羅洪祥

(福建省上杭縣第一中學(xué) 364200)

構(gòu)造法指的是當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用常規(guī)方法和定向思維難以處理時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的性質(zhì)、特征，從新的觀點(diǎn)和角度觀察、分析、理解對(duì)象，緊緊抓住反映問(wèn)題條件和結(jié)論間的內(nèi)在關(guān)系，運(yùn)用問(wèn)題的坐標(biāo)、外形、數(shù)據(jù)等特征，使用已知條件為原材料，及數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的對(duì)象，將原問(wèn)題變得易于解決.

一、應(yīng)用構(gòu)造法解決方程問(wèn)題

雖然高中生從小學(xué)階段就開(kāi)始接觸方程，再經(jīng)過(guò)初中階段的學(xué)習(xí)，到高中以后還要繼續(xù)研究方程，其中在日常解題訓(xùn)練中，方程構(gòu)造法是一個(gè)極為常用的解題思路，主要采用有關(guān)方程知識(shí)來(lái)解題.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)題目中存在明顯結(jié)構(gòu)特征或數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師可以指引學(xué)生應(yīng)用方程構(gòu)造法，建立一個(gè)等式，結(jié)合各種未知數(shù)把習(xí)題中的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變成特殊性或?qū)嵸|(zhì)性內(nèi)容，使其能順利解答題目，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力與思維水平.

例1已知方程(u-i)2-4(i-x)(x-u)=0，求證：u、i、x是一個(gè)等差數(shù)列.

反思在解決該試題時(shí)，學(xué)生只需構(gòu)造出一個(gè)方程就能夠解題，不僅考察以前所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還鍛煉他們的觀察能力與思維能力，使其通過(guò)找到方程等式確定解題思路，然后利用方程相關(guān)知識(shí)快速求解.

二、應(yīng)用構(gòu)造法解決函數(shù)問(wèn)題

函數(shù)知識(shí)可謂是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且學(xué)生在初中階段就有所接觸，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也有著重要地位，不少題目中都會(huì)有所涉及函數(shù)知識(shí)，對(duì)他們的解題水平要求也較高.對(duì)此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，無(wú)論是幾何還是代數(shù)問(wèn)題，往往會(huì)蘊(yùn)含著一定的函數(shù)思想，這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法處理函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是解題思想，而并非方法，使其通過(guò)對(duì)構(gòu)造法的采用把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，鍛煉他們的解題能力，增強(qiáng)解題自信.

例3已知(x+2y)5+x5+2x+2y=0，求x+y的值.

解析本題主要考查函數(shù)的構(gòu)造，由于在等式中存在兩種未知數(shù)，且次冪較高，學(xué)生很難直接求解，應(yīng)該認(rèn)真分析等式，找出具有相等關(guān)系的函數(shù)建立等式.

解把原式進(jìn)行移項(xiàng)后得到(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x)，假設(shè)f(t)=t5+t，這明顯是一個(gè)奇函數(shù)，則f(x+2y)=-f(x)=f(-x)，也就表明x+2y=-x，x+y=0.

三、應(yīng)用構(gòu)造法解決數(shù)列問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)列也是比較重要的知識(shí)點(diǎn)，主要包括等差數(shù)列與等比數(shù)列的兩種，屬于高考中的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，數(shù)列模型具有特殊的規(guī)律，其中在解題中可以更為清晰的呈現(xiàn)問(wèn)題特點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用構(gòu)造法，把遞進(jìn)公式進(jìn)行變形，使其結(jié)合數(shù)列的定義來(lái)判定類型，最終順利求解.同時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)相應(yīng)問(wèn)題構(gòu)造出等差數(shù)列或者等比數(shù)列，讓他們運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)求解.

例4已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，a3=2an-1+3an-2，(n≥3)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析本題屬于高中數(shù)學(xué)數(shù)列類解題中的常見(jiàn)題型，給出幾個(gè)項(xiàng)的值及等量關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，假如學(xué)生采用直接求解法容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師可提醒他們使用構(gòu)造法，對(duì)題目中給出的已知信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造與變換，使其形成清晰、準(zhǔn)確的解題思路.

解根據(jù)an=2an-1+3an-2得出an+an-1=3(an-1+an-2)，因?yàn)閍1+a2=5+2=7，{an+an-1}就形成首項(xiàng)是7，公比是3的等比數(shù)列，得出an+an-1=7×3n-1

①

又因?yàn)閍n-3an-1=-(an-3an-2)，a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，{an-3an-1}就形成一個(gè)首項(xiàng)是-13，公比是-1的等比數(shù)列，則an-3an-1=(-13)(-1)n-1

②

四、應(yīng)用構(gòu)造法解決圖形問(wèn)題

針對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系而言，主要包括代數(shù)與幾何兩大部分，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用構(gòu)造法時(shí)，不僅可以用來(lái)處理各種代數(shù)問(wèn)題，還能夠解決幾何圖形問(wèn)題.具體來(lái)說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，處理解析幾何或者立體幾何類的問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把構(gòu)造法同數(shù)形結(jié)合思想有機(jī)結(jié)合在一起，按照題目中的數(shù)量關(guān)系對(duì)圖形展開(kāi)構(gòu)造，使其結(jié)合直觀化的圖形來(lái)分析抽象化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由此降低解題難度，輔助他們準(zhǔn)確、快速的求得問(wèn)題答案.

解析教師可以提示學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法分析題目中的式子cosα2+cosβ2+cosγ2=1，使其同長(zhǎng)方體對(duì)角線的形式來(lái)連接，構(gòu)造出以下圖形，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，將∠α、∠β、∠γ看作是長(zhǎng)方體對(duì)角線BD1和三條側(cè)棱的夾角，其中三條側(cè)棱AB、BC和BB1的長(zhǎng)分別是a、b、c.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)原問(wèn)題就能夠得到證明.

例6 已知x，y都是正實(shí)數(shù)，x2+y2-3=xy，求x+y的最大值.

解析學(xué)生可以利用x2+y2-3=xy的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到三角形中的余弦定理，那么能夠采用構(gòu)造法來(lái)構(gòu)造△ABC，繼而借助解三角形中求解周長(zhǎng)的取值范圍來(lái)解決問(wèn)題.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，教師需意識(shí)到構(gòu)造法的特殊性與作用，引領(lǐng)學(xué)生深入理解構(gòu)造法的含義，掌握構(gòu)造的目的，使其結(jié)合不同類型的題目探討構(gòu)造法的具體應(yīng)用技巧，知道這是一種既常用又極具創(chuàng)新意義的解題思路，讓他們創(chuàng)造性解答題目，提高解題水平.