張 裕 魯 倩

(江蘇省句容高級中學 212400)

恒成立問題中，我們常常能見到類似命題“對于任意的x∈[a,+∞)，都有f(x)≥0成立.”如果注意觀察的話，有一類題目是端點值f(a)=0.這類題型在高考中也經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，下面我們結(jié)合具體題目來深刻理解此類問題的本質(zhì)，從而進一步培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

一、函數(shù)在端點處為零，但導函數(shù)在端點處不為零

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數(shù)，且為常數(shù)).若不等式x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

注意此題當a>2時，導函數(shù)在端點處f′(1)=2-a<0，此種類型題目若用分離變量方法去做，勢必要用到高等數(shù)學中的洛必達法則，而洛必達法則不屬于普通高中數(shù)學課程標準內(nèi)容，因此建議此種類型題目不要用分離變量方法去做，而是采取上述方法去解決.

二、函數(shù)在端點處為零，且導函數(shù)在端點處也為零

例2(2020全國Ⅰ卷理數(shù)21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

解(1)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)時，f(x)單調(diào)遞增.

則當x∈(0,ln3)時，h′(x)

可證t(x)在[0,+∞)最小值為tmin(x)=t(0)=t(2)=0，則t(x)≥0，所以h(x)≥0.

因為ex≥x+1(等號當且僅當x=0成立)，所以x∈(0,+∞)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減.

函數(shù)中端點值為零的不等式恒成立問題，主要有以上兩種題型.當我們遇到此種題型時，要根據(jù)上面的解題策略，快速判斷是哪一種題型.總之，在平常教學中要讓學生快速抓住這種數(shù)學題型本質(zhì)，直擊此問題核心，這樣就會使學生的思維活躍起來，從而真正去培養(yǎng)和提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高學生的解題能力.