嚴(yán)志國(guó),蘇方旭,陳 耀,張 敏

1.齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,濟(jì)南 250353 2.齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,濟(jì)南 250353

非線性隨機(jī)系統(tǒng)作為一類重要的隨機(jī)系統(tǒng),已被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)、通訊系統(tǒng)等實(shí)際工程領(lǐng)域[1],并在這些領(lǐng)域中發(fā)揮了非常重要的作用。因此,非線性隨機(jī)系統(tǒng)的研究受到越來越多的關(guān)注。例如,FLORCHINGE等[2]給出了Artstein定理的一種擴(kuò)展,并得到了非線性隨機(jī)系統(tǒng)的一種反饋控制方法。LIU等[3]研究了非線性隨機(jī)系統(tǒng)輸入狀態(tài)穩(wěn)定性,并給出了判定條件。WU等[4]研究了狀態(tài)依賴切換隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。YAN等[5]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究了非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題,YAN等[6]進(jìn)一步研究了非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間H∞控制問題。

另一方面,與傳統(tǒng)意義的漸近穩(wěn)定性相比,有限時(shí)間穩(wěn)定性能更好地描述系統(tǒng)在給定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的暫態(tài)行為。因此,對(duì)于某些工作時(shí)間較短的系統(tǒng)或系統(tǒng)狀態(tài)必須滿足給定限制范圍的情況,可以在有限時(shí)間穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)分析與控制[7]。然而,在某些情況下,有限時(shí)間穩(wěn)定性還不能滿足系統(tǒng)所需要的暫態(tài)性能的要求。這是因?yàn)橛邢迺r(shí)間穩(wěn)定性僅僅對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的上界限進(jìn)行約束,對(duì)其下界限并沒有要求。但是對(duì)于工程中的某些實(shí)際系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的下界限也有著嚴(yán)格的要求[8]。此外,在電子電路系統(tǒng)中,需要控制二極管的電壓在0.3～1.0 V之間,以使整個(gè)電子電路系統(tǒng)可以在給定時(shí)間內(nèi)工作[9]。為此,YAN等[10-11]引入了有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性的概念來改進(jìn)這一問題。此外,在該領(lǐng)域,還有許多學(xué)者也取得了豐富的研究成果[12-13]。但對(duì)于不確定性非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題,尚未有相關(guān)研究。本文利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)中的非線性項(xiàng),研究了不確定性非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下不確定非線性隨機(jī)系統(tǒng):

(1)

[ΔA1ΔA2]=MF(t)[N1N2],

其中,M、N1、N2是已知適當(dāng)維數(shù)的矩陣,且F(t):R→Rk×l是未知的時(shí)變函數(shù),滿足:

F′(t)F(t)≤I,?t>0.

下面引入不確定非線性隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性的概念。

定義1:文獻(xiàn)[10]給定正參數(shù)T、ci其中i=1、…、4,且c4>c2>c1>c3>0和矩陣R>0。如果對(duì)?t∈[0,T],滿足:

c1≤E[x′(0)Rx(0)]≤c2?c3≤E[x′(t)Rx(t)]≤c4,

(2)

則稱非線性隨機(jī)系統(tǒng)(u(t)=0)是關(guān)于(c1,c2,c3,c4,T,R)有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定的。下面介紹有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定,構(gòu)造如下狀態(tài)反饋控制器:

u(t)=K(t)x(t),

其中,K(t)=K+ΔK(t),ΔK(t)是一個(gè)擾動(dòng)矩陣,且假設(shè):

ΔK(t)=D3F(t)N3,

其中D3,E3是已知適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣。

定義2:如果存在狀態(tài)反饋控制器u(t)=K(t)x(t),使得如下閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定的,

(3)

則非線性隨機(jī)系統(tǒng)對(duì)所有允許的不確定性都是有限時(shí)間環(huán)域可鎮(zhèn)定的。

本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有允許的不確定參數(shù)是有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定。

使用LIMANOND等[14]提到的線性微分包含(Linear difference inclusion,LDI)技術(shù),用多層神經(jīng)網(wǎng)(Multi-layer neural networks,MNNs) 逼近非線性函數(shù)f(x(t))[15]。

上述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)略結(jié)構(gòu)如圖1所示(以3個(gè)輸入向量的單隱藏層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例):

在不失一般性的前提下,設(shè)單隱藏層感知器N(x(t),W1,W2)被適當(dāng)訓(xùn)練以近似非線性項(xiàng)f(x(t)),可用矩陣向量表示為:

N(x(t),W1(x(t)),W2(x(t)))=

ψ2[W2ψ1[W1x(t)]],

(4)

其中，Wi∈Rn×n、i=1,2,為神經(jīng)元的連接權(quán)矩陣,ψi(·)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)向量,其定義為:

ψi[ζ]=[φ1(ζ1),φ2(ζ2),…,φni(ζni)]′.

