斯海霞，葉立軍

為促進不同特質學生的個性化發(fā)展，以滿足當前創(chuàng)新型社會對多樣化人才的培養(yǎng)需求，拓展性課程逐漸成為中小學校課程的重要組成部分[1][2]。該類課程為學校自主開發(fā)、開設，具有選擇性、層次性等特征，是開展適應性教學，促進學生個性化發(fā)展的重要載體[3]。但目前國內拓展性課程開發(fā)及實施水平仍有待提高，特別是知識類拓展性課程，易異化為基礎課程教學內容的鞏固與加深，忽視了該類課程應具有的選擇性、層次性、創(chuàng)造性等特征[1][4][5][6]。因此，有必要從課程建設理論基礎出發(fā)，厘清拓展性課程開發(fā)與設計的基本問題。

課程的哲學基礎是推動課程改革實踐發(fā)展的重要議題，過程哲學所蘊含的過程性、關系性、創(chuàng)造性、整合性思維，為我國深化課程改革提供了新的思維與視角[7]。過程哲學視域下課程設計的方向是整合，課程目標需凸顯學科倫理價值——善，課程內容設計注重課程的過程思維與關系思維，課程實施本質上需引導學生經(jīng)歷再創(chuàng)造，以避免產生“具體性誤置的謬誤”[8]。過程哲學的開創(chuàng)者懷特海不僅是哲學家，更是一位數(shù)學家，將其過程哲學視域下的數(shù)學觀、數(shù)學教育觀、課程觀應用至初中數(shù)學拓展性課程的開發(fā)與設計中，突出課程設計的整合性、過程性、創(chuàng)造性及學科倫理價值，對數(shù)學拓展性課程建設具有一定的理論意義和實踐意義，具體課程開發(fā)與設計如下。

一、踐行數(shù)學學科育人功能，堅持課程育人目標

過程哲學的核心是“過程”，即事物在過程中存在、變化和發(fā)展[9]，其開創(chuàng)者——英國數(shù)學家、哲學家懷特海認為數(shù)學的本質是對模式的抽象過程進行研究。數(shù)學教育既要學生熟悉抽象的思想、概念，同時也應認識到如何將抽象運用到具體情境中，培養(yǎng)學生積極進取的意志、理性的精神、嚴密的邏輯思維以及對完美、簡約境界的追求，即體現(xiàn)數(shù)學倫理價值——善[10][11][12]。

過程哲學視域下的數(shù)學拓展性課程注重以“全人教育”喚醒課程所蘊含的數(shù)學倫理價值，強調個體多樣性，尊重不同個體間以及個體自我與內心世界的合作與聯(lián)結[9][13]。即以基礎性課程為基礎，強調借助數(shù)學特有的符號系統(tǒng)為學生提供差異性、層次性的數(shù)學活動實踐機會，并注重引導學生在多元化的數(shù)學活動實踐中，有選擇地進行拓展性學習，體會數(shù)學學科專業(yè)人士在學科探索過程中所經(jīng)歷、積累的隱形價值取向、思維方式及理性精神[14]，從而個性化地發(fā)展學生潛能，形成數(shù)學素養(yǎng)，踐行學科育人功能[3][15]。

二、凸顯課程關系思維，以主題為單位整體架構課程

（一）轉變課程設計主體，明確課程設計原則

過程哲學視域下數(shù)學拓展性課程開發(fā)與設計的主體是學校、教師、學科教育研究者等。為實現(xiàn)上述課程目標，學校、一線教學名師、高校學科教育研究者協(xié)同組成課程開發(fā)團隊（以下簡稱課題組）。課題組遵循基礎性課程與拓展性課程相融合，課程整體統(tǒng)一編排與內容難度分層設計相結合，課程主題多樣性與學生選擇自主性相契合等原則，設計具有選擇性、層次性的主題化課程內容供學生選擇，以滿足學生多樣化學習需求，打造基礎性課程與拓展性課程一體化育人的局面。

（二）整合學科內外，開發(fā)六類主題架構課程

數(shù)學拓展性課程是其基礎性課程內容的拓展、延伸與整合。課題組在充分研讀初中數(shù)學基礎性課程教材的基礎上，對基礎性課程教材中的“閱讀材料”、“主題學習”及“探究活動”等內容進行統(tǒng)整與拓展；同時，遴選具有探究價值，且與基礎性課程內容聯(lián)系緊密的現(xiàn)實素材作為數(shù)學拓展性課程素材。經(jīng)反復探索與實踐檢驗，最終研制出涵蓋趣味數(shù)學與游戲、數(shù)學史話與欣賞、數(shù)學實驗與探究、生活數(shù)學與應用、數(shù)學思想與方法、知識延伸與拓展的六類數(shù)學拓展主題，供師生選擇。

