馮飛翔 李鴻旭

【摘? 要】作為q階正交模糊集的擴(kuò)展，區(qū)間q階正交模糊集是處理不確定信息的有力工具。在此基礎(chǔ)上，定義了區(qū)間q階正交模糊明考斯基距離測(cè)度和相似性測(cè)度的公式，并研究了這些測(cè)度的基本性質(zhì)。最后，將區(qū)間q階正交模糊明考斯基距離測(cè)度和相似性測(cè)度應(yīng)用于多屬性決策中，通過算例證明區(qū)間q階正交模糊距離測(cè)度和相似性測(cè)度的有效性和可行性。

【Abstract】As an extension of the q-rung orthogonal fuzzy set， the interval q-rung orthogonal fuzzy set is a powerful tool to deal with uncertain information. On this basis， the formulations of interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and similarity measure are defined， and the basic properties of these measures are studied. Finally， the interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and the similarity measure are applied to the multi-attribute decision making， and the validity and feasibility of the interval q-rung orthogonal fuzzy Minkowski distance measure and the similarity measure are proved by an example.

【關(guān)鍵詞】區(qū)間q階正交模糊集;明考斯基距離;相似性測(cè)度

【Keywords】interval q-rung orthogonal fuzzy sets; Minkowski distance; similarity measure

【中圖分類號(hào)】 O159? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文章編號(hào)】1673-1069（2021）08-0181-02

1 引言

為了處理不確定信息，在決策中引入了一些不確定數(shù)學(xué)工具，如模糊集、直覺模糊集、畢達(dá)哥拉斯模糊集和q階正交模糊集。然而，在許多實(shí)際的決策問題中，決策者總是很難用一個(gè)精確的數(shù)字準(zhǔn)確地描述他們的觀點(diǎn)。但是，它們可以用[0，1]的區(qū)間數(shù)來表示。這表明有必要引入?yún)^(qū)間q階正交模糊集（IVq-ROFSs）[1]，其中隸屬度和非隸屬度由區(qū)間值給出。

距離測(cè)度和相似性測(cè)度是確定兩個(gè)對(duì)象之間差異和相似程度的重要工具。隸屬度和非隸屬度使用區(qū)間數(shù)來表示比使用精確數(shù)字能更好的表達(dá)信息的復(fù)雜性和不確定性。相似性測(cè)度在處理不完善和不確定的信息中起著重要的作用。然而，目前很少有學(xué)者關(guān)注IVq-ROFSs的信息測(cè)度。因此，本文研究了區(qū)間q階正交模糊集的明考斯基距離測(cè)度定義和公式，并通過算例驗(yàn)證本文所提方法的有效性和可行性。

2 預(yù)備知識(shí)

定義 2.1[1] 設(shè)X={x1，x2，…，xn}為一個(gè)論域，X上的區(qū)間q階正交模糊集義為

權(quán)明考斯基距離測(cè)度可定義為

=（ω1，ω2，…ωn）T為權(quán)重向量。

若λ=1，則退化為加權(quán)Hamming距離：

若λ=2，則退化為加權(quán)Euclidean距離：

若ω=（1 /n，1/n，…，1/n）T，則退化為標(biāo)準(zhǔn)Hamming距離：

4 算例分析

4.1 應(yīng)用算例

某投資公司現(xiàn)有4個(gè)項(xiàng)目，其中項(xiàng)目B1、B2和B3是實(shí)施項(xiàng)目，B4是未實(shí)施項(xiàng)目備，為了確定項(xiàng)目B4與哪個(gè)項(xiàng)目最為相似，專家通過以下4個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估：D1產(chǎn)品價(jià)格、D2產(chǎn)品質(zhì)量和D3風(fēng)險(xiǎn)因素，權(quán)重向量為ω=（0.3，0.3，0.4）T，專家的決策矩陣如表1所示（q=1，λ=1）。

根據(jù)公式計(jì)算得出：

4.2 比較分析

為了驗(yàn)證本文所提相似性測(cè)度的可行性和通用性，將本文所提方法與文獻(xiàn)[2]和[3]的方法進(jìn)行比較。

文獻(xiàn)[2]的方法無法計(jì)算本文算例中的屬性值，是因?yàn)閰^(qū)間直覺模糊集需要滿足隸屬度區(qū)間與非隸屬度區(qū)間之和小于等于1的條件。但是，本文算例給出的屬性值中隸屬度區(qū)間與非隸屬度區(qū)間之和大于1，本文所提相似性測(cè)度中IVq-ROFSs滿足條件。因此，本文提出的相似性測(cè)度比文獻(xiàn)[2]中的相似性測(cè)度更具可行性。

文獻(xiàn)[3]的方法與本文算例的計(jì)算結(jié)果一致。雖然，區(qū)間畢達(dá)哥拉斯集滿足隸屬度區(qū)間與非隸屬度區(qū)間的平方和小于等于1的條件。但是，由于實(shí)際中多屬性決策問題本身的復(fù)雜性，區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)不能描述區(qū)間隸屬度與區(qū)間非隸屬度平方和大于1的情況。這說明區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊相似性測(cè)度的適用范圍較小，不能完全滿足本文算例中的決策問題。因此，本文所提的相似性測(cè)度更具有通用性。

5 結(jié)論

針對(duì)區(qū)間q階正交模糊多屬性決策問題，本文給出并討論了區(qū)間q階正交模糊集的距離測(cè)度和相似性測(cè)度，并研究了這些測(cè)度的性質(zhì)。最后，本文通過算例對(duì)所提測(cè)度的有效性和可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。在未來，我們將采用其他方式的信息測(cè)度，如多屬性群體決策。

【參考文獻(xiàn)】

【1】Joshi B P， Singh A， Bhatt P K， Vaisla KS. Interval valued q-rung orthopair fuzzy sets and their properties[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems， 2018， 35（5）： 5225-5230.

【2】Xu Z S， Yager R R. Intuitionistic and interval-valued intutionistic fuzzy preference relations and their measures of similarity for the evaluation of agreement within a group[J]. Fuzzy Optimization and Decision Making， 2009， 8：123-139.

【3】Zhang X L. Pythagorean Fuzzy Clustering Analysis： A Hierarchical Clustering Algorithm with the Ratio Index-Based Ranking Methods[J]. International Journal of Intelligent Systems， 2018， 33（8）： 1798-1822.