沈君宇，陳 鑫，姚關(guān)心

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 安徽 蕪湖 241002)

2019年全國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽中提出了這樣一個(gè)探究性問題：在靠近水柱的邊緣小心地朝上放置一個(gè)輕質(zhì)物體，如聚苯乙烯泡沫塑料盤(稱懸浮水輪)，在一定條件下，物體將在懸浮的同時(shí)開始旋轉(zhuǎn).文獻(xiàn)上對(duì)這種現(xiàn)象的解釋有不少報(bào)道[1-3],本文將利用流體力學(xué)中的邊界層理論與康達(dá)效應(yīng)對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行研究，并對(duì)它隨水柱沖擊點(diǎn)變化產(chǎn)生的回復(fù)現(xiàn)象作出合理的解釋.

1 預(yù)實(shí)驗(yàn)猜想

輕質(zhì)聚乙烯球會(huì)在水柱側(cè)邊穩(wěn)定高度懸浮并快速旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中水流會(huì)沿其表面運(yùn)動(dòng)并潑灑出大量水花.通過預(yù)實(shí)驗(yàn)，可以作出穩(wěn)定時(shí)輕質(zhì)物體受力平衡的條件與水柱沖擊點(diǎn)位置有關(guān)的判斷.

2 懸轉(zhuǎn)水輪的力學(xué)模型

2.1 水輪旋轉(zhuǎn)的原因

根據(jù)康達(dá)效應(yīng)可以知道：1)流體(水流或氣流)有偏離原本流動(dòng)方向，改為隨凸出的物體表面流動(dòng)的傾向；2)當(dāng)流體與它流過的物體表面之間存在表面摩擦?xí)r(即流體粘性)，只要曲率不大，流體會(huì)沿該物體表面流動(dòng)； 3)據(jù)牛頓第三定律，物體施與流體一個(gè)偏轉(zhuǎn)的力，流體也必施與物體一個(gè)反向偏轉(zhuǎn)的力.這種力在輕質(zhì)物體表面動(dòng)力學(xué)過程非常明顯，這種力產(chǎn)生的力矩會(huì)使輕質(zhì)物體旋轉(zhuǎn)起來.

2.2 力學(xué)模型構(gòu)建

如圖1所示的x-y系中，將沿水輪表面水流速度分解為法向vcosθ與切向vsinθ.

圖1 懸轉(zhuǎn)水輪表面速度分量與受力示意圖

現(xiàn)對(duì)輕質(zhì)物體做受力分析

G=mg

(1)

如圖1，水流在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)球體的沖擊導(dǎo)致其沿球體法向動(dòng)量變?yōu)?而只沿球體表面切向運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量定理此法向沖擊力P滿足

Pdt=vcosθdm

(2)

沿球體切向運(yùn)動(dòng)的水流會(huì)對(duì)球體產(chǎn)生黏滯阻力[4]，即流體流經(jīng)物體表面產(chǎn)生的沿切向的濕摩擦力R[5]:

R∝v2cos2θ

(3)

當(dāng)水流速度小于球體線速度時(shí)，同理會(huì)在球體表面產(chǎn)生反向的黏滯阻力Q:

Q∝v2sin2θ

(4)

水輪在這4種力及其產(chǎn)生的力矩的作用下最終達(dá)到平衡 .

在dt時(shí)間內(nèi)，v=Const，噴出水柱高度及噴出水柱質(zhì)量分別為

dl=vdt

(5)

dm=ρdV

(6)

其中

dV=Sdl

(7)

沖擊點(diǎn)法向單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量可寫為

dm/dt=ρSvcosθ

(8)

代入式(2)可得

P=ρSv2cos2θ(>cosθj-sinθi)

(9)

因?yàn)镽、Q兩力的大小正比于水流的切向速度的平方，故其兩者合力大小必正比于水流切向速度的平方，即

R,Q∝v2sin2θ→FR,Q∝v2sin2θ

(10)

