鄒景斌 朱賢良

(1.安徽省銅陵市第三中學(xué) 244000；2.安徽省樅陽縣宏實中學(xué) 246700)

近些年來，“雙變量函數(shù)”問題在高考或?？贾袀涫芮嗖A，屢見不鮮，成為高考與?？济}的常見角度，因而成為學(xué)優(yōu)生力求攻克的難點.此類問題涉及的知識面較廣、綜合性較強(qiáng)、解法靈活，其求解過程中滲透著函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，因此此類問題能較好地評價學(xué)生的思維能力與應(yīng)變能力.面對這類問題，很多學(xué)生常常是束手無策、繳械投降，或者無法正確轉(zhuǎn)化、漏洞百出.

前段時間，筆者認(rèn)真分析研究了高考與?？贾械碾p變量試題，對此類問題的處理策略進(jìn)行了歸納與整理，并在所帶班級上了一節(jié)雙變量函數(shù)問題的高三復(fù)習(xí)課，反響很好，并在課后檢測中也得到了極好的反饋.本文以一道典型的?？荚囶}為例，對雙變量函數(shù)問題的求解思路作一全面分析，并整理如下，供讀者朋友研討與交流.

題目(2021屆江淮創(chuàng)新聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考·理22)已知函數(shù)f(x)=2bx-xea-x的圖象在(-1,f(-1))處的切線方程為y=2(e-1)x-1.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)關(guān)于x的方程ex-mx=0的兩根為x1，x2,證明：x1+x2>2.

本文主要是從第二問分析此類雙變量函數(shù)的解決策略，故第一問不做解釋.

一、一題四法：從不同視角不同的處理方法攻克“雙變量函數(shù)”問題

題中證明x1+x2>2是十分常見的試題類型，學(xué)優(yōu)生對此應(yīng)該不會陌生，比如2016年高考全國課標(biāo)卷理科第21題即為同類問題：

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：:x1+x2<2.

此高考試題可供讀者朋友研究，我們先從不同角度對上述聯(lián)考試題進(jìn)行分析.

1.靈活整理代換，變量巧妙歸一

在本題中，由ex1-mx1=0和ex2-mx2=0可以得到

mx1=ex1

①

mx2=ex2

②

兩式相加，可得m(x1+x2)=ex1+ex2

③

兩式相減，可得m(x1-x2)=ex1-ex2

④

要證明x1+x2>2，只需證明

點評上述求解過程求解的關(guān)鍵一步在于巧妙減元，令x1-x2=t之后，思路清晰易理解，因而如何巧妙地將變量歸一才是上述思路的精髓所在.

2.直接換元代換，消減變量歸一

由題意，可得mx1=ex1

④

mx2=ex2

⑤

⑥

3.構(gòu)造無參函數(shù)，化為函數(shù)單調(diào)

此方法也是一種非常常見的招數(shù)，先設(shè)法將兩個變量x1,x2統(tǒng)一成x1或x2，再構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)證明.

x(-?,0)(0,1)1(1,+?)g'(x)--0+g(x)↘↘e↗

要證明x1+x2>2，只需要證明g(x2)>g(2-x1)，而g(x1)=g(x2)，故只需證明g(x1)-g(2-x1)>0.

綜上所述，g(x1)-g(2-x1)>0，即x1+x2>2.

點評以上解法是通過等價轉(zhuǎn)化變形，使需要解決的問題等價化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題，從而實現(xiàn)求解.參考上述思路，也可以對稱構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(1+x)-g(1-x)來進(jìn)行求解，方法類似，在此不加贅述.

4.借平均不等式，快速化繁為簡

在思路三中已經(jīng)詳細(xì)分析了x1,x2∈(0,+∞)且m>0，在下面解法中不再重復(fù)詳細(xì)說明.

點評要證明x1+x2>2，就是證明式子中暗藏的不等關(guān)系，而通過重要不等式、基本不等式、對數(shù)平均不等式、柯西不等式等都可以體現(xiàn)式子中深層次的不等關(guān)系.解題時要善于觀察，靈活多變地借用經(jīng)典不等式來快速解題，做到大道至簡，直擊問題本質(zhì).

二、解題啟示：刷百題不如透解一題

在解題教學(xué)中，筆者堅持“刷百題不如透解一題”這一信念.無論是在日常的備課還是課堂教學(xué)中，筆者都不自覺地思考是否還有其它的方法與思路來求解試題.對于經(jīng)典試題，教師非常有必要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，尋求多種多樣的解法，讓學(xué)生不盲從參考答案的方法，這樣可以讓各種思想在碰觸中產(chǎn)生火花，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，加速培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，發(fā)展創(chuàng)造性思維.

總之，在平時的教與學(xué)中，如果我們能抓住看似普通的典型題目，站在數(shù)學(xué)思想和方法的高度，以培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力為目標(biāo)，多角度、多方位分析和優(yōu)化解法，必能以一題破萬題，從而有效地減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率.