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        抽絲剝繭探本源 步步為營巧推斷
        ——基于函數(shù)的復合方程求解

        2021-08-19 08:26:56李秀元
        數(shù)理化解題研究 2021年22期
        關鍵詞:換元零點評析

        李秀元 武 剛

        (1.湖北省武穴市實驗高級中學 435400;2.湖北省武穴中學 435400)

        函數(shù)零點是高中數(shù)學一個重要概念.考查函數(shù)的零點,對于等價轉化和數(shù)形結合思想方法培養(yǎng)有著非常重要意義.函數(shù)的零點,即函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標,也即對應方程的根.因此,基于函數(shù)的復合方程根的問題,最終將回歸到基本函數(shù)的零點,研究基本函數(shù)的圖像,從形上實現(xiàn)問題的求解.

        一、解方程確定函數(shù)的零點

        A.5 B.4 C.3 D.6

        圖1

        方程[f(k)]2-f(k)-2=0有兩個不同的實數(shù)解,等價于:

        圖2

        評析無論是求復合函數(shù)零點個數(shù),還是依據復合方程根的個數(shù)求參數(shù)取值范圍,都是基于函數(shù)的零點與方程根的關系,通過解方程,將復合函數(shù)的零點問題,轉化為基本函數(shù)方程根的問題,借助于基本函數(shù)的圖像,確定問題的解.此類問題主要考查解方程及研究函數(shù)圖像,突出數(shù)形結合思想方法的運用.

        二、簡化方程,研究基本函數(shù)圖像以確定參數(shù)取值范圍

        圖3

        例4 已知函數(shù)f(x)=(ex-1)2-|ex-1|+k,給出下列四個命題:

        ①對?k∈R,函數(shù)不可能有4個零點;

        ②?k∈R,函數(shù)有且只有1個零點;

        ③當且僅當k=0時,函數(shù)恰有2個零點;

        ④?k∈R,函數(shù)有3個零點.

        其中正確命題的個數(shù)是( ).

        A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

        圖4

        評析即使復合函數(shù)(方程)類似,但因無法直接求出方程的根.對f(x)換元后,構造出兩個方程(函數(shù)),結合基本函數(shù)的圖像特點,通過研究基本方程解的存在情況,確定復合方程解的存在性,從而確定問題的解.數(shù)形結合依然是求解的利器,但邏輯推理亦不可或缺.

        三、利用函數(shù)性質,解套對應法則

        例5 已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調函數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x2)+f(a-2|x|)恰有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍是____.

        解因為f(x)為奇函數(shù),令g(x)=0,則f(x2)=-f(a-2|x|)=f(2|x|-a).又f(x)為R上的單調函數(shù),所以x2=2|x|-a.從而方程x2=2|x|-a有4個實根,即y=a與y=-x2+2|x|的圖像有4個交點.作函數(shù)y=-x2+2|x|的圖像如圖5.因此,0

        圖5

        評析由于沒有明確的函數(shù)解析式,基于抽象函數(shù)的復合函數(shù)零點問題,利用抽象函數(shù)的奇偶性,將方程轉化為兩個獨立的函數(shù)值相等的形式,再利用函數(shù)的單調性,解套對應法則,得到基本方程類型,再根據數(shù)形結合得到問題的解.

        四、換元解嵌套函數(shù)方程

        A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

        解函數(shù)h(x)的零點,即方程f(f(x))=f(x)的根.令f(x)=t,則有f(t)=t.先求方程f(t)=t的根,對應于函數(shù)y=f(x)與y=x的圖像交點橫坐標.由于y=x與y=f(x)相切于點(-2,-2)和(e,e),故f(t)=t的根為t=-2和t=e,如圖所示.

        圖6

        由f(x)=-2可知方程有2解;由f(x)=e可知方程有3解.

        因此,函數(shù)h(x)=f(f(x))-f(x)有5個零點.

        A.2 B.4-4ln2 C.4+2ln2 D.1-3ln2

        圖7

        原方程的根由f(x)=t確定,要使原方程恰有兩個不等實根,根據f(x)的圖像可知,t≤-1且t唯一.

        令y=4x+2e-x(x≤0),則y′=4-2e-x.

        由y′>0,得-ln2

        所以,函數(shù)y=4x+2e-x是(-∞,-ln2)內的減函數(shù),(-ln2,0)內的增函數(shù),從而4x1+x2的最小值在x=-ln2時取得,值為-4ln2+2eln2=4-4ln2,選B.

        評析對于嵌套函數(shù)(方程),將f(x)換元后,原方程轉化為方程組,但最終復合函數(shù)的零點是由f(x)=t來確定,而t的個數(shù)和范圍直接決定方程f(x)=t解的個數(shù).顯然,函數(shù)y=f(x)的圖像,在試題求解中依然起著舉足輕重的作用.

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