)題的回答。

（1）圈出百數(shù)表中2的倍數(shù)。

（2）觀察圈出的自然數(shù)，它們有什么特點(diǎn)？請(qǐng)你詳細(xì)寫(xiě)出它們的特點(diǎn)。

（3）你認(rèn)為怎樣的自然數(shù)才是2的倍數(shù)？

2.有一個(gè)三位數(shù)5□□，十位和個(gè)位上的數(shù)字都被遮住了。如果這個(gè)三位數(shù)是2的倍數(shù)，那么：

（1）個(gè)位可以填哪些數(shù)字？

（2）十位可以填哪些數(shù)字？

（3）判斷一個(gè)自然數(shù)是不是2的倍數(shù)，你認(rèn)為與這個(gè)自然數(shù)的哪些數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)系？你能解釋其中的原因嗎（解釋越詳細(xì)越好）？

3.迪迪在臺(tái)燈下寫(xiě)作業(yè)（臺(tái)燈開(kāi)著），突然停電了，他連續(xù)按了15次開(kāi)關(guān)，當(dāng)來(lái)電的時(shí)候，燈是（? ? ? ）（填“開(kāi)的”或“關(guān)的”），請(qǐng)?jiān)敿?xì)寫(xiě)出你是根據(jù)什么來(lái)判斷的。

第1大題中每個(gè)小題的測(cè)試目的分別是：第（1）小題測(cè)學(xué)生在沒(méi)學(xué)這部分知識(shí)前，能否判斷出哪些數(shù)是2的倍數(shù);第（2）小題測(cè)學(xué)生能否獨(dú)立發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)特征;第（3）小題測(cè)學(xué)生能否對(duì)特征進(jìn)行歸納概括。

第2大題設(shè)計(jì)了3個(gè)小問(wèn)題，主要檢測(cè)學(xué)生是否知道2的倍數(shù)特征跟個(gè)位有關(guān)，為什么跟個(gè)位有關(guān)。

第3大題主要檢測(cè)學(xué)生能否在具體的情境中靈活應(yīng)用2的倍數(shù)特征。

三、思維水平假設(shè)修訂

（一）對(duì)“2的倍數(shù)外顯特征”理解水平分析

學(xué)生在判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)時(shí)，最先看的是什么？也就是說(shuō)，2的倍數(shù)外顯特征是什么？在第1大題觀察百數(shù)表的活動(dòng)中，3個(gè)小問(wèn)題的設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)，構(gòu)成了可以考查學(xué)生理解水平程度的梯度模型。具體分析如下：

1.圈出百數(shù)表中2的倍數(shù)。

測(cè)試前，教師對(duì)學(xué)生思維水平假設(shè)從直觀經(jīng)驗(yàn)水平也就是水平1開(kāi)始，并將“能圈出2的倍數(shù)，但不能發(fā)現(xiàn)特征，不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納概括”作為水平1的界定標(biāo)準(zhǔn)。但測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，參與測(cè)試調(diào)查的學(xué)生中，有1.6%不能圈出2的倍數(shù)，因此將假設(shè)的思維水平做相應(yīng)的調(diào)整，增加水平0層次，也就是無(wú)直觀經(jīng)驗(yàn)水平。

2.觀察圈出的自然數(shù)，它們有什么特點(diǎn)？請(qǐng)你詳細(xì)寫(xiě)出它們的特點(diǎn)。

如果學(xué)生能寫(xiě)出這些數(shù)都是雙數(shù)、偶數(shù)或個(gè)位都是2的倍數(shù)等，說(shuō)明已經(jīng)具備觀察發(fā)現(xiàn)水平，界定為水平2。

3.你認(rèn)為怎樣的自然數(shù)才是2的倍數(shù)？

有學(xué)生認(rèn)為“可以除得盡2”，或者“在雙數(shù)列上的數(shù)”就是2的倍數(shù)。這還不是真正意義上的歸納概括，這只是判斷（如圖1）。如果能寫(xiě)出末尾是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，即能發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納概括特征，說(shuō)明已經(jīng)達(dá)到了基本的歸納概括水平（如圖2）。當(dāng)然，也有概括得十分到位準(zhǔn)確的學(xué)生，如個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)。

（二）對(duì)“2的倍數(shù)內(nèi)隱特征”理解水平分析

第2大題的設(shè)計(jì)意圖是考查學(xué)生的判斷是否與數(shù)位有關(guān)聯(lián)性。圖3中，該學(xué)生知道個(gè)位上的數(shù)字必須是0、2、4、6、8，但同時(shí)他認(rèn)為十位上的數(shù)字也要是2、4、6、8，顯然他建立的內(nèi)在數(shù)位關(guān)聯(lián)是錯(cuò)誤的。再看圖2中這位學(xué)生的作品，該學(xué)生認(rèn)為十位上可以是任何數(shù)字，可見(jiàn)他是理解2的倍數(shù)特征只跟個(gè)位數(shù)字相關(guān)，該學(xué)生能正確理解2的倍數(shù)的內(nèi)隱特征。把能理解“2的倍數(shù)內(nèi)隱特征”但不能解釋原理的思維水平界定為水平4。