令:

j=1,2,…,ni

則激活函數(shù)φj的最大、最小導(dǎo)數(shù)定義如下:

且激活函數(shù)φj可以用如下形式重寫:

φj=hj(0)sj(0,φj)+hj(1)sj(1,φj),

(5)

其中，D∈Rm是一個(gè)緊集,使得

表示第i層的ni維索引向量(i=1,2)的集合為:

κni=κni(σ)={σ∈Rni|σj∈{0,1},j=1,…,ni},

其中σ被用作二進(jìn)制指示符。顯然,有ni個(gè)神經(jīng)元的第i層具有2ni個(gè)二進(jìn)制組合指示器(k=0,1)。兩層NNs的索引向量元素有2n2×2n1組合Θ=κn2⊕κn1。

利用LIMANOND等[14]的表示方法,上式可以表示為:

=Σσ∈ΘμσAσ(σ,ψ,W*)x(t),

其中，

h1n1(k1n1)…h(huán)11(k11)=1,

hij(σij)≥0,σij=0,1

hij(0)+hij(1)=1,i=1,2,j=n1,n2.

因此,閉環(huán)系統(tǒng)(3)可以轉(zhuǎn)化為一組誤差有界的線性微分包含,即:

(6)

其中，

并且

表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。

1.2 引理

為推導(dǎo)出本文主要的結(jié)果,首先介紹如下幾個(gè)引理。

引理 1:(Gronwall 不等式)

令θ(t)是一個(gè)非負(fù)函數(shù),若對(duì)任意的a>0,b>0滿足:

則有如下不等式成立:

θ(t)≤aebt，0≤t≤T.

引理 2:(反向Gronwall 不等式[11])

令θ(t)是一個(gè)非負(fù)函數(shù),若對(duì)任意的a>0,b>0滿足:

則有如下不等式成立:

θ(t)≥aebt，0≤t≤T.

引理 3:令A(yù)、B、S和F是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣,且滿足F′(t)F(t)≤I,則對(duì)任意的正數(shù)ε>0,有如下不等式成立:

S+AF(t)B+B′F′(t)A′≤S+εAA′+ε-1B′B.

引理 4:(Shur’s 補(bǔ)引理)對(duì)任意的實(shí)數(shù)矩陣N、實(shí)對(duì)稱矩陣A、D,如下兩個(gè)不等式是等價(jià)的:

1)A-BD-1B′<0,

2 有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定

本部分考慮不確定非線性隨機(jī)系統(tǒng)(3)有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定問題。首先,給出系統(tǒng)為有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。

定理1:如果存在α>0,β>0,正定矩陣Q以及矩陣K,使得下列不等式成立:

(7)

(8)

(9)

(10)

則系統(tǒng)(3)關(guān)于(c1,c2,c3,c4,T,R)是有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定的。

其中，

證明:下面將分為兩步證明此結(jié)論。

第一步:

c1≤E[x′(0)Rx(0)]?c3≤E[x′(t)Rx(t)]

(11)

然后,考慮如下不等式:

(12)

其中，

在(7)式前后同時(shí)乘

可以得到:

(13)

根據(jù)引理3,不等式(13)等價(jià)于

(14)

并且蘊(yùn)含著:

(15)

通過比較(12)和(15)式可以得到如下結(jié)論:

(16)

對(duì)(16)式兩邊同時(shí)從0到t取積分,t∈[0,T], 并且取數(shù)學(xué)期望可得:

(17)

根據(jù)引理1,上述不等式可以寫成:

EV(x(t))>V(x(0))eαt。

(18)

根據(jù)條件,可以得到:

EV(x(t))=Ex′(t)R1/2Q-1R1/2x(t)

≤λmax(Q-1)Ex′(t)Rx(t),

(19)

并且

V(x(0))eαt=x′(0)R1/2Q-1R1/2x(0)eαt

≥λmin(Q-1)x′(0)Rx(0)eαt

≥λmin(Q-1)c1。

(20)

根據(jù)(19)和(20),可以得到:

(21)

然后根據(jù)條件(7),可以得到:

c3

(22)

第二步:

E[x′(0)Rx(0)]≤c2?E[x′(t)Rx(t)]≤c4,

(23)

可以得到:

(24)

根據(jù)引理3,上述不等式等價(jià)于:

(25)