其中“趣味數(shù)學與游戲”類主題旨在以游戲教學為手段，提高學生求知欲，激發(fā)學生數(shù)學學習興趣，在游戲中潛移默化地鞏固數(shù)學知識、培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。“數(shù)學史話與欣賞”類主題旨在通過引入數(shù)學史料，豐富數(shù)學教育內涵，提高學生民族自豪感，產生文化共鳴?！皵?shù)學實驗與探究”類主題以問題為起點，以獲得數(shù)學結果為目標，引導學生通過自主探究、合作交流，經(jīng)歷數(shù)學實驗過程，以提升其探究能力?！吧顢?shù)學與應用”類主題將日常生活中蘊含的數(shù)學知識內化為拓展性教材內容，以培養(yǎng)學生數(shù)學建模思想及問題解決意識與能力?！皵?shù)學思想與方法”類主題將充分挖掘基礎性課程教材中蘊含的數(shù)學思想方法，在幫助學生厘清數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的同時，培養(yǎng)學生邏輯思維能力?！爸R延伸與拓展”類主題對基礎性課程內容進行了適度拓展延伸，以開闊學生數(shù)學視野，提升學生數(shù)學能力[15]。這六類數(shù)學拓展性課程主題活動充分體現(xiàn)了各類數(shù)學學科活動特征，是教師設計適應性教學，激發(fā)學生學習興趣，引導學生進行數(shù)學探究、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的主要載體。

（三）融合基礎性課程章節(jié)，組織課程主題單元

為更好地融合基礎性課程與拓展性課程教學，課題組根據(jù)浙教版七至九年級初中數(shù)學教材章節(jié)內容及順序，對上述六類數(shù)學拓展性課程主題活動進行章節(jié)編排。同時依據(jù)基礎性課程內容在不同年級的章節(jié)量，設置了七、八、九年級拓展性課程主題數(shù)量比約為5 ∶5 ∶3.8，并將基礎性課程教材中的章名稱作為數(shù)學拓展性課程內容各章名稱。例如七年級上冊的內容章名稱“有理數(shù)”、“有理數(shù)的運算”、“實數(shù)”與浙教版七年級上冊基礎性課程數(shù)學教材章名稱及順序一致。

三、突出課程過程思維，圍繞問題探究設計課程內容

（一）設計雙標題主題名稱，揭示活動特征

根據(jù)主題內容特征及學生學習需求，課題組設計了139 個數(shù)學拓展活動主題，其類型分布情況如表1 所示，其中“生活數(shù)學與應用”、“數(shù)學思想與方法”、“知識延伸與拓展”類活動占比較高，均為20%以上，其余依次為“數(shù)學實驗與探究”、“趣味數(shù)學與游戲”與“數(shù)學史話與欣賞”。每個活動主題節(jié)名均采用雙標題設計，如“數(shù)學思想與方法”類主題活動“有序思考：有多少種可能”。提煉數(shù)學研究或問題解決的思想方法——“有序思考”作為前標題，以強化問題解決與素養(yǎng)導向，設計富含趣味的學習任務——“有多少種可能”作為后標題，以激發(fā)學生參與數(shù)學活動的學習興趣。

表1 各數(shù)學拓展性課程教學主題設計分布情況

（二）增設拓展學習導引，明確主題活動起止點

雖然學校是拓展性課程建設的行為主體，但對于多數(shù)普通學校而言，主要任務是選擇已有的相對成熟的拓展性課程進行“開設”[10]。因此，為方便學校及教師根據(jù)學生不同需求選擇相應課程內容開展適應性教學，并使其拓展性課程教學更具可操作性。每個拓展性主題內容皆設計了學習導引，寫明該主題學習與基礎性課程教學相匹配的學習進度及學習目標，明晰主題活動的起止點。如表2 中“讀史啟智：豐富多彩的古代記數(shù)制”，明確該主題的學習起點是學生學完浙教版七年級數(shù)學教材第一章有理數(shù)的第一節(jié)之后；拓展主題的學習旨在引導學生了解古代計數(shù)方法，感受古人的智慧與創(chuàng)造力，提高數(shù)學學習興趣。

表2 七年級上冊前三章拓展性課程內容設計示例

（三）圍繞問題探究，設計主題學習路徑

懷特海認為教育應由“浪漫階段”（最初的理解階段）、“精準階段”（對知識系統(tǒng)結構的準確性把握）、“歸納階段”[16]18-24這三個階段構成，每一節(jié)課都應成為一個承上啟下的循環(huán)周期，該循環(huán)的學習邏輯指向尋找問題解決的本質。不同于基礎性課程教學有明確的知識技能學習要求，需引導學生經(jīng)歷知識的形成過程，過程哲學視域下的拓展性課程可圍繞問題解決設計各主題活動，并引導學生在數(shù)學問題解決過程中，經(jīng)歷數(shù)學再創(chuàng)造。因此，結合上述課程設計中涉及的各主題活動學習目標與進度，研究以“導引——問題——思考——解決——歸納——拓展”為學習路徑設計每個主題活動內容。