（三）對(duì)“用2的倍數(shù)特征解決問(wèn)題”理解水平分析

對(duì)第3大題，如果學(xué)生能用奇偶性質(zhì)做出說(shuō)明分析，就達(dá)到了變式情境應(yīng)用水平。實(shí)際上，學(xué)生喜歡采用多種策略如畫(huà)圖、列舉等方法來(lái)解決問(wèn)題，思維水平層次比用2的倍數(shù)特征的原理解釋要低一些，屬于水平5。

（四）對(duì)“用2的倍數(shù)特征原理解釋”理解水平分析

數(shù)學(xué)的理解分為工具性理解和關(guān)系性理解。所謂工具性理解，是指知道怎么做但是不知道其中的道理。所謂關(guān)系性理解，是指既知道怎么做又知道為什么這樣做。顯然對(duì)2的倍數(shù)特征能做出原理解釋?zhuān)瑢儆陉P(guān)系性理解。本次調(diào)查中，有2位學(xué)生能從位值制原理的角度對(duì)2的倍數(shù)特征做出解釋?zhuān)ㄈ鐖D4），他們已經(jīng)清晰地表達(dá)出整百數(shù)、整十?dāng)?shù)等一定是2的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位就行。這種原理解釋十分完整，達(dá)到了關(guān)系性理解水平，界定為思維水平6，屬于最高層次的理解水平。

四、思維水平層次劃分

通過(guò)上面的分析與甄別，將160位學(xué)生的調(diào)查情況劃分為0～6共七個(gè)思維水平層次，再把層次比較相近的歸為一大類(lèi)，共四大類(lèi)。如表2所示。

表2? ?2的倍數(shù)特征思維水平層次劃分表

[水平層次 特點(diǎn) 類(lèi)別 百分比 水平0 不能圈出2的倍數(shù)，屬無(wú)直觀經(jīng)驗(yàn)水平 A類(lèi)：能力弱，不能發(fā)現(xiàn)特征 30.2% 水平1 能圈出2的倍數(shù)，但不能發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)特征，不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行歸納概括，屬直觀經(jīng)驗(yàn)水平 水平2 能發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，但不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行歸納概括，屬觀察發(fā)現(xiàn)水平 B類(lèi)：能力一般，能發(fā)現(xiàn)但不能概括特征 49.2% 水平3 能發(fā)現(xiàn)特征，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括，但不能解釋原理，屬歸納概括水平 C類(lèi)：能力中等，能概括特征，但不能解釋原理 17.5% 水平4 能發(fā)現(xiàn)特征只和個(gè)位有關(guān)，但不能解釋原理，屬內(nèi)隱特征理解水平 水平5 能在變式情境中應(yīng)用，但原理解釋不清，屬綜合應(yīng)用水平 水平6 能解釋為什么，也能在復(fù)雜的情境中進(jìn)行應(yīng)用，屬關(guān)系性理解水平 D類(lèi)：能力強(qiáng)，能解釋?zhuān)苓\(yùn)用 3.1% ]

這四類(lèi)學(xué)生的思維水平層次占比到底是多少，因情而異，因校而異，因區(qū)域而異，以上的數(shù)據(jù)調(diào)查只是提供了研究樣本。但學(xué)生的思維水平層次具有普遍性。通過(guò)思維水平的分析，可以讓教師深入把握每個(gè)思維水平層次的真實(shí)狀態(tài)，為個(gè)性化學(xué)習(xí)方案設(shè)計(jì)奠定理論與實(shí)踐基礎(chǔ)，可以更加有底氣地精準(zhǔn)實(shí)施差異化教學(xué)。

五、基于思維水平層次進(jìn)行差異化教學(xué)

基于思維水平層次的劃分與分析，就“2、5倍數(shù)特征”這一課設(shè)計(jì)了個(gè)性化導(dǎo)學(xué)問(wèn)題，實(shí)施差異教學(xué)，讓不同的學(xué)生獲得有差異的發(fā)展。

所謂“個(gè)性化導(dǎo)學(xué)問(wèn)題”，是指基于不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與思維水平，就某個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)不同的智慧卡。智慧卡中的“個(gè)性化導(dǎo)學(xué)問(wèn)題”從易到難分為三至四個(gè)層次，使不同思維水平的學(xué)生都能根據(jù)導(dǎo)學(xué)問(wèn)題自主探究知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，獲得有差異的成功體驗(yàn)。