通過比較(25)和(23)式可以得到如下結(jié)論:

(26)

對(duì)上述不等式兩邊同時(shí)從0到t取積分,t∈[0,T],并且取數(shù)學(xué)期望可得:

(27)

根據(jù)引理1,上述不等式可以寫成:

EV(x(t))

(28)

根據(jù)此定理的條件,可以得到:

EV(x(t))=Ex′(t)R1/2Q-1R1/2x(t)≥

λmin(Q-1)x′(t)Rx(t),

(29)

并且

V(x(0))eαt=x′(0)R1/2Q-1R1/2x(0)eβt

≤λmax(Q-1)x′(0)Rx(0)eβt

≤λmax(Q-1)c2eβt。

(30)

根據(jù)(29)和(30),可以得到:

(31)

然后根據(jù)條件(10),可以得到:

Ex′(t)Rx(t)

(32)

證畢。

定理1中的條件是由非線性矩陣不等式所描述,難以求解。因此,下面的定理給出了由線性矩陣不等式所表示的充分條件。

(33)

(34)

λ1I

(35)

c3λ2-c1λ1<0,

(36)

c2λ2eβT-c4λ1<0,

(37)

其中，

ε1MM′+ε2B1D3D3B1′,

證明:分兩步證明。

第一步:

替換(7)中

則(7)可以寫成:

(38)

其中，

可以采用如下方法來分析系統(tǒng)中的不確定性:

Z=Π+ΔΠ,

其中，

由引理2可得:

≤M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8

(42)

其中，

根據(jù)引理3,等價(jià)于:

Z≤

其中，

(43)

因此,令不等式(43)的右邊小于0,即:

<0,

(44)

第二步:

替換(8)中

則(8)可以寫成:

(45)

其中，

可以采用如下方法來分析系統(tǒng)中的不確定性:

Z=Υ+ΔΥ,

(46)

其中，

(47)

(48)

由引理2可得:

≤M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8

(49)

其中，

根據(jù)引理3,(46)等價(jià)于:

(50)

其中，

因此,令不等式(50)的右邊小于0,即:

(51)

3 非線性隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定

本部分利用定理1、定理2的結(jié)論考慮如下特殊形式的非線性隨機(jī)系統(tǒng)有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定問題:

(52)

下面給出使得上述系統(tǒng)有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定的狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。

(53)

(54)

(55)

c3λ2-c1λ1<0,

(56)

c2λ2eβT-c4λ1<0,

(57)

其中，

則稱上述系統(tǒng)是有限時(shí)間環(huán)域鎮(zhèn)定的。

4 算法及仿真

算法1:

第一步:給定c1,c2,c3,c4,R以及T。

第二步:以h1為步長(zhǎng)取一列αi(i=1,…,n),并且以h2為步長(zhǎng)取一列βj(j=1,…,n)。

第三步:令i=1,取αi。

第四步:令j=1,取βj。

第五步:如果找到(αi,βj)使得(53)-(57)有可行解,則把(αi,βj)存入(X(i),Y(j))。令βj=βj+1并且轉(zhuǎn)到第五步。否則,轉(zhuǎn)到第六步。

第六步:如果i+1

第七步:如果(X(i),Y(j))=(0,0),則找到的(α,β)使得(53)-(57)無可行解。否則,存在(α,β)使得(53)-(57)有可行解,停止。

算例1:考慮非線性隨機(jī)系統(tǒng)(52)如下:

估計(jì)近似誤差的上界為ρ=0.003。顯然,在這種情況下,有Θ=23×21。并且Aσ可以得到如下表達(dá)式:

應(yīng)用算法1,得到α和β的取值范圍,如圖2所示。

圖2 α和β的取值范圍

控制輸入u(t)的變化過程如圖3所示。

圖3 u(t)的變換過程

另外,給定α=0.5、β=1,求解得到的矩陣不等式得到:

λ1=4.369 5,λ2=12.670 7。

圖4表明了系統(tǒng)E[x′(t)Rx(t)]的變化過程。其中四條藍(lán)線分別表示c1-c4四個(gè)給定的界限,當(dāng)系統(tǒng)初始值滿足條件c1

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程

綜上所述,閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于(2,5,0.5,40,I)是有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定的。

5 結(jié) 論

本文給出了一類不確定非線性隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間環(huán)域穩(wěn)定性的定義。在線性微分包含狀態(tài)空間表示的基礎(chǔ)上,將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的一般設(shè)計(jì)方法推廣到不確定非線性隨機(jī)系統(tǒng)。利用線性矩陣不等式技術(shù)解決了狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)問題。