具體設計如圖1 所示，即首先在導引部分通過課題引言，引導學生從數(shù)學視角出發(fā)對現(xiàn)有的數(shù)學實踐與經(jīng)驗提出問題，并明確與基礎性課程相融合的學習進度及學習目標。隨后聚焦具體問題，以問題為載體，帶領學習者經(jīng)歷“思考、問題解決、歸納”三個過程；教學中可引導學習者在閱讀“問題解決”的內容之前先嘗試自己探索解決問題的方法，當覺得自己獨立解決有困難時，可按照“思考”中提供的思路再試一試；在問題解決以后，引導學習者先嘗試自己歸納解決這類問題的思路和所用到的知識、方法等，再看“歸納”內容。

圖1 數(shù)學拓展性課程內容欄目設計

此后，通過設計例習題鞏固、拓展閱讀，提供進一步思考和拓展數(shù)學視野的資源。教師在引導學生圍繞問題解決，主動思、自主學，拓寬學生發(fā)展空間與合作探究機會的同時，亦可根據(jù)學生學習基礎，適時決定問題解決的程度及配套例習題。

四、避免“具體性誤置謬誤”，以數(shù)學化為路徑設計課程實施

為避免產生“具體性誤置的謬誤”，即“以抽象的概念或理論去解釋具體的事態(tài)，或把抽象的概念看作是具體的真實”[17]80-83，數(shù)學拓展性課程實施需注意引導學生在具體情境中經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，從而感悟嚴密的邏輯思維，體現(xiàn)數(shù)學倫理價值。上述拓展主題內容設計指向尋找問題解決本質，即引導學生以問題為基礎，通過逐步數(shù)學化解決問題[18]。該過程不僅包括從學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，逐步經(jīng)歷數(shù)學化直至形式化，以發(fā)展學生數(shù)學思維，也包括由形式化數(shù)學向現(xiàn)實的“復歸”[19]。因此，根據(jù)已有學者提出的數(shù)學化四層次[20]及斯托利亞爾提出的數(shù)學活動三階段，將問題解決的數(shù)學化過程分為情境層次、指涉層次、普遍層次、形式層次及應用層次。

在數(shù)學拓展性課程實施中，教師可根據(jù)六類主題特征，一方面，引導學生經(jīng)歷相應的數(shù)學化過程，實現(xiàn)數(shù)學再創(chuàng)造。如在“生活數(shù)學與應用”類主題教學中，引導學生經(jīng)歷數(shù)學化全過程；而“數(shù)學思想與方法”類主題教學則從指涉層次開始經(jīng)歷數(shù)學化過程；“數(shù)學史話與欣賞”則根據(jù)問題情境特征決定數(shù)學化的起點與終點層次。另一方面，鼓勵學生在上述數(shù)學化活動中通過質疑、分析、解決、檢驗、反思評價等方式，進行獨立思考及集體性學習，即開展拓展性學習，以提高學生對數(shù)學學習的興趣，個性化地發(fā)展其潛能、形成數(shù)學素養(yǎng)[3][15]。

同時，為避免僅憑考試分數(shù)評價學生，需構建數(shù)學拓展性課程教學多元評價體系。建議將學生學習方式、學習態(tài)度、問題解決過程等納入評價，以評促學，并綜合學生自評、同學互評、教師評價對學生的課堂表現(xiàn)進行評價，設計權重比，實現(xiàn)評價主體的多元化。

五、結語

課題組基于數(shù)學學科特征與拓展性課程屬性，運用過程哲學視域下的過程性思維與關系性思維，對初中數(shù)學拓展性課程從課程目標、課程體系、課程內容及實施等方面進行頂層設計。在具體實踐中，課題組通過問卷調查發(fā)現(xiàn)[21]，浙江省內開設初中數(shù)學拓展性課程的學校教師中，約有30%的教師選擇了課題組開發(fā)的課程內容設計教學。但相較于數(shù)學基礎性課程教學有概念課、命題課、技能課等教學模式可用于幫助教師有效設計教學，教師對于如何有效開展各類拓展性課程課堂教學，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)仍有困惑。課題組后續(xù)將加強名師拓展性課程課堂教學觀摩與研討活動，強化數(shù)學拓展性課程課例研究，形成優(yōu)秀教學案例，以幫助教師能根據(jù)學生需求，切實有效地開展數(shù)學拓展性課程教學。