張 裕 魯 倩
(江蘇省句容高級中學 212400)
恒成立問題中,我們常常能見到類似命題“對于任意的x∈[a,+∞),都有f(x)≥0成立.”如果注意觀察的話,有一類題目是端點值f(a)=0.這類題型在高考中也經常作為壓軸題出現(xiàn),下面我們結合具體題目來深刻理解此類問題的本質,從而進一步培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).
例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數(shù),且為常數(shù)).若不等式x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
注意此題當a>2時,導函數(shù)在端點處f′(1)=2-a<0,此種類型題目若用分離變量方法去做,勢必要用到高等數(shù)學中的洛必達法則,而洛必達法則不屬于普通高中數(shù)學課程標準內容,因此建議此種類型題目不要用分離變量方法去做,而是采取上述方法去解決.
例2(2020全國Ⅰ卷理數(shù)21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.
(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;
解(1)f(x)在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)時,f(x)單調遞增.
則當x∈(0,ln3)時,h′(x) 可證t(x)在[0,+∞)最小值為tmin(x)=t(0)=t(2)=0,則t(x)≥0,所以h(x)≥0. 因為ex≥x+1(等號當且僅當x=0成立),所以x∈(0,+∞)時,t′(x)<0,t(x)單調遞減. 函數(shù)中端點值為零的不等式恒成立問題,主要有以上兩種題型.當我們遇到此種題型時,要根據(jù)上面的解題策略,快速判斷是哪一種題型.總之,在平常教學中要讓學生快速抓住這種數(shù)學題型本質,直擊此問題核心,這樣就會使學生的思維活躍起來,從而真正去培養(yǎng)和提升學生的數(shù)學素養(yǎng),提高學生的解題能力.