（一）A卡設(shè)計(jì)：關(guān)注A類(lèi)學(xué)生思維水平

在看到一個(gè)多位數(shù)時(shí)，A類(lèi)學(xué)生不會(huì)去關(guān)注個(gè)位數(shù)字特點(diǎn)，所以教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)首先要讓他們?nèi)リP(guān)注個(gè)位的內(nèi)容，然后進(jìn)一步關(guān)注哪些數(shù)是2的倍數(shù)，哪些不是2的倍數(shù);再逐步過(guò)渡到關(guān)注2的倍數(shù)的內(nèi)隱特征。當(dāng)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)關(guān)系之后，再讓他們舉例驗(yàn)證，說(shuō)一說(shuō)2的倍數(shù)有怎樣的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)智慧A卡的目的是希望學(xué)生能夠沿著自身的思維水平經(jīng)歷屬于自己的思維路徑，能自覺(jué)在個(gè)性化問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行自主探索，逐步得到結(jié)論。智慧A卡如圖5所示。

（二）B卡設(shè)計(jì)：明確問(wèn)題指向性與可操性

B卡對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)能力一般的學(xué)生，設(shè)計(jì)的問(wèn)題探究空間較小，指導(dǎo)語(yǔ)落在方法和探究策略上，問(wèn)題指向陳述性知識(shí)，不涉及“為什么”的策略性知識(shí)。問(wèn)題指向性明確，易思考、易操作。這一層次的學(xué)生，只知道2的倍數(shù)的特征，所以這個(gè)時(shí)候，讓他去算一算2的倍數(shù)有哪些，通過(guò)計(jì)算，再來(lái)觀察2的倍數(shù)有什么特征，并且請(qǐng)他們寫(xiě)一寫(xiě)，最后再回到例子中。通過(guò)歸納舉例到歸納特征，讓學(xué)生的思維在具象與抽象中不斷地進(jìn)行穿梭，慢慢地悟出并能歸納概括2的倍數(shù)的特征。智慧B卡如圖6所示。

（三）C卡設(shè)計(jì)：注重學(xué)習(xí)方法和探究策略的指導(dǎo)

C卡對(duì)應(yīng)的是數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生。所以設(shè)計(jì)的問(wèn)題探究空間較大，個(gè)性指導(dǎo)語(yǔ)重在學(xué)習(xí)方法或探究策略的指導(dǎo)上。設(shè)計(jì)的問(wèn)題一般指向有關(guān)聯(lián)的事實(shí)性問(wèn)題，但對(duì)“為什么”的策略性知識(shí)不涉及。指導(dǎo)語(yǔ)落在對(duì)概念的深層次理解上。C卡相對(duì)于B卡來(lái)說(shuō)，又上升了一個(gè)層次，學(xué)生可以通過(guò)寫(xiě)數(shù)、舉例，不斷地加深對(duì)2的倍數(shù)特征的理解與概括。智慧C卡如圖7所示。

（四）D卡設(shè)計(jì)：凸顯“為什么”的策略性知識(shí)

D卡對(duì)應(yīng)的是數(shù)學(xué)能力很強(qiáng)的學(xué)生，所以問(wèn)題的設(shè)計(jì)要具有開(kāi)放性、探究性，要涉及“為什么”的策略性知識(shí)，還要求學(xué)生將自己獲得的知識(shí)加以運(yùn)用。如擔(dān)任小老師角色，完成知識(shí)的輸出過(guò)程。對(duì)D層次的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些問(wèn)題具有挑戰(zhàn)性。智慧D卡如圖8所示。

有了這樣的個(gè)性化導(dǎo)學(xué)卡，教師可以放手讓每個(gè)層次的學(xué)生沿著自己的思維過(guò)程推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程。但值得注意的是，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身情況選擇不同思維層次的個(gè)性化學(xué)習(xí)卡，而不能用自己的判斷為學(xué)生的學(xué)習(xí)“定性”，把自認(rèn)為合適學(xué)生思維水平層次的卡直接發(fā)給學(xué)生。課堂上教師可以這樣告訴學(xué)生：有四張智慧學(xué)習(xí)卡，卡上的問(wèn)題難度不同，D卡難度最大，A卡最為簡(jiǎn)單，你可以自己選擇從哪張卡開(kāi)始研究。如果你選擇了一張卡，研究之后認(rèn)為問(wèn)題太難，你可以重新選擇;如果你選擇的卡上的問(wèn)題很快解決了，可以繼續(xù)選擇下一張卡進(jìn)行研究。記得哦，適合自己的才是最好的。

組織課堂反饋可以這樣操作：小組內(nèi)，讓選擇A卡的學(xué)生先匯報(bào)，接著是B卡的學(xué)生，依此類(lèi)推。全班匯報(bào)交流時(shí)，最好是讓選擇B卡或C卡的學(xué)生先匯報(bào)，然后讓D卡的學(xué)生來(lái)解釋為什么是這樣。

教學(xué)中，如果每個(gè)核心內(nèi)容都能針對(duì)學(xué)生思維水平層次做出科學(xué)分析，并基于此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上實(shí)施差異化教學(xué)，將更有利于學(xué)生的發(fā)展。

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