由于球體受力平衡，此模型下兩種力矢量和FR,Q的方向指向第一象限，假設(shè)其與x軸夾角同為θ，由邊界層理論[6]知

(11)

其中，CD為阻力系數(shù)，Re為雷諾數(shù)，S為流體噴射截面面積，且其滿足如下式子[7-8]

(12)

其中，ρ為流體密度，ω為球體旋轉(zhuǎn)角速度，μ為流體動(dòng)力黏度，r為流體噴射截面半徑.由此，水輪在水平方向上所受外力矢量和可寫成

(13)

2.3 穩(wěn)定性的研究

實(shí)驗(yàn)中觀察到：對(duì)于同一球體，在達(dá)到穩(wěn)定懸浮后，沖擊點(diǎn)總是在偏離球心的固定位置；當(dāng)沖擊點(diǎn)稍偏離平衡位置時(shí)，球都會(huì)受到水施加的“回復(fù)力”，將之拉回平衡位置.利用式(13)，并以式中角度為橫坐標(biāo)、水平合力大小為縱坐標(biāo)繪制成的圖像配合探究此平衡點(diǎn)的位置并解釋這一現(xiàn)象.

當(dāng)水平方向外力為0，有

(14)

當(dāng)sinθcosθ≠0時(shí)，有

當(dāng)sinθcosθ=0時(shí)，有

即水柱沖擊點(diǎn)在θ角度滿足以下條件時(shí)，水輪所受橫向合外力為零

水柱沿豎直方向沖擊球體時(shí)：θ3=0

表1 實(shí)驗(yàn)中相關(guān)系數(shù)測(cè)量記錄表

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果及分析

固定噴水口噴射截面積不變，形狀為半徑r為0.3 cm的圓形，并假設(shè)水柱上升過程中不會(huì)散開；黏度μ取室溫值：1.01×10-3Pa·s.通過對(duì)不同尺寸的水輪進(jìn)行懸浮實(shí)驗(yàn)，測(cè)量式(11)、(12)中給出的其余相關(guān)物理量(見表1)，取g=10 m/s2，將所得CD值帶入(14)中，以式(14)中角度為橫坐標(biāo)、水平合力大小為縱坐標(biāo)利用軟件繪制不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)下兩者之間的圖像關(guān)系(見圖2—圖4)，即經(jīng)過數(shù)值計(jì)算得到的理論上水平合力與沖擊角度之間的關(guān)系.設(shè)R0為球體半徑.

圖2 角度θ與水平合力F合的關(guān)系(2R0=8 cm)

圖3 角度θ與水平合力F合的關(guān)系(2R0=10 cm)

圖4 角度θ與水平合力F合的關(guān)系(2R0=12 cm)

由圖2—圖4可解釋“回復(fù)力”現(xiàn)象產(chǎn)生的原因即由水平分力的合力產(chǎn)生，即是當(dāng)沖擊水柱的位置右移時(shí)，輕質(zhì)球體將會(huì)受到水流產(chǎn)生的向左的水平合力；當(dāng)沖擊水柱的位置左移時(shí)，輕質(zhì)球體將會(huì)受到水流產(chǎn)生的向右的水平合力.

4 結(jié)論

通過上述理論分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果表明：

1) 水輪穩(wěn)定懸浮的條件是由重力G，沖擊力P，黏滯力R，水的反向黏滯阻力Q的共同作用下達(dá)到受力平衡；在黏滯力R與水的反向黏滯阻力Q產(chǎn)生的力矩作用下達(dá)到力矩平衡.

3) 由(13)知，在水柱沖擊點(diǎn)偏移時(shí)，水輪會(huì)受到類似“回復(fù)力”的作用是P、Q、R3種力的水平合力共同作用產(chǎn)生，平衡位置與豎直方向所夾圓心角受流體速度，沖擊面積等條件影響.